淺談高等代數在空間解析幾何中的應用

摘 要：高等代數與空間解析幾何具有緊密的聯系。本文主要是討論高等代數中的行列式、向量及線性方程組這三個數學工具在空間解析幾何中的實際應用。

關鍵詞：行列式；向量；齊次線性方程組；空間解析幾何

空間解析幾何主要研究兩類問題，即用代數方法研究幾何圖形的幾何結構，及用圖形的方法給出方程的直觀幾何解釋。高等代數的知識是空間解析幾何的主要研究工具，同時空間解析幾何也可以使較抽象的高等代數有一個直觀的幾何應用。因此高等代數與空間解析幾何具有緊密的聯系，本文主要討論高等代數中的行列式、向量及齊次線性方程組這三個代數工具在空間解析幾何中的應用。

一、向量在空間解析幾何中的應用

向量是高等代數中的重要內容，空間解析幾何利用三維向量的相關代數知識把直觀的幾何圖形的幾何結構轉化為代數的定量計算。由下面的例子來說明此問題：

例1：設L，M，N分別為ΔABC三邊BC，CA，AB的中點，證明：三中線向量■，■，■可以構成一個三角形。

分析：這一題如果單以幾何角度來討論的話，需作出三條中線來直觀地觀察三條中線是否可以拼成一個三角形，這樣很難嚴謹地證明。但若以向量的思想來考慮的話，只需利用■，■，■可以構成一個三角形的充要條件是■，■，■=■這一性質即可。

證明：由中點公式知■=■（■+■），■=■（■+■），■=■（■+■），可得■+■+■=■，因此■，■，■可構成一個三角形。

二、行列式在空間解析幾何中的應用

行列式是高等代數中的一個重要工具，應用行列式可以使空間解析幾何的一些結論有結構化的表達，并使一些繁雜的計算變得簡潔。……