分部積分法初探

摘 要：給出了應(yīng)用分部積分法的一般規(guī)律、技巧，提供了u與dv的選取原則，以解決學(xué)生在使用中的困難。

關(guān)鍵詞：分部積分法；規(guī)律；技巧

分部積分法是積分學(xué)中一種重要的方法，主要用來解決被積函數(shù)為兩個不同類型函數(shù)乘積的積分問題。分部積分法的原理來自于函數(shù)乘積的求導(dǎo)公式：（uv）′=u′v+uv′，經(jīng)過移項，兩邊求不定積分，得到分部積分公式■udv=uv-■vdu，或者可寫成■uv′dx=uv-■vu′dx。分部積分法的核心是將不易求出的積分■udv轉(zhuǎn)化為較易求出的積分■vdu，而關(guān)鍵是把積分■udv寫成■vdu的形式，使積分■vdu比積分■udv容易求出。

例.求不定積分■xexdx

解：方法一：令u=x，dv=exdx，則v=ex，由分部積分公式得■xexdx=■xdex=xex-■exdx=xex-ex+c

方法二：令u=ex，dv=xdx，則于v=■x2是

■xexdx=■x2ex-■■xexdx■■x2exdx

顯然，等式右邊的積分比原來的積分更復(fù)雜了。

由此可見，u與dv的選擇，在使用分部積分法時起著至關(guān)重要的作用。那么，如何來選擇呢？

下面我們分三種情況討論。

1.對于■xneaxdx，■xnsinaxdx，■xncosaxdx，（即被積函數(shù)為冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)與三角函數(shù)的乘積）類型的積分，一般設(shè)xn為u，被積表達(dá)式其余部分為dv。分部積分公式用一次，冪函數(shù)指數(shù)降低一次，反復(fù)用分部積分公式，直至冪函數(shù)指數(shù)降為零次。

例1.求■x2exdx，

■x2exdx=■x2de2=x2ex-2■xexdx

解：■x2exdx=■x2de2=x2ex-2■xexdx

=x2ex-2（xex-ex）+c

2.對于■xnlnxdx，■xnarcsinxdx，■xnarctanxdx類型的積分，一般設(shè)對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為u，xndx設(shè)為dv，因?qū)?shù)函數(shù)或反三角函數(shù)的微分形式較為簡單，故可將原積分轉(zhuǎn)化為較簡單形式的積分。

例2.求■x-2lnxdx

解：■x-2lnxdx=■lnxd（1-■）=-■lnx+■■■dx

=-■lnx-■+c

3.對于■eaxsinbxdx，■eaxcosbxdx類型的積分，可任意選取一種函數(shù)為u，被積表達(dá)式其余部分設(shè)為dv，但用一次分部積分公式是無法求出結(jié)果的，需要用兩次分部積分公式，而且兩次選取作為u的函數(shù)必須是同一類型，這樣又出現(xiàn)了所求的不定積分，然后像解方程一樣解出結(jié)果。

例3.求■exsinxdx

解：■exsinxdx=■exd（-cosx）=-excosx+■eaxcosxdx

=-excosx+■exd（sinx）=-excosx+exsinx-■exsinxdx

所以■eaxsinxdx=■ex（sinx-cosx）+C

另外，有些不定積分在應(yīng)用換元積分法之后，再使用分部積分法也可以求解，在u與dv的選取上，仍然遵循前面的三條原則。

例4.■x5sinx2dx

解：令x2=t，則dx=■dt，于是

■x5sinx2dx=■t■sint■dt=■■t2sintdt=-■（t2cost-2■tcostdt）=-■t2cost+tsint+cost+C=-■x4cosx2+x2sinx2+cosx2+C

分部積分法的使用雖然有一定困難，但只要掌握其技巧、規(guī)律，針對具體問題，可以事倍功半，使解題簡捷易達(dá)。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2007：208.

[2]李自勇.高等數(shù)學(xué)[M].甘肅：蘭州大學(xué)出版社，2011：79.

作者簡介：劉玉蘭，女，1978年4月出生，漢族，甘肅省古浪縣人，研究生碩士學(xué)位，主要從事數(shù)學(xué)教育教學(xué)工作。

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