關于復變函數(shù)論教學的幾點探討

【摘 要】本文結合近幾年來復變函數(shù)論課程中的教學實踐，針對教師只重視講授教學內(nèi)容而忽視培養(yǎng)學生各方面能力的現(xiàn)象，就更新教學思想、轉變教學觀念、改革教學方法等方面進行了深入的探討。

【關鍵詞】教學改革 教學方法 數(shù)學思想

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）25-0087-01

作為本科數(shù)學專業(yè)的重要基礎課之一，復變函數(shù)論在整個課程體系中起著承上啟下的重要作用。該課程以數(shù)學分析為基礎，重點討論了解析函數(shù)的積分理論。通過這門課的學習，學生能夠對泛函分析等課程的學習打下良好的基礎。針對教師只重視講授教學內(nèi)容而忽視培養(yǎng)學生各方面能力的現(xiàn)象，筆者提出以下幾點建議。

一 注重培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力

在重要定理的證明過程中突出探索問題和研究問題的思路，特別強調(diào)證明過程中蘊含的數(shù)學思想。引導學生提出問題并解決問題，提高學生對定理內(nèi)容的理解。例如：在Cauchy積分定理的證明過程中，為什么有些地方用到了函數(shù)的解析性，而有的地方僅僅用到了函數(shù)的連續(xù)性？怎樣用嚴格的數(shù)學語言描述折線逼近曲線的過程？在此過程中，讓學生深刻體會由特殊到一般、折線逼近曲線等樸素的數(shù)學思想，提高學生的邏輯思維能力。另外，定理的證明過程再現(xiàn)了數(shù)學大師們思考問題的方式，學生可通過學習定理窺視到他們是如何探索真理的，從而激發(fā)學習的積極性。盡量避免老師在黑板上推導、學生做筆記的現(xiàn)象發(fā)生，讓學生在提出問題、思考問題、解決問題的過程中感受定理的證明思路。

二 在比較過程中學習新知識

復變函數(shù)課程中的內(nèi)容有很多都和數(shù)學分析中的教學內(nèi)容相似。教師可以在教學過程中引導學生多做比較，得出兩門課程相關知識的區(qū)別和聯(lián)系。如引導學生思考復變函數(shù)的導數(shù)與一元函數(shù)、二元函數(shù)的導數(shù)有什么聯(lián)系？實數(shù)項級數(shù)的斂散性判別法是否適用于復數(shù)項級數(shù)？對于復函數(shù)項級數(shù)中的冪級數(shù)，它的性質、收斂半徑求法是否和實函數(shù)項級數(shù)中的冪函數(shù)保持一致？非零的解析函數(shù)的零點孤立性定理是否對可導的實函數(shù)成立？在用留數(shù)定理計算特殊的實積分時，回顧數(shù)學分析課程中的方法，比較兩種辦法的優(yōu)缺點，讓學生切身感受到留數(shù)定理的威力。在教學活動中注重學生的主體意識，尋找類似于上面提到的切入點，通過指出本課程與數(shù)學分析課程的區(qū)別和聯(lián)系，使學生懂得該課程的重要性，同時激發(fā)學生的學習積極性。總之，讓學生在比較的過程中既可以溫習舊知識，又可以學到新知識。

雖然復變函數(shù)是數(shù)學分析的后續(xù)課程，但復變函數(shù)不僅僅是數(shù)學分析的延拓，它還有許多和數(shù)學分析不同的概念與方法。如多值函數(shù)、Laurent級數(shù)與孤立奇點、留數(shù)理論與共形映射等。在復變函數(shù)中學習的知識和數(shù)學分析中學習的知識側重點也不一樣，如微分與導數(shù)，數(shù)學分析主要講微分的概念、意義和計算，而在復變函數(shù)中只是簡單介紹了微分與導數(shù)的概念、性質及計算，重點研究的是解析函數(shù)。復變函數(shù)概念多，性質定理也很多，在教學過程中，既要抓好基礎，又要突出重點，更要通過總結、復習等教學環(huán)節(jié)，順著知識的邏輯結構，理清知識脈絡，這樣才能讓學生系統(tǒng)地掌握復變函數(shù)的理論和方法。

三 注重培養(yǎng)學生的構造能力

構造映射或函數(shù)是數(shù)學當中較難的問題，所以提高學生這方面的水平是教師需要考慮的一個課題。復變函數(shù)中某些定理的證明和第七章共形映射中涉及這個話題。通過詳細的講解并結合數(shù)形結合的思想，給學生在這方面有一個完整地呈現(xiàn)。如解析函數(shù)唯一性定理的證明過程中需要構造一連串的圓盤。另外，在共形映射這一章，構造符合條件的共形映射是主要目標。在介紹分式線性變換、分式線性變換和冪函數(shù)的復合以及分式線性變換和指數(shù)函數(shù)復合的教學內(nèi)容時，通過畫圖和講解，讓學生學會構造簡單的共形映射。通過對這類問題的學習，培養(yǎng)學生的構造能力。

四 提高學生的歸納、總結能力

通過十幾年的學習積累，學生都有了一定的歸納總結能力。在復變函數(shù)論的教學過程中，教師可以引導學生思考解析函數(shù)的充要條件有哪些？計算復積分的方法有幾種？在解決這類問題的過程中促使學生對這門課有一個整體的把握，而不再是零散的知識點。

總之，為了讓學生能夠從復變函數(shù)論課程中得到更多的收獲，教師一定要注重學生各方面能力的培養(yǎng)，改進教學方法，更新教學觀念和思想，教學效果必能得到明顯的提升。

參考文獻

[1]鐘玉泉.復變函數(shù)論（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2004

[2]黎延海.《復變函數(shù)》課程的教學改革與實踐[J].科技創(chuàng)新導報，2010（35）

[3]羅世堯.復變函數(shù)課程的有效教學策略探究[J].考試周刊，2014（6）

〔責任編輯：龐遠燕〕