把脈診斷 對癥下藥

【摘 要】 本文針對當前高三數學復習教學中普遍存在的按部就班、效率低下的現狀，提出高三復習應首先對當前學生的學習狀況“把脈診斷”，再“對癥下藥”的主張。主要策略為：借助高考真題對學生的學習現狀作出準確判斷，包括對學生呈現出的問題作出共性及個性分析；然后根據學生呈現出的問題采取相應的策略，包括幫助學生建立共性化及個性化兩個層次的思維導圖，以此夯實彌補學生的普遍性弱點和特殊性欠缺；最后采取“點穴式”精煉精講的方式來打通學生在數學學習中的各個滯礙點，整體提升學生的數學思維和解題能力。

【關鍵詞】高三數學 診斷 策略 思維導圖

1 問題的提出

長期以來，對于高三數學復習，很多老師都已形成一套比較完備固定的模式，這套模式通常建立在教師的既得經驗和預設基礎上，挪來可用、簡便易行。但這種建立在經驗和預設基礎上的固定模式客觀上存在著固有的缺陷。每一屆學生的情況是不一樣的，所教的班級和學生也都是不一樣的，一成不變的模式嚴重忽視了學生的主體性和差異性，從而喪失了復習教學的針對性和有效性，導致效率低下。高考復習非常重要的一點，就是教師必須對當前所教學生的學情進行充分的了解，對學生在學科學習中存在的共性及個性化問題作出準確的判斷，然后采取有針對性的策略。如果做不到這一點，高考復習必將事倍功半。筆者從事高三教學多年，深刻體認到尊重學情的重要性，并從實踐中摸索出一套基于學情分析的比較高效的高三復習教學策略。借用中醫學理論的術語，這套策略可形象地稱之為“把脈診斷 對癥下藥”，試作如下闡述。

2 借助高考真題，診斷數學學情

浙江省數學高考復習指導綱要指出：高三數學教學必須“依綱靠本，以考試規律為指導，以近年高考命題的穩定性風格為導向，以解題訓練為中心，以中檔綜合題為重點，以近年高考試題為基本素材”。因此，筆者在高三開學初始，先以近三年的浙江省高考試卷為藍本，組織學生進行規范測試，然后對三份試卷的測試結果進行詳細的比對分析，從中找到學生在數列、三角、概率、立幾等各知識模塊存在的薄弱點、模糊點、易錯點等普遍性問題，以此作為一輪復習有效展開的依據。試以近年來浙江卷數列題和立幾題的問題診斷為例。

案例1：近年來浙江卷數列題答題狀況診斷

筆者以近年來高考浙江卷數列題為藍本（2011年第19題，2013年第18題），組織學生進行規范檢測，檢測結果如表一所示：

表1 對筆者所教班級（兩個班，共108人）學生兩道題的檢測結果統計

平均得分02468101214

百分比9.4107.215.291021.194.322.5

檢測結果表明：兩道數列題，能高質量完成的只占 %。問題到底出在哪里？試以2013年高考浙江卷數列18題為例作具體分析。

在公差為 的等差數列 中，已知 ，且 成等比數列（1）求 ；（2）若 。

錯誤一： 這個式子得不出來，那就只能0分了。

錯誤二： 得不出（或則化簡錯誤） 。只能得2分

錯誤三： 得到

（很多學生只能算對一個，那就只能得4分）

錯誤四：第2問不知道討論，直接求 的 。

錯誤五： 而不是 。

錯誤六： .（錯的類型有兩種：一種是項數弄錯了，另一種是最后化

簡的過程發生錯誤。這種最可惜只能得12分）

通過比對分析，發現學生存在的普遍性問題主要有：（1）概念、公式完全不清楚；（2）分類討論等數學思想方法欠缺；（3）化簡，運算能力有所欠缺。

高考數學對學生能力的考查，主要集中在以下幾個方面：空間想象能力；抽象概括能力；推理論證能力；數據處理能力；應用意識與創新能力。這些能力都是相輔相成的，這些能力的培養都要落實在我們的高考復習中。為了更全面的了解學生存在的問題，我們應該通過對近幾年高考真題的使用并進行系統的統計，從中發現學生存在的問題，并引導我們如何去提高復習的效率。

案例2：近三年浙江卷立幾題答題狀況診斷

筆者再以三年高考浙江卷立幾題為藍本（2011～2013年20題），組織學生進行規范檢測，檢測結果如表二所示。

表2 對學生三年三道題的檢測結果統計

平均得分02579101314

百分比10.10772916.15.6

檢測結果表明：三年三道立幾題，能高質量完成的只占 。問題到底出在哪里？試以2013年高考浙江卷立幾20題為例作具體分析。

在四面體A-BCD中， ， ，AD=2.

