改進(jìn)Diebold & Li兩步法的Nelson—Siegel模型

摘 要：Nelson-Siegel利率期限結(jié)構(gòu)模型指數(shù)部分的衰減參數(shù)通常根據(jù)Diebold Li的兩步法、遺傳算法或非線性最小二乘法估計(jì)，這會(huì)導(dǎo)致擬合誤差偏大或估計(jì)結(jié)果不穩(wěn)定。本文提出用遺傳算法與最小二乘法交叉迭代的方法來(lái)改進(jìn)Diebold Li兩步法對(duì)Nelson-Siegel利率期限結(jié)構(gòu)模型參數(shù)的估計(jì)，并與Diebold Li兩步法和遺傳算法進(jìn)行實(shí)證比較。實(shí)證結(jié)果表明，用改進(jìn)的兩步法不僅能提高樣本內(nèi)模型的擬合優(yōu)度，還能降低樣本外模型的定價(jià)誤差，特別是對(duì)于較長(zhǎng)期限的債券數(shù)據(jù)，改進(jìn)的兩步法的模型估計(jì)效果明顯好于Diebold Li兩步法和遺傳算法。

關(guān)鍵詞：關(guān)鍵詞：Nelson-Siegel模型；遺傳算法；Diebold Li兩步法；改進(jìn)的兩步法

中圖分類號(hào)：F820 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-9031（2014）02-0013-04 DOI：10.3969/j.issn.1003-9031.2014.02.03

一、文獻(xiàn)綜述

利率期限結(jié)構(gòu)作為風(fēng)險(xiǎn)管理、金融衍生品定價(jià)、貨幣政策制定和政策效果判斷的重要基礎(chǔ)工具之一，引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的強(qiáng)烈關(guān)注，研究成果豐富。Willner（1996），Bravo Silva（2005）應(yīng)用利率期限結(jié)構(gòu)免疫投資組合的利率風(fēng)險(xiǎn)[1-2]；Diebold et al.（2006a）運(yùn)用利率模型為美國(guó)債券進(jìn)行套期保值[3]；朱世武（2004），余文龍與王安興（2010）等研究使用利率期限結(jié)構(gòu)模型對(duì)中國(guó)國(guó)債進(jìn)行套期保值[4-5]；劉艷萍等（2009）將利率期限結(jié)構(gòu)應(yīng)用于商業(yè)銀行的風(fēng)險(xiǎn)管理[6]；郭濤和宋德勇（2008）研究了利率期限結(jié)構(gòu)與未來(lái)通貨膨脹的關(guān)系，并對(duì)未來(lái)通脹進(jìn)行了預(yù)測(cè)[7]，等等。當(dāng)前，研究利率期限結(jié)構(gòu)的模型主要有：均衡模型、無(wú)套利模型和參數(shù)模型。前兩者運(yùn)用隨機(jī)微分方程刻畫(huà)利率的行為，模型比較復(fù)雜而且需要大樣本。而參數(shù)模型是對(duì)利率的函數(shù)形式作出預(yù)先假設(shè)，然后通過(guò)靜態(tài)擬合某一國(guó)債截面數(shù)據(jù)，估計(jì)出模型參數(shù)。其中應(yīng)用最廣泛的參數(shù)模型包括Nelson-Siegel模型（NS）[8]，它已經(jīng)成為多國(guó)央行繪制利率期限結(jié)構(gòu)曲線的工具[9]。

