導數思想在解決函數問題上的靈活應用

摘 要：導數是微積分的核心內容之一，它有極其豐富的實際背景和廣泛應用，導數更是研究函數性質的強有力的工具，在解決函數單調性、最大值和最小值等問題時，不但避開了初等函數變形的難點，證明的繁雜，而且使解法程序化，變“巧法”為“通法”，優化解題策略、簡化運算，具有較強的工具性作用。在應用導數研究函數單調性，極值，最值問題的教學過程中，體會導數的思想及其內涵。

關鍵詞：導數 函數單調性 極值 最值

中圖分類號：G712 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）01（a）-0085-01

1 用導數求解某些函數的單調性，具有簡潔高效的特點

定理：設函數在內可導，則：

（1）如果在內，那么函數y=f（x）在內單調增加。

（2）如果在內，那么函數y=f（x）在內單調減少。

例1：討論的單調性。

分析：函數定義域為R，現在令，解得，

當或時，，∴函數在和上是增函數。

當時，，∴函數在（-2，2）上是減函數。

例2：設函數，其中，求的單調區間。

解：由已知得函數的定義域為：，且。

（1）當時，函數在上單調遞減。

（2）當時，可知當時，函數在上單調遞減。

當時，函數在上單調遞增。

例3：設函數，其中為實數。當的定義域為時，求的單調減區間。

解：，令，得，由，得或。

又，時，由得；當時，；

當時，由得 ，即當時，的單調減區間為；當時，的單調減區間為。

例4：設≥0時，

，令，討論在內的單調性。

解：根據求導法則有

，，

于是，當時，，當時，故知在內是減函數，在內是增函數。

2 用導數求解連續函數的極值和最值時，同樣具有幾乎公式化的解題方法

如果函數在上連續，則在上一定有最大值M和最小值m，一般先求出在內的一切駐點和一切不可導點，再比較這些駐點和不可導點的函數值以及在區間端點的函數值，最大者就是函數的最大值M，最小者就是函數的最小值m。由上述分析可知，求函數在閉區間上的最大值與最小值的步驟為：

（1）確定函數的定義域，并求其導數。

（2）解方程，求出的全部駐點和不可導點。

（3）討論在鄰近駐點和不可導點左，右兩側符號變化的情況，確定函數的極值點。

（4）求出各極值點的函數值，就得到函數的全部極值。

例5：求函數在區間上的最大值與最小值。

解：（1），

令，得函數定義域內的駐點為：其函數值分別為：。

（2）在區間端點處的函數值分別為：。

（3）比較以上各函數值，可以得到，函數在區間上的最大值為，最小值為。

例6：求函數的極值。

解：函數定義域為R。

，令，得或：當或時，。∴函數在和上是減函數；

當時，，∴函數在（0，2）上是增函數.∴當時，函數取得極小值，當時，函數取得極大值。

例7：求函數的極值。

解：函數的定義域為R。

令，得。當或時，，

∴函數在和上是減函數；當時，。

∴函數在（-1，1）上是增函數。∴當時，函數取得極小值。

當時，函數取得極大值。

導數是分析和解決函數問題的便利的、必不可少的工具，靈活運用導數，可以對解決一些單調性問題，最值問題，產生意想不到的效果，因此，在平時學習教學中應重點加以研究及應用。

參考文獻

[1]侯志芳.淺議導數在經濟分析中的應用[J].常州工業技術學院學報，1994（2）：37-39.

[2]華東師范大學數學系.數學分析（上冊）[M].