M是AD的中點，P是BM的中點，點Q在線段AC上，且AQ=BQ

（1）證明：PQ//平面BCD；

（2）若二面角 的大小為 ，求 的大小

在滿分的6人中5人是用幾何法解決的。而且方法的選擇上也差距較大，特別是女同學的差距更明顯。以下是對學生答題方法的統計（如表三所示）。

表3 對學生答題方法的選擇統計

性別女生（50名）男生滿分（6人）

幾何法2155

向量法48351

由此可以得知，立體幾何中向量法是被學生接受的方法，但從得分角度看，存在很多問題。幾何法不被學生接受，或者說在平時的教學中，會因為它難而被學生甚至老師忽略。但從滿分的學生看確是運用幾何法的。這點在我們今后的復習中不能忽略。

3 根據診斷結果，采取相應策略

承上所述，高考真題就像一面鏡子，可以非常清晰地呈現出學生在數學學習中存在的共性及個性化問題。接下來要做的事，就是“對癥下藥”。為了更加簡明地說明問題，筆者在此依然從上述兩個案例出發來作具體闡述。

案例1說明很多學生對概念、公式完全不清楚，而這正是高考考查的重點。在高三復習中，多數老師常用的模式是：知識梳理（或用基礎練習來代替）--典題分析——課堂檢測—小結。其中知識梳理一般都是在很短的時間內完成的，這對概念模糊、公式不清的學生是無效的。然而由于時間有限，高三的復習課又不能象高一高二上新課那樣來進行，怎么辦？

3.1 利用思維導圖，重構知識網絡

按照新課程的學習觀，學習的意義不是簡單復制和攝入信息，而是主動解釋信息，在“順應”與“同化”中重構知識網絡。依據奧蘇伯爾提出的“先行組織者”的教學策略，筆者采用的方法是：在一個單元展開復習之前，先讓學生先畫出本單元的知識思維導圖。這種知識思維導圖的建構分兩步進行：知識整理在復習之前，知識拓展在復習后。試以數列單元的復習為例。

案例3：數列知識思維導圖

圖1 數列知識思維導圖

通過這個導圖，幫助學生建構起一個完整的知識鏈，把原先似是而非的東西都理清楚， 并且能夠在頭腦中像播放影片一樣地清晰呈現。

3.2 基于“最近發展區”，建立個性化知識網絡

不同學生的學情是不一樣的，因此在解決了學生的普遍性問題之后，還應該基于不同學生的“最近發展區”，引導學生自己去提出問題、解決問題，建立起個性化知識網絡。筆者的做法是，要求每位學生在案例3的導圖基礎上根據自身的情況對導圖進行拓展與完整。比如增加每個專題的典型例題和本人在本章練習中的易錯點。這種個性化思維導圖的建立，又相當于學生給自己建立了錯題的檔案，便于溫故知新，提高學習效率。同時，教師根據學生的錯題檔案，進行錯誤記錄、整理、分析，得出不同學生的優勢和短處，有針對性地給予指導，使復習更加具有針對性。

案例4：學生個性化思維導圖

圖2 學生個性化思維導圖

通過案例4的導圖，教師就可以從中發現學生存在的問題，以便教師給予針對性的指導。

3.3 結合個性化知識網絡，給予針對性指導

從學生建立的個性化知識網絡可看出不同的學生會有不同的問題，以立體幾何的診斷為例。幾何法的書寫簡潔，計算量小，學生如果會，更容易拿滿分。從人數上看，大多人選擇的是坐標法，特別是女生，幾乎都是。說明坐標法更容易被學生接受。因此對大部分基礎比較薄弱，特別是大部分女生而言，空間想象能力差，但她們比較細致，有耐心。所以選擇坐標法來解決立幾問題也是個不錯的選擇。因此我們在教學中要針對學生的個性作出針對性的復習指導。在強化個人擅長的方法之外，也要進行其它方法的補充。讓學生面對立體幾何問題更有自信。從案例2的分析統計中可以得出以下策略。