NS模型能描述單調(diào)、駝峰型及其反轉(zhuǎn)的利率期限結(jié)構(gòu)曲線，特別適合像我國(guó)這樣債券品種較少、期限結(jié)構(gòu)單一的不發(fā)達(dá)的債券市場(chǎng)。然而在NS模型中，指數(shù)部分的衰減參數(shù)的選擇對(duì)收益率曲線的擬合有重要影響，對(duì)的選擇不同，所估計(jì)的利率期限結(jié)構(gòu)可能差異較大，對(duì)債券定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)管理等會(huì)產(chǎn)生較大影響。對(duì)此，Diebold Li （2006b）提出了估計(jì)NS模型的兩步法（DL兩步法）[10]：第一步根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定指數(shù)部分的衰減參數(shù)，第二步在已知的基礎(chǔ)上通過(guò)線性最小二乘法估計(jì)出其余三個(gè)參數(shù)。Rafael B. de Rezende（2011）仿照DL兩步法，選擇一組一定數(shù)量的可能值，逐一代入NS模型，通過(guò)最小化即期利率或遠(yuǎn)期利率的平均根均方誤差MRMSE來(lái)獲得及其它參數(shù)的最優(yōu)值[11]。國(guó)內(nèi)研究方面，余文龍與王安興（2010）通過(guò)經(jīng)驗(yàn)推斷NS模型的曲率因子負(fù)載的極大值點(diǎn)處于3.5年，然后反求出的估計(jì)值；胡志強(qiáng)與王婷（2009）直接羅列出的若干可能取值，接著通過(guò)最小擬合誤差估計(jì)出參數(shù)[12]。由于NS模型是其參數(shù)的非線性函數(shù)，用非線性最小二乘法估計(jì)參數(shù)會(huì)因依賴初始值而導(dǎo)致估計(jì)結(jié)果不穩(wěn)定，而DL兩步法的優(yōu)點(diǎn)在于運(yùn)算簡(jiǎn)便，而且結(jié)果穩(wěn)定，但缺點(diǎn)是對(duì)參數(shù)的估計(jì)存在一定的隨意性，容易產(chǎn)生估計(jì)誤差。國(guó)內(nèi)學(xué)者使用的另一個(gè)常見(jiàn)的估計(jì)方法是遺傳算法。任姝儀等（2011）在NS模型的四個(gè)參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)范圍內(nèi)構(gòu)建參數(shù)初始種群，通過(guò)算法迭代，一次性計(jì)算出包含的所有參數(shù)[13]，因此遺傳算法也可以稱為“一步法”。遺傳算法對(duì)的估計(jì)結(jié)果不太穩(wěn)定，收斂速度的快慢取決于給定的算法參數(shù)，對(duì)異常值也比較敏感，有時(shí)還會(huì)陷入收斂陷阱，需要反復(fù)試驗(yàn)。針對(duì)DL兩步法和遺傳算法的上述缺陷，本文提出了基于改進(jìn)的兩步法的NS利率期限結(jié)構(gòu)模型，并利用上海證券交易所國(guó)債數(shù)據(jù)與基于遺傳算法及DL兩步法的NS利率期限結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行實(shí)證比較。

二、NS利率期限結(jié)構(gòu)模型及改進(jìn)兩步法的求解

（一）NS利率期限結(jié)構(gòu)模型及其參數(shù)？姿的估計(jì)

NS利率期限結(jié)構(gòu)模型采用式（1）來(lái)擬合即期利率。通過(guò)求解樣本國(guó)債的理論價(jià)格與市場(chǎng)價(jià)格誤差的最小值問(wèn)題來(lái)估計(jì)模型參數(shù)，進(jìn)而求得利率期限結(jié)構(gòu)。

r（t；？姿）=？茁0+？茁1■+？茁2（■-e-？姿t）（1）

其中，？茁i（i=0，1，2）和？姿是模型參數(shù)。根據(jù)Diebold Li（2006b）的理解，各參數(shù)具有明顯的經(jīng)濟(jì)含義： ？茁0表示利率期限結(jié)構(gòu)的水平因子，反映利率的長(zhǎng)期水平；？茁1表示利率期限結(jié)構(gòu)的斜率因子，反映短期利率水平；？茁2描述利率曲線彎曲的形態(tài)和趨勢(shì)，是利率曲線的曲率因子；？姿則決定了斜率、曲率因子負(fù)載的收斂速度，稱之為衰減參數(shù)。

