“概率論”課程教學的思考與體會

摘要：“概率論”是高校理工科學生的一門十分重要的課程，不僅是后續課程學習的基礎，也在生活實踐的各個方面具有廣泛應用。結合“概率論”課程的教學實踐，探討對該課程在教學思想和教學方法方面的思考與體會。

關鍵詞：概率論；教學；隨機性；興趣

中圖分類號：G642.0 文獻標識碼：A 文章編號：1007-0079（2014）21-0091-02

“概率論”不僅是各后續課程學習的必要基礎，也在金融投資、保險精算、醫學研究、生物統計以及工程技術等方面有著廣泛的應用。不同于其他的數學課程，概率論主要研究的是隨機現象和隨機事件，這就導致概率論在思維方式和研究方法上與以往確定性數學有很大的不同。筆者在近幾年的教學過程中發現，學生在學習概率論時常常反應難度較大。究其原因在于：一是概率論的學習需要從思維方式上做到從確定性思維到隨機性思維的轉變，而學生學習時思維局限于基礎數學的領域，缺乏隨機思想和隨機觀念，導致接受知識很困難；二是基本概念抽象復雜，不易理解，思想方法獨特，理論性強，遇到實際問題思維難以展開；三是微積分的基礎不好，對概率論的學習興致不高。作為從事“概率論”教學的教師，都會面臨“教師如何教”“學生如何學”的問題，為此本文針對該課程的教學思想和教學方法進行了探討。

一、在教學中注重隨機觀念的樹立與培養

概率論的研究對象是隨機現象的統計規律性。由于隨機現象的發生帶有不確定性，不能用簡單的因果關系進行描述，這對于習慣于運用確定性思維和工具進行研究的學生來說是一個難題。因此在教學中應注重隨機觀念的樹立與培養，引導學生從傳統的確定性思維方式進入隨機性思維方式，是“概率論”教學順利開展要解決的課題。

1.充分理解隨機現象的含義，正確把握偶然與必然的關系

隨機現象是在一定條件下可能發生，也可能不發生的現象。隨機現象發生的條件與結果之間不再具有邏輯上的因果關系，這是與確定性現象的本質區別。但是，盡管在一次試驗中，隨機現象的發生具有偶然性，但在大量的試驗中隨機現象的發生又具有一定的規律性，尋找這一規律是研究隨機現象的目的。在確定性思維的影響下，學生會以為通過對隨機現象的研究，可以使原先無法預知的結果變得可預知。而隨機現象的本質特點就在于結果的偶然性，無論研究與否，隨機現象的這一本質特點都不會改變。也就是說，隨機現象的隨機性不會因為人們掌握其規律性而改變。因此教學中需要通過實例讓學生充分理解隨機現象各結果發生的偶然性以及大量重復試驗中隨機現象所呈現出來的統計規律性之間的辯證關系。

2.通過對比分析正確理解概率的定義，增強對隨機概念的理解

隨機事件的概率是對事件發生可能性的度量。在教學中引入概率的概念時，通常會涉及四種定義：統計定義、古典定義、幾何定義和公理化定義。概率的統計定義是從試驗角度出發，將大量試驗中事件頻率的穩定值作為一次試驗中事件可能性大小的度量。概率的統計定義對試驗不做任何要求，也比較直觀，但是在數學上很不嚴密。在實際中不可能對每一個事件都做大量的實驗，求得頻率，然后用頻率估計概率。概率的古典定義是從分析角度出發，針對古典概率模型給出的計算概率的方法。古典定義要求試驗滿足有限性和等可能性，這使得古典定義在實際應用中有很大的局限性。概率的幾何定義是從測度的角度給出定義，雖然去掉了有限性的限制，但仍要求試驗滿足等可能性，這在實際問題中仍有很大的局限性。例如，擲一枚均勻的硬幣，這樣的實驗就不具有等可能性，古典定義和幾何定義都不適用。概率的公理化定義是通過規定概率應具備的基本性質來定義概率，是嚴密的數學定義，對各種情況也都適用，但缺點是它沒有給出計算事件概率的具體方法。概率的這些不同定義容易使學生產生困惑，到底概率是一個近似的數還是一個精確的數，是通過實驗估計還是通過計算分析得到。實際上，概率是由事件的本身屬性所決定，與試驗無關。概率的不同定義只是在不同條件下了解這種屬性的手段而已。在教學中應結合概念的歷史發展背景，采取由具體到抽象，由特殊到一般的方式引入概念，并通過對比分析加強理解。

3.結合恰當的教學設計，加強隨機觀念的培養

首先，在具體的教學中可以利用生活中有趣的隨機問題創造隨機環境，讓學生親自體驗問題中的隨機性，使學生把直覺和經驗與概率論的思想和方法聯系起來，如彩票問題、生日問題、抽簽問題等。還可以構造與時事相關的概率模型讓學生展開討論。例如，一架飛機失蹤了，推測它等可能地墜落在三個區域，令1-ai表示飛機墜落在第i個區域的概率（ai稱為疏忽概率，取決于該地區的地理和環境條件）。若已知在其中一個區域搜索沒有發現飛機，討論飛機在其他區域墜落的概率。其次，開展有針對性的專題講座，提煉、概括問題中蘊含的思想方法，深化學生對隨機問題的理解和認識。例如可以通過計算生日問題與匹配問題中事件的概率展開對概率與直覺的討論，以“小概率原理”為主題探討概率意義下反證法的適用等。