⑴ 利用模型表征空間關系和結構，培養學生空間想象能力

分析案例2的優秀解答可發現幾何法具有相對典型的書寫簡潔，計算量小，正確率高等優點。展示如下：

解答：

過D作 于點F，則 ，過F作 于G點，連GD

所以 是二面角C-BM-D的平面角，即 .在直角三角形BGM中，

GD= ，在直角三角形DFG中， 設DC=x則

所以

案例2說明選擇合適的方法也很重要，在立體幾何的教學中更為突出。從優秀答卷中可以看出傳統幾何法有很大的優點，但學生掌握起比較困難。因為它對空間想象能力，和推理論證能力的要求很高。對于數學基礎較好，空間想象能力比較好的男同學而言，此法還是值的推廣的。相比坐標法，它更快，更準。那么，該如何培養學生的空間想象力呢？我認為主要有以下幾點：

①展示幾何模型，特別是長方體模型，最好每個同學都能自己動手做一個。通過模型來研究長方體中的線與線，線與面，面與面中的關系，及所成的角。并要求熟練掌握，從而培養學生的空間想象能力。

②在①的基礎上引導學生利用模型表征空間關系和結構就會使原來數學形態的抽象問題呈現出一個結構鮮明的情境，使枯燥的數學問題形態變成很有價值的教育形態，更重要的是，這一數學活動情境會呈現一種學習方式和解決問題的數學思維方式。

美國心理學家西蒙認為“表征”是問題解決的一個中心環節，它說明問題在腦海里是如何呈現出來的，如何表現出來的。

案例5：在四棱錐的四個側面中，直角三角形最多可能有（ ）

A. 1個 B.2個 C.3個 D.4個

教學實踐表明，學生面對本題，出現將問題外部表征的心理障礙，要講清楚為什么會有4個直角，總要畫出圖形來解釋才能讓學生理解，而要讓學生獨立的畫出這樣的四棱錐也不是一件容易的事，教學中，我們提出引導性的問題：你能在熟悉的正方體找到這樣的四棱錐嗎？經過嘗試，很快就會有學生給出圖3來。

圖3 四棱錐

從這個案例可以看出，利用幾何模型外部表征問題，是一種數學思維活動經驗，是一種學習的方式，也是一種思維方式，它能提升學生的思維起點，培養學生的空間想象能力，從而解決利用幾何法求解立體幾何問題的難點。

③對于一些比較復雜的問題，我們還可以借助計算機中的一些畫圖軟件，來幫助我們直觀的了解問題的表征，從而找到解決問題的方法。

⑵對于缺乏空間想象能力部分群體（女生），向量坐標法仍是教學的主陣地

多數學生覺得立體幾何很難學，沒有興趣。引入向量以后，學生不僅在方法的選取上有了更多的選擇，也為立體幾何的計算及證明開辟了一條新的思路，使許多的“形”轉化為“數”，把一些復雜的邏輯推理過程轉化為簡單的計算，有利于學生克服空間想象能力的障礙和空間作圖的困難，降低了立體幾何題的難度，提高了學生運用數學解決問題的能力。這些優勢在案例2中充分得以體現。因此這將成為我們立幾復習的主戰場。但如何讓學生掌握的更好呢？分析學生錯誤的原因，然后尋找對策。筆者認為主要有以下幾點

①空間向量的概念理解典型錯誤如：1.直線與平而平行的定義，平面與平面平行的判定定理理解不透徹。2.學生對向量數量積概念的發生過程不清楚，只是機械的套用公式3.對線面角，面面角的概念理解錯誤，導致解題時不能正確的找出所要求的角等。找到原因就要求我們在高三的復習工作中要把高二遺留的問題解決好。重視好概念教學，充分利用思維導圖。

②空間向量的線性運算與坐標表示的典型錯誤：明確給出點坐標讓其進行向量坐標的運算，學生一般沒有困難，但在綜合性較強，關系較復雜的題目中，學生往往容易出現錯誤，導致后面的解題步驟都作無用功。一方面是因為學生沒有良好的解題習慣，缺乏必要的解題步驟，沒寫出點坐標就直接計算向量坐標。因此，在平時的教學中要多給學生一些不同背景的建系方式。加強訓練點的坐標的求法。注重培養學生的運算能力。另一方面，學生在觀察圖形時，不能正確把握圖形中各元素的位置關系，對題設感知錯誤，借助圖形思考，分析的過程中就會受到錯誤信息的干擾，是缺乏空間想象能力的表現。從信息加工理論和奧蘇貝爾的有意義學習理論來看，感知是信息加工的開端，接著才是短時記憶、編碼、長時記憶、信息的提取。一切復雜的心理過程都源自感知，沒有正確感知就不可能認識事物的本質和規律，沒有正確的感知，就不可能獲得任何真知 .空間想象能力的缺乏，直接導致學生對圖形的感知不全面，是產生學習問題的首要原因。因此還得重視空間能力的培養。