現(xiàn)有文獻(xiàn)估計(jì)上述參數(shù)主要采用經(jīng)驗(yàn)分析[14]，各參數(shù)的范圍滿足：？茁0+？茁1>0，0.03<？茁0<0.1，-0.1<？茁1，？茁2<0.1，？姿？綴（0，1）。就衰減參數(shù)？姿的估計(jì)，目前主要采用DL兩步法和遺傳算法。對(duì)于DL兩步法，考慮到？姿取決于NS模型的曲率負(fù)載的極值點(diǎn)位置，因此首先通過(guò)經(jīng)驗(yàn)設(shè)定曲率負(fù)載取得極值的時(shí)間點(diǎn)t=t*，然后利用曲率負(fù)載在極值點(diǎn)的一階條件獲得？姿的估計(jì)值？姿*。然而憑經(jīng)驗(yàn)所得的極值點(diǎn)一般都不精確，由此得到的估計(jì)誤差較大。對(duì)于遺傳算法，則完全剔除了經(jīng)驗(yàn)判斷，在NS模型所有參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)范圍內(nèi)構(gòu)造多組待估參數(shù)的可選數(shù)值（初始種群），每一組都被看成個(gè)體，將它們依次代入到目標(biāo)函數(shù)，然后選擇函數(shù)值較小的一定數(shù)量個(gè)體，經(jīng)交叉和變異，生成待估參數(shù)的子種群，重復(fù)此過(guò)程，直至迭代達(dá)到給定的次數(shù)，或目標(biāo)函數(shù)小于某一給定正數(shù)，最終取得最小函數(shù)值的個(gè)體就是模型參數(shù)的估計(jì)值，如此一次性全部求出所有參數(shù)的遺傳算法也可稱為“一步法”。問(wèn)題是NS模型是其參數(shù)的非線性函數(shù)，因此在迭代運(yùn)算過(guò)程中，四個(gè)參數(shù)相互影響，導(dǎo)致每次運(yùn)算的結(jié)果相差較大，所得？姿的估計(jì)值？姿*很不穩(wěn)定。

（二）改進(jìn)的兩步法及求解

1.改進(jìn)的兩步法的基本思路

為了彌補(bǔ)DL兩步法與遺傳算法在估計(jì)NS模型的衰減參數(shù)？姿時(shí)的局限性，本文通過(guò)改進(jìn)的兩步法尋找最優(yōu)的？姿*。基本思路是在最小化樣本國(guó)債加權(quán)價(jià)格誤差平方和的目標(biāo)函數(shù)下，通過(guò)遺傳算法與線性最小二乘法交叉迭代，獲得最優(yōu)的參數(shù)？姿*，最后再利用最小二乘法求出其它參數(shù)，進(jìn)而得到即期利率。這樣做較DL兩步法和遺傳算法估計(jì)NS模型參數(shù)值有下列優(yōu)點(diǎn)：一是融合了遺傳算法的大樣本挑選優(yōu)勢(shì)；二是同時(shí)具備線性最小二乘法的穩(wěn)定性。

模型中的目標(biāo)函數(shù)一般是：

min■■（Pk-Pk）2（2）

其中，Pk，Pk為國(guó)債的市場(chǎng)價(jià)格和理論價(jià)格，m為債券數(shù)量。根據(jù)修正久期的經(jīng)濟(jì)含義，在其他因素相同的情況下，固息國(guó)債剩余期限越長(zhǎng)，修正久期就越大，相同利率變化造成的國(guó)債價(jià)格波動(dòng)也就越大。考慮到我國(guó)國(guó)債大多集中在中期，長(zhǎng)、短期國(guó)債數(shù)量有限，所以本文采用修正久期的倒數(shù)對(duì)不同期限的國(guó)債價(jià)格誤差進(jìn)行加權(quán)調(diào)整，以消除期限對(duì)價(jià)格誤差的影響。此時(shí)，目標(biāo)函數(shù)變?yōu)椋?/p>

