矩陣秩的等價定義

【基金項目】河南省高等教育教學改革研究項目（2012SJGLX125）

【摘要】本文給出了矩陣秩的兩種等價的定義.第一種定義是將《線性代數》（同濟大學應用數學系編， 第四版）中給出的矩陣秩的定義進行了簡化，這也給出了求矩陣的秩的一種簡捷的方法.第二種定義是在證明每個矩陣的行階梯形矩陣中非零行的行數是唯一確定的（教材中只是提到了這句話沒有給出證明）基礎上給出了一種直觀的定義.

【關鍵詞】矩陣的秩；行階梯形矩陣；行最簡形矩陣；行初等變換

【中圖分類號】O151.1

1.引 言

矩陣的秩是線性代數的重要內容，它不僅是矩陣的一個本質屬性，而且在解線性方程組、判斷向量組的線性相關性、求矩陣的特征值等方面有著廣泛的應用.而線性代數課本中直接給出的定義比較抽象，且不夠簡潔.本文給出了矩陣的秩的兩種等價的定義.第一種定義是將《線性代數》（同濟大學應用數學系編， 第四版）課本中給出的矩陣秩的定義進行了簡化，這也給出了求矩陣的秩的一種簡捷的方法.線性代數中給出了用初等變換的方法求矩陣秩的方法，若能證明矩陣經行初等變換后化成的行階梯形矩陣中的非零行數是唯一確定的則可直接將這一非零行的行數定義為矩陣的秩， 這樣定義不僅形象而且直接就有了矩陣秩的求法.然而課本中只是提到一句話說“由此可猜想到一個矩陣的行最簡形矩陣是唯一確定的（行階梯形矩陣中非零行的行數也是唯一確定的）”，但對此結論并沒有證明.本文對這個結論給出了詳細的證明，進而給出了矩陣的秩的一種比較形象直觀的定義.為方便讀者閱讀，下面首先給出本文用到的一些定義和符號.

定理4 任意矩陣的行階梯形矩陣中非零行的行數是唯一確定的.

證 由定理2可知任意矩陣A總可以經過有限次初等行變換化為行階梯形矩陣和行最簡形矩陣，而由行階梯形矩陣和行最簡形矩陣的定義可知同一個矩陣的行階梯形矩陣和行最簡形矩陣所含非零行的行數是一樣的，根據定理 3， 每個矩陣的行最簡形矩陣是唯一確定，故任意矩陣的行階梯形矩陣中非零行的行數是唯一確定的.

3.矩陣的等價定義