研究數學題目之探討

摘 要：“新課改”倡導自主、合作、探究的學習方式，倡導“自主、高效、優質”課堂。作為一名數學教師，如何迎接新課改，不僅要會做題，出題，更要在做題，出題時有研究題目的意識，養成對題目進行研究的良好習慣。不要為了出題而出題，也不要為了解題而解題，要通過研究題目的形式、過程達到既出題又解題；既研究又創新；以變應變，以少勝多；發展智力，培養能力。

關鍵詞：研究題目 習慣 創新 提高能力

中圖分類號：G633 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）01（a）-0025-01

“新課改”倡導自主、合作、探究的學習方式，倡導“自主、高效、優質”課堂。作為一名數學教師，如何迎接新課改，不僅要會做題，出題，更要在做題，出題時有研究題目的意識，養成對題目進行研究的良好習慣。不要為了出題而出題，也不要為了解題而解題，要通過研究題目的形式、過程達到既出題又解題；既研究又創新；以變應變，以少勝多；發展智力，培養能力。本人結合自己的體會從六個方面談談對研究題目的看法。

1 研究題目的題設—— 一問多設

研究題目的題設主要是研究題目條件的替換、條件的增減、條件的改變對結論的影響，從而創造出一些似曾相識的新題目。一般表現為一問多設。研究題設，能較快的提高學生判斷題目、分析題目、欣賞題目的水平，很好地培養學生的閱讀能力、審題能力、審美能力，形成用好條件，用足條件的良好解題習慣。

2 研究題目的結論—— 一題多問

結論的“副產品”，結論的加強，題目的發揮等都是研究結論要解決的問題。通常說的“一題多問”就是對結論的一種探索研究。這為構造并列型、遞進型多問題提供了一種模式。如果逐步增加一些條件，還能構造出一些混合型的高難度多問題、綜合題。對它們進行研究，可以輕松解除學生對試卷壓軸題、高難度綜合題的恐懼心理，準確識破高難度多問題、綜合題“難”的真面目，尋找解決問題的途徑，找到解決問題的關鍵。

3 研究題目的解法—— 一題多解

確定的題目，往往不止一種解法，對其解題途徑、思想方法等的研究、多種方法的比較、篩選等就是一題多解。研究題目的解法，可使學生靈活地、綜合地運用已學知識，多角度、多側面分析問題，促使學生提高解題速度，確保解題質量，培養學生精益求精的科學精神，全面增強學生綜合素質。

4 研究解法的程序—— 一法多變

相同的題目，運用同一種方法，因為解答程序設計不同，順序不同，其運算量、解答速度等不盡相同。對解答步驟的優化設計，解答結果的反饋等其實就是一法多變。研究一法多變，能使學生思路合理化，格式規范化，步驟條理化，書寫科學化。培養學生的書面表達能力和文字交流能力。

5 研究題目的變化—— 一題多變

研究題目的變化是從總體上研究題目的發揮、變化、創新。研究題目的背景、情境、發揮、發展；題目的特殊化、一般化；題目的變異、再創造；題目與生活實際相結合，與其他科學知識綜合等。這是“生產”新題目、新題型的一種重要方式，也是提高學生解決開放題型、創新題型、實際應用題型能力，培養學生創新意識的中要“基地”。

6 研究題目的用途—— 一法多用

將解題的方法一般化，上升為解決一部分題目或一類題目的通法、通則，或將解題方法從不同角度、從不同側面特殊化，對解法適用的條件、解決問題的策略進行研究，將其概括為一法多用。對一法多用的研究為學生舉一反三，觸類旁通，融會貫通，高效率的學習，為減輕學生學業負擔提供了一種途徑。

在研究題目的實際過程中，不一定要面面俱到，也可以從其它的方面進行研究，本文只不過希望能起到拋磚引玉的作用。下面以一道數學例題說明：

例題：已知圓C：（4，點D（2，0），求過點D且與圓C外切的動圓圓心M的軌跡方程。

一問多設：例題條件中，點D在圓C外，將點D坐標改為（0，0）或（-1，0），則點D在圓C上或點D在圓C內，可得到兩道很好的練習題，此時動圓圓心M的軌跡有質的變化。

一題多問：將例題結論部分（也可作條件處理）外切改為內切或相切或相離（兩圓最短距離為1）等，可得到不同的變式。

一題多解：本例題可用定義法、直接法等求解（解法略），經過比較可發現定義法較好。

一法多變：本例在用定義法求解時可先求出雙曲線方程，再排除掉雙曲線的左支；也可先指出M的軌跡是雙曲線的右支，然后再求出其方程。用直接法求解時同樣可做類似研究。

一題多變：

題1：已知直線l：x=-2，點D（a，b），求過點D且與直線l相切的動圓圓心M的軌跡（方程）。

①a=2，b=0

②a=-2，b=0

題2：求與已知直線a，b都相切的動圓圓心M的軌跡（方程）。

①直線a：x=-2，直線b：x=2

②直線a：y=x，直線b：x=2

題3：已知圓C，直線l，求與直線l相切且與圓C*的動圓圓心M的軌跡（方程）。

①圓C：（4，直線l：x=2，*為外切

②圓C：（4，直線l：x=2，*為內切

③圓C：（4，直線l：x=2，*為相切

④圓C：4，直線l：x=2，*為相切

⑤圓C：4，直線l：x=1，*為內切

⑥圓C：4，直線l：x=2，*為相交，公共弦長為1

題4：求與已知圓C*且與已知圓D#的動圓圓心M的軌跡（方程）。

①圓C：（1；圓D：（1；*外切，#內切。

②圓C：（1；圓D：（4；*內切，#外切。

③圓C：（1；圓D：（4；*相切，#相切。

④圓C：（1；圓D：（9；*內切，#內切。

⑤圓C：（1；圓D：（9；*外切，#內切。

⑥圓C：（1；圓D：（9；*相切，#相切。

⑦圓C：1；圓D：（16；*外切，#內切。

一法多用：本例所用方法均可用于解決以上各題。

可以相信：只要師生長期堅持研究題目，養成研究題目、研究問題的習慣，就一定能大大減輕學生的學業負擔，最大限度地提高教育教學效果，確保教育教學質量，切實實施素質教育，為民族培養出跨世紀的創新精英。

參考文獻

[1]普通高中課程標準實驗教課書（數學2）[M].人民教育出版社出版.

[2]普通高中課程標準實驗教課書教師教學用書（數學2）[M].人民教育出版社出版.

[3]普通高等學校招生全國統一考試說明[Z].2001.