■■■[■（Pk-Pk）/■■]2，（3）

其中，■k=■Ci？啄（ti），

？啄（t）=exp（-r（t；？姿）t）=exp（-t（？茁0+？茁1■+？茁2■-e-？姿t））， Dk是修正久期，Ci是利息，n為利息支付次數(shù)，？啄（t）是債券在t時(shí)刻的貼現(xiàn)函數(shù)，其它各符號(hào)意義與上文相同。

2.基于改進(jìn)的兩步法的模型求解步驟

首先在？姿的經(jīng)驗(yàn)范圍內(nèi)生成一定數(shù)量的初始種群，將種群的每個(gè)個(gè)體代入式（3）-（4），并采用最小二乘法估計(jì)出其余三個(gè)參數(shù)序列，得到相應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)值，以此作為挑選？姿的依據(jù)。具體求解步驟如下：（1）初始種群的生成：設(shè)置進(jìn)化代數(shù)計(jì)數(shù)器n←0，最大進(jìn)化代數(shù)N，在參數(shù)？姿范圍內(nèi)隨機(jī)生成k個(gè)個(gè)體（染色體），構(gòu)成的初始種群P（0）；（2）選擇：將上述k個(gè)個(gè)體代入式（3）-（4），利用最小二乘法估計(jì)出其余三個(gè)參數(shù)值，得到參數(shù)組序列？茁i1，i=0，1，2，進(jìn)而得到適應(yīng)度值，對(duì)其從小到大排列，利用選擇算子保留函數(shù)值較小的一定數(shù)量的染色體；（3）交叉：利用交叉算子將保留下來(lái)的染色體兩兩線性組合，得到新的染色體；（4）變異：運(yùn)用變異算子按照一定的變異概率改變?nèi)旧w的部分基因，形成？姿的子種群P（1），將子種群中的個(gè)體代入式（3）-（4），用最小二乘法估計(jì)出參數(shù)組？茁i2，i=0，1，2，接著得到適應(yīng)度值，從小到大排列選出函數(shù)值較小的一定數(shù)量的染色體，轉(zhuǎn)到步驟（3），（4）；（5）終止條件判斷：若n≤N，或所得參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)值大于預(yù)先給定的較小正數(shù)，則n←n+1，轉(zhuǎn)到步驟（2）；反之，則以進(jìn)化過(guò)程中所得到的具有最大適應(yīng)度的個(gè)體作為最優(yōu)解輸出，終止運(yùn)算。

三、實(shí)證比較與分析

考慮到數(shù)據(jù)的可得性和豐富性問(wèn)題，本文選取上海證券交易所2008年7月10日，共計(jì)33支國(guó)債日交易收盤(pán)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析，數(shù)據(jù)來(lái)源于和訊債券網(wǎng)。考慮到NS模型對(duì)長(zhǎng)期期限數(shù)據(jù)的擬合效果較差，我們將剩余期限在10年以上的4個(gè)樣本點(diǎn)予以剔除，同時(shí)還剔除到期收益率為負(fù)的一個(gè)異常點(diǎn)，然后用剩下的其中19只樣本內(nèi)債券數(shù)據(jù)進(jìn)行模型估計(jì)，其余9支樣本外國(guó)債數(shù)據(jù)用于模型檢驗(yàn)。用Matlab編寫(xiě)改進(jìn)的兩步法、遺傳算法和DL兩步法的程序。算法開(kāi)始首先確定各參數(shù)取值，如群體數(shù)量、代溝大小、交叉和變異概率等，它們對(duì)算法的結(jié)果有重要影響。根據(jù)常用的參數(shù)范圍及試算結(jié)果①，對(duì)于改進(jìn)的兩步法，設(shè)定算法參數(shù)如下：染色體數(shù)目k=200，最大遺傳代數(shù)M=300，代溝g=0.5，交叉概率P交叉=0.8，變異概率P變異=0.15。對(duì)于遺傳算法，參數(shù)設(shè)定為：染色體數(shù)目k=40，最大遺傳代數(shù)M=1000，代溝g=0.9，交叉概率P交叉=0.8，變異概率P變異=0.175。對(duì)于DL兩步法，本文借鑒文獻(xiàn)[5]的做法，取定？姿=0.51235。用這三個(gè)算法估計(jì)NS模型的結(jié)果見(jiàn)表1。根據(jù)表1，與遺傳算法和兩步法相比，改進(jìn)的兩步法所得目標(biāo)函數(shù)值最小，擬合優(yōu)度最高②，DL兩步法則最低。

