解題信息的分類與提取

【摘 要】在高中學生數學解題的過程中，時常有不能把已經掌握的知識運用出來的現象。為了解決這一問題，本文擬把解題信息區分為目標信息、已知信息和隱含信息，介紹能較好挖掘隱含信息從而產生解題思路的倒推-順推法，并剖析了其間內在的邏輯關系。

【關鍵詞】目標信息 已知信息 隱含信息 倒推—順推法

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）25-0139-02

在解決數學問題時，學生最理想的狀況是“一看就會，一做就對”。然而經驗告訴我們，學生時常發生的情況是：看似能夠解決的問題，在特定的情境下就是無法跨越某些障礙，而一旦被人提示或受答案的啟發即恍然大悟，原來所謂的“難”，只是一時之間沒有想到！如何改進這種狀況呢？

高中數學關于推理與證明的介紹提供了很好的思維方式，可以幫助學生有效地探尋解題思路。遺憾的是，無論是在新課教學還是在高三復習過程中，人們往往過于重視其“知識性”價值，而忽視甚至無視其“方法性”價值，遠遠沒有發揮出這部分內容的作用。因此，本文擬通過解題信息的分類與提取做些探討，為學生的解題學習提供一個“腳手架”，以便他們在解題過程中能較快地產生解決問題的思路，從而在一定程度上改變上述令人懊惱的現象。

一 解題信息的分類

解決問題的信息就在問題背景之中，從問題設置的結構來看，解題的有關信息可分為目標信息、已知信息和隱含信息三種。

1.目標信息

目標信息指題目中結論提供的信息。通常情況下，目標信息以典型問題的形式體現出來，如求字母的值或取值范圍、求曲線方程、求數列的通項公式或前項和、求空間角與距離、證明不等式、比較大小等。此外，目標信息還包含設問之間的關系，它們主要是遞進關系，上一個問題的解決有助于下一個問題的解決，或下一個問題的解決需要以上一個問題的解決為前提；有時不同的設問表現為并列關系，彼此之間沒有關聯，上一個問題是否得到解決不影響下一個問題的解決。

2.已知信息

已知信息指的是題目條件中直接提供的信息，是問題解決的背景，借助符號、文字或圖形的語言形式表現出來，主要表現為概念、性質、公式、法則、定理、典型問題等。大部分信息以常規習慣表現，如向量、點、數列的表示；有些則和常規習慣有些區別，需要現場的理解，如函數中表示變量的符號。

3.隱含信息

隱含信息指與目標信息和已知信息有關的、題中沒有直接體現出來的、平時已經學習過的概念、性質、公式、法則、定理、公理、典型問題及其常規解決辦法、數學思想方法等內容。其實這些都是顯在的知識，應是在之前學習過程中已經掌握的知識，隱含只是對于題目自身的表述而言。正是這些隱含信息，把目標信息和已知信息聯結起來，使得解題分析能較順利地展開，不同隱含信息的使用反映了不同問題的解決方法，其直接程度（或簡便程度）往往也有所不同。

4.例題簡析

在1和100之間插入n個實數，使得這n+2個數構成遞增的等比數列，將這n+2個數的乘積記作Tn。再令an=lgTn，n≥1。（1）求數列{an}的通項公式；（2）設bn=tanantanan+1，求數列{bn}的前n項和。

目標信息：求數列的通項公式；求數列的前n項和；設問之間是遞進的關系。

已知信息：在1和100之間插入了n個實數；上述n+2個數構成了一個等比數列；構成所得的等比數列是遞增的；

構成所得的等比數列的各項的積記為Tn；an=lgTn；bn=tanantanan+1。

隱含信息：等比數列的定義、通項公式、前n項和公式；數列中典型問題的常規處理方式等；對數、指數的運算法則等；三角函數的有關知識，如兩角和的正切公式等；常用對數符號及其之間的聯系等。

二 解題信息的提取

解題信息的提取首先是快速閱讀，感知已知信息和目標信息，了解題目大意。如果比較順利，問題能得到正常解決；一旦思路受阻，存在著解題困難，那么就可以考慮下面提供的倒推—順推法，來分析、尋找問題解決過程中可能涉及的隱含信息。

1.倒推

即我們常說的“執果索因”，也就是“要什么，找什么”。如求字母的值需要找與其有關的方程，求數列的前n項和需要分析其通項公式的特征，求角的大小往往要先求出它的某種三角函數值再討論角的范圍等。此時“果”是外顯的，“因”是內隱的，所以，為了更為直接地達成目標，解題者應從目標的需要出發，確定問題解決的基本程序，尋求使之運行的條件。

