橢圓中的垂徑定理

摘 要：我們?cè)诮鉀Q橢圓的問題時(shí)一般的采用二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系或引入?yún)?shù)來求解，但是這樣的計(jì)算方法往往會(huì)導(dǎo)致運(yùn)算上的繁瑣和消參的困難，而對(duì)應(yīng)的圓的有關(guān)問題卻更容易解決。雖然圓和橢圓之間有著明顯區(qū)別，但是卻也有很多的相似點(diǎn)甚至相同點(diǎn)。對(duì)于圓來說，利用垂徑定理和點(diǎn)到直線間的距離公式，可以極大地簡化計(jì)算量。如果我們將將橢圓轉(zhuǎn)化成圓，是利用了點(diǎn)與曲線、曲線與曲線的位置關(guān)系在這一變換下的不變性。那么也將簡化橢圓的計(jì)算過程更加快速的得出答案。

關(guān)鍵詞：高中 橢圓 垂徑定理

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9795（2014）01（a）-0096-01

1 橢圓的垂徑定理

正如我們初中所學(xué)垂徑定理是圓的特性其定理為：垂直于弦的直徑平分這條弦，顯然這在橢圓中并不成立，那么我們?cè)撊绾卧跈E圓中運(yùn)用垂徑定理呢？首先我們就必須作如下的變換：

先對(duì)橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1做x=ax’，y=by’的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。在這種轉(zhuǎn)換下，xoy平面內(nèi)的任一點(diǎn)P（x，y）轉(zhuǎn)換為x'o’y'平面內(nèi)的點(diǎn)P’（x'，y'）。橢圓方程x^2/a^2+y^2/b^2=1也就轉(zhuǎn)換為x'o’y’[1]

平面內(nèi)的單位圓x'^2+y'^2=1。需要注意的是被轉(zhuǎn)化的橢圓的方程是標(biāo)準(zhǔn)方程。而關(guān)于橢圓的一般方程我們可以現(xiàn)將其經(jīng)過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)方程，由于高中一般不接觸一般方程就不在贅述。

2 橢圓垂徑定理的證明

設(shè)橢圓方程為x^2/a^2+y^/b^2=1求橢 圓所有斜率為k的弦的中點(diǎn)軌跡方程。

運(yùn)用點(diǎn)差法設(shè)弦（x1，y1），（x2，y2）與橢圓分別交于不同的兩點(diǎn)由于點(diǎn)在直線上有x1^2/a^2+y1^2/b^2=1，x2^2/a^2+y2^2/b^2=1兩式相減兩邊同除（x1-x2）得（兩點(diǎn)不重合）：（x1-x2）（x1+x2）/a^2+（y1-y2）（y1+y2）/b^2=0。我們注意到（y1-y2）/（x1-x2）是弦的斜率為k。那么設(shè)弦的中心點(diǎn)為（x0，y0）則有x0=（x1+x2）/2，y0=（y1+y2），帶入上式可得y0=-x0b^2/ka^2[2]。

至此題目已經(jīng)解完了我們可以看出弦中點(diǎn)的軌跡是一條過原點(diǎn)的線段，注意到 y0/x0是軌跡直線的斜率，若設(shè)其為k′則有我們得到平行弦斜率kk′與軌跡直線斜率b^2/a^2乘積的一個(gè)關(guān)系。

因?yàn)閷?duì)于這個(gè)結(jié)論的認(rèn)識(shí)不夠深刻，許多同學(xué)在進(jìn)行記憶的時(shí)候會(huì)遇到一些困難。但如果從垂徑定理的角度進(jìn)行類比便會(huì)發(fā)現(xiàn)較大的相似。如果我們使用上面的轉(zhuǎn)換方法將橢圓轉(zhuǎn)化成圓那，那么在新的坐標(biāo)系中原來得出斜率關(guān)系也發(fā)生了一定的變化，根據(jù)兩個(gè)坐標(biāo)系的長度關(guān)系可以得出在新坐標(biāo)系中y'/x'=1，k·k'=-b^2/a^2。

這與之前推導(dǎo)的結(jié)論一致，從中我們可以看出無論在圓中還是在橢圓中兩條直線都是垂直的，只是由于坐標(biāo)系做了伸縮變換使得原先的乘積發(fā)生了改變。事實(shí)上雙曲線中也存在類似的結(jié)論。

3 橢圓垂徑定理的運(yùn)用

將橢圓方程轉(zhuǎn)化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后，橢圓就被我們“轉(zhuǎn)化成了”圓，那么在解決一些問題時(shí)，我們就可以使用圓的垂徑定理來解決。

3.1 判斷直線和橢圓位置關(guān)系

常規(guī)解法應(yīng)該是直線與橢圓方程聯(lián)立根據(jù)方程解的個(gè)數(shù)來判斷直線與橢圓的位置關(guān)系。顯然這樣是很復(fù)雜的。但如果把橢圓圓化，此問題便轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系了。一般化情況下，直線Ax+By+C=0與橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1的位置關(guān)系討論如前所述，首先作變換x=ax'，y=by'，那么直線和橢圓分別轉(zhuǎn)化為直線aAx’+bBy'+

C=0和單位圓x’^2+y’^2=1。得到圓心到直線距離公式d=|C|/（a^2A^2+b^2B^2）[3-4]。（這個(gè)公式是不改變的）原來的直線和橢圓相交，就是轉(zhuǎn)化后的直線和圓相交，那么d<1，得到a^2A^2+b^2B^2-C^2>0。同理，直線和橢圓相切，就是轉(zhuǎn)化后的直線和圓相切，a^2A^2+b^2B^2-C^2=0；直線和橢圓相離，a^2A^2+b^2B^2-C^2<0。又或者已知橢圓方程x^2/a^2+y^2/b^2=1，過橢圓上任意一點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程是x0x/a^2+y0y/b^2=1作變換x=ax'，y=by'，橢圓轉(zhuǎn)化為單位圓x′^2+y'2=1，P（x0，y0）轉(zhuǎn)化為P’（x0/a，y0/b），此題就變?yōu)榍笤趩挝粓Ax′^2+y'^2=1上一點(diǎn)P′（x0/a，y0/b）的切線方程，易知是x0 x'/a+y0y'/b=1。又因?yàn)閤′=x/a，y'=y/b，所以原來橢圓的切線方程是x0x/a^2+y0y/b^2=1[5]。

4 結(jié)論

通過第一節(jié)的論證我們知道垂徑定理在橢圓里也是可以使用的，而且從第二節(jié)中的分析我們可以看出：如果使用得當(dāng)那么垂徑原理對(duì)簡化運(yùn)算有著很大幫助，此外在雙曲線中垂徑原理也可以得到一定的運(yùn)用。讀者可自行嘗試。

參考文獻(xiàn)

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