樣本外的理論價(jià)格與市場(chǎng)價(jià)格的絕對(duì)誤差見(jiàn)表2。根據(jù)表2，基于改進(jìn)的兩步法的價(jià)格誤差是39.68，而基于遺傳算法和DL兩步法分別是41.12和45.56，顯然前者要優(yōu)于后兩者，因此，改進(jìn)的兩步法對(duì)較長(zhǎng)期限的債券數(shù)據(jù)擬合有明顯優(yōu)勢(shì)。接著，為對(duì)比基于改進(jìn)的兩步法、遺傳算法和DL兩步法的NS模型對(duì)較短期限數(shù)據(jù)的擬合效果，剔除上述樣本中剩余期限為6年以上的數(shù)據(jù)，即用18只樣本內(nèi)債券數(shù)據(jù)估計(jì)模型，用剩下的7只樣本外債券進(jìn)行模型檢驗(yàn)。估計(jì)結(jié)果見(jiàn)表3，其中，雖然根據(jù)改進(jìn)的兩步法所得的目標(biāo)函數(shù)值最小，但三者的擬合優(yōu)度沒(méi)有明顯差別。樣本外的理論價(jià)格與市場(chǎng)價(jià)格的絕對(duì)誤差見(jiàn)表4。根據(jù)表4，基于改進(jìn)的兩步法的價(jià)格誤差是3.9，而基于遺傳算法和DL兩步法分別是4.3和3.9，前者優(yōu)于遺傳算法，但和DL兩步法相當(dāng)。因此三個(gè)算法對(duì)較短期限數(shù)據(jù)的擬合效果近似。綜合比較三種算法對(duì)長(zhǎng)、短期限數(shù)據(jù)的估計(jì)效果，改進(jìn)的兩步法要優(yōu)于遺傳算法和DL兩步法。

為了進(jìn)一步對(duì)比三種算法的估計(jì)效果，本文還選擇了2005年1月4日起連續(xù)3個(gè)交易日數(shù)據(jù)（剩余期限為15年以下）做實(shí)證分析，特別的是，為了避免樣本數(shù)據(jù)選擇的刻意性，只隨機(jī)選擇每日80%的樣本內(nèi)數(shù)據(jù)做擬合，剩余20%的樣本外數(shù)據(jù)做模型算法檢驗(yàn)，根據(jù)樣本內(nèi)的擬合優(yōu)度和樣本外的根均方誤差RMSE來(lái)判斷三種方法的優(yōu)劣。實(shí)證結(jié)果見(jiàn)表5。

由表5可知，改進(jìn)的兩步法在擬合優(yōu)度R2方面是最高的，根均方誤差也是相對(duì)最低的，三者的平均根均方誤差分別是2.09，2.17和3.87。總的看來(lái)，改進(jìn)的兩步法優(yōu)于遺傳算法，而遺傳算法優(yōu)于DL兩步法。