③用向量法解決立體幾何問題中還有個重要的量“法向量”盡管學生掌握了求法向量的方法，但法向量的求出，對解決直線與平面的夾角，平面與平面夾角問題有什么幫助卻不太清楚。究其原因，是學生利用現有知識解決新問題時，分析處理問題的能力有所欠缺，對題目中求出的每一個量作用，沒有一個清晰的脈絡，只知道用向量法求線面角需要有直線的向量坐標，平面的法向量坐標，并用到夾角公式，卻不清楚這些量與最終要求的結果有什么關系。歸根到底還是公式的背景，推導不熟，還是缺乏空間想象能力所致。

⑶拓展思維嘗試一題多解，提升數學學習興趣和能力

坐標法和幾何法是最常用的兩種方法，事實上筆者認為立體幾何問題還可以用非坐標形式的向量法來解決。正所謂多一種方法就多一條出路，我們平時的教學中不妨可以嘗試下。而且非坐標的向量法有著諸多的可取之處。

案例6：（2009高考浙江卷理科17題）在長方形 中， ， ， 為 的中點， 為線段 （端點除外）上一動點.現將 沿 折起，使平面 平面 .在平面 內過點 作 ， 為垂足.設 ，求 的取值范圍。

解：在折疊過程中的不變量AD=1，AB=2，設DF=m，由于平面ABD 平面ABC 所以 DK 平面ABC，又AK=t， ，

所以 .由數量積的幾何意義知：

因此-1+tm=0， 所以得 ，

從解答過程不難看出用非坐標向量法進行的上述解答化動為靜，簡潔別致，令人耳目一新。

總之，在立體幾何的教學中應根據學生的具體情況，給學生一個合理的建議。

在主抓一種方法時，不能忽略傳統方法。只有這樣才能更好的培養空間想象能力。

更好的促進向量坐標法的教學。教師在編制和選擇立體幾何習題時，應特別精選一些用幾何法解答比較簡潔的立體幾何題，促進學生對幾何法的認識與興趣，讓學生自愿去嘗試用幾何法來解決問題，而不是持首先用向量法的思維定勢。另外，習題的圖形不宜過于直觀，過于直觀會導致學生采用單一方法解題幾率增高。計算量不宜過大，否則會導致學生的完成率和準確率降低。教學實踐中，這些必須結合個性化知識網絡，給予高三學生針對性指導。

4 策略實施的效果與思考

4.1 策略實施的效果

在高三的復習工作中筆者一直堅持運用高考真題對學生進行診斷。并在高考復習中對學生出現的概念性的及公式的理解我都是運用本文所寫的策略。要求學生作出共性和個性化的導圖。并針對個性問題進行相應的指導。學生在這個方面和以往相比取得了明顯的進步。成績有了很大的提升。在高三復習教學中筆者也堅持從學生的角度出發，探求學生的易錯點。知識的遺漏點，從而提高高三的復習效率。如在立體幾何的教學中就采用了本文的策略。大大提升了學生空間想象能力。

4.2 問題與思考

高考試卷是命題專家集體智慧的結晶，是選拔人才的標尺，有它的權威性和對今后教學工作的導向性。因此我們要使用好高考試卷，不僅在課堂的教學中，更要它來引領我們尋找正確的教學方法和復習計劃。在高三的教學中教師要研究高考試卷，這也很快能被老師認可。但是否僅限高三呢？顯然是否定的。很多高考試題讓高一、高二的學生去做也是可以的，將有些高考試題的能力精髓早點向學生傳授，對提高學生的數學素養與能力是大有好處的。高考真題的研究很重要，但也不能一味追求使用高考真題，而忽視了教材，縱觀近幾年的高考數學試卷發現，許多高考試題源于教材，甚至不回避教材中的原題。

因此，高中教師在平時的教學點滴中應該多去研究高考試題。把握高考試題的方向。要善于從高考卷的錯誤反思教學的缺失。讓它成為教師尋找問題，解決問題的新領域。

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