二、教學中注重基本概念的理解

在概率論中，基本概念的理解非常重要，但又常常被學生所疏忽，往往是大部分內容學完之后還有大多數學生對“什么是隨機變量”解釋不清楚，對于隨機變量的獨立、相關等概念更加不明所以。實際上，在數學課程的教學過程中，這種情形非常常見。這主要是因為數學中的很多概念、規律很少以最初創立時的形式出現，它們經過濃縮提煉，被隱去了曲折、復雜的思維過程，呈現給人們的是經過加工整理的嚴密、抽象的結論，導致其誕生的那些思想方法已經轉變為內在形式蘊含其中。因此，教學中需要注意以下幾個方面：

1.展開概念，而不是簡單的給定義

概念是濃縮的知識點，是經過分析、綜合、比較抽象概括得出的結果，教師在講解時應當完整體現這一生動的過程，而不是簡單的敘述和羅列。例如，兩個事件相互獨立性的定義，最初直觀的定義為如果事件A發生的概率與不受事件B發生與否的影響，則稱事件A與事件B是獨立的。表達為數學公式，即為。再結合概率的乘法公式，將獨立性的定義進一步演變為：若事件A與事件B滿足，稱事件A與事件B是相互獨立的。用后一定義的好處在于獨立關系不受或的制約，且充分體現相互獨立這一對稱關系。但缺點是獨立的直觀意義不明顯。通常對獨立性做判斷時，主要通過三種方式：一是根據實際意義判斷，如甲乙兩人同時向同一目標射擊，甲擊中與乙擊中通常認為是相互獨立的；二是題目中隱含獨立性，如放回抽樣式樣中，前后兩次抽樣的結果是相互獨立的；三是需要根據定義計算概率做出判斷。這樣通過展開、辨析、歸納就將兩個事件獨立性的概念分析清楚了。

2.引導發現，不要過早下結論

教師在教學中要引導學生積極參與概念的探索、發現、推導的過程，弄清每個結論的因果關系。學生的思考過程對于概念的理解和記憶意義重大。例如在引入貝葉斯公式時，若是直接給出繁瑣的公式，學生不易接受且印象不深。如果先根據運用全概率公式解題的例子提出問題，引導學生自己完成貝葉斯公式的推導，則會使學生加深對公式的理解和記憶，事半功倍。

3.靈活貫通，避免呆板記公式

在實際教學中注重激活學生的推理能力，使學生能夠將已有的認識和方法上下貫通，前后遷移，避免呆板的死記硬背。例如互斥與相互獨立這一組概念在理解記憶時，除了從概念上分析，還可以引導學生從以下角度展開理解：互斥描述能否同時發生，相互獨立描述有沒有影響；互斥描述一次試驗中出現的不同事件，相互獨立描述兩次或多次試驗出現的不同事件；互斥事件和的概率等于概率的和，獨立事件乘積的概率等于概率的乘積；兩兩互斥則彼此互斥，兩兩獨立則未必相互獨立等等。這樣通過引導學生展開多向思維，擴大思路，可以對探究的問題得到新的認識和結果。

三、鞏固基礎，激發興趣，提高學習積極性

初等數學和微積分基礎不好是一些學生對概率論學習興致不高的主要原因。實際上，在概率論中涉及的計算技巧并不多，只是一些簡單的排列組合，導數和積分的計算。因此，教學中做好基礎知識的復習鞏固和新舊知識內容的銜接非常重要。例如，在講解古典概型的概率計算之前，先對排列組合的知識進行復習總結；在介紹離散隨機變量的概率分布之前，先對可能涉及的級數求和公式進行回顧；在開始介紹連續隨機變量的定義之前，對部分微積分的計算公式和性質做簡單的復習整理等等。這樣教師在進行概率知識的講解和應用時，就水到渠成，學生做題也會得心應手。

興趣是促使學生進行探索的原動力。教師在教學過程中通過激發學生的學習興趣，調動學生的學習熱情，從而提高學生學習的積極性，讓被動的學習變為主動，那么必然會取得比較好的教學效果。對于概率論來說，要激發學生的學習興趣，需要注意以下兩方面：首先，知識點的引入非常重要，要精心設計。這樣做的目的是要從一開始就抓住學生的注意力，使學生產生求知欲望。其次，例題的選取要恰當，突出趣味性與實用性。“概率論”課程與實踐聯系非常緊密，教師可以針對教學內容選取有趣且與生產、生活密切相關的例子，讓學生感受到趣味性的同時，認識到所學知識的應用價值。

總體來說，影響一門課程教學效果的因素有很多，只有教師保持對教學工作的熱情和責任心，努力提高自身的學術水平，認真鉆研教學的方法和技巧，才能使自身的教學水平有所提高，取得好的教學效果。

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（責任編輯：孫晴）