四、結(jié)論

債券及利率衍生品定價(jià)、風(fēng)險(xiǎn)管理和貨幣政策制定依賴于利率期限結(jié)構(gòu)的精確估計(jì)，NS利率期限結(jié)構(gòu)模型是應(yīng)用最廣泛的模型之一。對(duì)于其指數(shù)部分的衰減參數(shù)的估計(jì)，大多存在一定的隨意性，然而衰減參數(shù)的估計(jì)對(duì)利率期限結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)確估計(jì)具有重要影響。對(duì)此，本文提出基于遺傳算法與最小二乘法交叉運(yùn)用改進(jìn)了DL兩步法的NS利率期限結(jié)構(gòu)模型的參數(shù)估計(jì)方法，然后以上海證券交易所國(guó)債數(shù)據(jù)為樣本，與遺傳算法和DL兩步法的NS模型進(jìn)行實(shí)證比較。結(jié)果顯示：基于改進(jìn)的兩步法的NS利率期限結(jié)構(gòu)模型能減少價(jià)格誤差，具有較高的穩(wěn)定性，總體上優(yōu)于遺傳算法和DL兩步法，特別是對(duì)于較長(zhǎng)期限的債券數(shù)據(jù)樣本。顯然地，改進(jìn)的兩步法可以推廣應(yīng)用到NS族模型，還可以考慮應(yīng)用于利率期限結(jié)構(gòu)的預(yù)測(cè)方面，這將是我們后續(xù)研究的問(wèn)題。■

（責(zé)任編輯：徐璐）

參考文獻(xiàn)：

[1]Willner， R.. A New Tool for Portfolio Managers： Level， Slope， and Curvature Durations [J]. The Journal of Fixed Income， June，1996：48-59.

[2]Bravo， J.M.V. and C.M.P. Da Silva， Immunization using a parametric model of the Term Structure[R].Working paper. 2005.

[3]Diebold， F. ， L. J i， and C. Li. A Three-Factor Yield Curve Model： Non-Affine Structure， Systematic Risk Sources， and Generalized Duration. in Klein， L.（ed.）， L ong-Run Growth and Short-Run Stabilization： Essays in Memory of Albert A nd o. Cheltenham， U. K.： Edward Elgar，2006.

[4] 朱世武，李豫，董樂(lè).交易所債券組合動(dòng)態(tài)套期保值策略研究[J]. 金融研究， 2004（9）.

[5] 余文龍，王安興. 基于動(dòng)態(tài)Nelson-Siegel模型的國(guó)債管理策略分析[J]. 經(jīng)濟(jì)學(xué)（季刊）， 2010（4）.

[6]劉艷萍，鞏玉芳，遲國(guó)泰.基于利率非平行移動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)控制的資產(chǎn)負(fù)債組合優(yōu)化模型[J].管理學(xué)報(bào)，2009.

[7]郭濤，宋德勇.中國(guó)利率期限結(jié)構(gòu)的貨幣政策含義[J]. 經(jīng)濟(jì)研究， 2008（3）.

[8]Nelson， J.， Siegel， A.： Parsimonious Modelling of Yield Curves [J]. Journal of Business， 1987.

[9]BIS，Zero-coupon yield curves：technical documentation， BIS Papers 25， 2005（10）.

[10]Diebold，F(xiàn).X. and C. Li，F(xiàn)orecasting the term structure of government bond yields [J]. Journal of Econometrics， 2006.

[11]De Rezende， R.， Giving Flexibility to the Nelson-Siegel Class of Term Structure Models[R]. Available at SSRN 1290784， 2011.

[12]胡志強(qiáng)，王婷.基于Nelson-Siegel模型的國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)預(yù)測(cè)[J].經(jīng)濟(jì)評(píng)論，2009（6）.

[13]任姝儀，楊豐梅，周榮喜.中國(guó)國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)Nelson-Siegel族模型實(shí)證比較[J].系統(tǒng)工程，2011（10）.

[14]唐革榕.我國(guó)利率期限結(jié)構(gòu)的靜態(tài)擬合實(shí)證研究[D].廈門：廈門大學(xué)，2006.