2.順推

即我們常說的“由因導果”，也就是“給什么，用什么”。如已知橢圓方程則其各種性質已定，已知函數單調性就可以根據自變量的大小判斷對應函數值的大小，也可以根據函數值的大小判斷相應自變量的大小，還可以判斷導數的正負等，已知正四棱柱為解題背景則其中特殊的點線面之間的位置關系和數量關系就會有特定的作用等。此時，“因”是外顯的，“果”是內隱的，究竟怎樣使用這里的“果”必須根據目標的需要加以判定。

3.倒推—順推法

綜合交叉地考慮上述兩個過程來提取解題信息的方法稱之為倒推—順推法。圍繞目標需要尋找其成立條件時，兼顧已知提供的信息，時時關注“所找”與“所用”能否比較直接地產生聯系，從而把倒推和順推緊密地結合起來，而不是單純地倒推或盲目地順推。這種提取解題信息的方法源于分析法和綜合法，又是對它們的變通和綜合，應用時可能側重于倒推，也可能側重于順推，還可能邊倒推邊順推，宜根據具體情況確定是否有所側重。

在倒推—順推過程中，有時需要采用一些輔助方法，以便于讓題意表現得更有利于理解，讓隱含信息更容易得到挖掘。如數形結合、分類討論、取特殊值、列表、換元、正難則反等。

4.例題簡析

在1和100之間插入n個實數，使得這n+2個數構成遞增的等比數列，將這n+2個數的乘積記作Tn。再令an=lgTn，n≥1。（1）求數列{an}的通項公式；（2）設bn=tanantanan+1，求數列{bn}的前n項和。

倒推：求數列的通項公式有哪些常見類型？數列{an}是怎樣產生的？求數列的前n項和有哪些常用方法？數列{bn}的通項公式有何特點？

順推：構造所得的數列有多少項？等比數列的公比能用首項和末項來表示嗎？怎樣利用等比數列的首項、末項、公比表示Tn？怎樣由Tn得出an？數列{an}是什么數列？an和an+1之間有何聯系？tanantanan+1的形式在哪里出現過？可能使用什么求和方法？

輔助方法：在規律不明顯的情況下，數列部分常常可以考慮抽象問題具體化，通過對n賦值來探尋規律。如n=1

時，q=10= ，三個數字為1、10、100；n=2時，q= ，

四個數字為1、 、（ ）2、（ ）3=100；n=3時，

q= 五個數字分別為1、（ ）、（ ）2、（ ）3、（ ）4

=100……由此不難歸納得出一般情況，從而理清后續思路。

基本思路：設n+2個數構成的等比數列為{cn}，公比為q（q>1），數列{bn}的前n項和為Sn，則本題的基本解決思路為如下：

Sn←bn←an←Tn←cn←c1=1，cn+2=100

↑

兩角和與差的正切公式

三 解題分析模式的應用

上文分別從解題信息的分類和解題信息的提取兩個不同的角度展開了分析，解題信息的分類是為提取服務的，目標信息和已知信息是解題思路產生的邏輯起點，隱含信息則是解題思路順利完成的必要條件；事實上，信息分類和提取是緊密地聯系在一起的，可以通過下圖來理解。

目標信息 隱含信息 隱含信息

↓ ↓ ↓

倒推： 要什么→找什么——↓

（輔助方法） ……

順推： 給什么→用什么——↑

↑ ↑ ↑

已知信息 隱含信息 隱含信息

顯然，數學概念、性質、公式、法則、定理以及數學方法、典型問題常規解決方法等掌握是解題信息分類與提取的必要條件。學習過程中，應讓學生明白：沒有書本知識是絕對不行的，但僅有書本知識還是不夠的，要加強學生閱讀理解能力的培養，要加強解題分析，讓學生認識到問題是多變的，但不變的是知識，不變的是方法，并通過這種相對穩定的方法把穩定的書本知識在變化的問題情境中用好。

解題信息的分類與提取是一種策略性知識，需要教師借助例題反復使用、向學生解釋說明，并帶動學生操作練習，以便達到相對自動化、習慣化的狀態，從而幫助他們更好地挖掘隱含信息，更快地形成解決問題的思路，更有效地解決遇到的疑難。

參考文獻

[1]鄭毓信、梁貫成.認知科學 建構主義與數學教育[M].上海：上海教育出版社，2002

[2]蒯超英.學習策略[M].武漢：湖北教育出版社，2011

[3]G.波利亞.數學與猜想[M]北京：科學出版社，2011

〔責任編輯：林勁〕