巧用數學性質解題

摘要：教學中每一個概念的產生，每一個法則的規定都有豐富的知識背景。在許多數學問題中，無論是題設、結論，還是整體結構、直觀圖像都表現出或隱含著某種特征。解題時，若善于觀察和捕捉這些特征，并由此進行分析、變換、聯想、構造，往往可以迅速得到問題解決的途徑或優化問題解決的過程。

關鍵詞：數學性質；解題方法；教師；學生

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）10-0119

一、巧用一次函數的性質

例1.已知x∈（0，π/2）問是否存在m∈（0，1），使得等式cosx+msinx=m成立？并說明理由。

解由cosx+msinx=m得

m （sinx-1）+cosx=0

設f（m）=m（sinx-1）+cosx在（0，1）上有解，f（0）f（1）<0

cosx（sinx+cosx-1）<0

而x∈（0，π/2），cosx>0，sinx+cosx-1>0

cosx（sinx+cosx-1）>0

（1）式與（2）式矛盾，故不存在m∈（0，1），使得等式cosx+msinx=m成立。

例2. 若a，b，c∈R，a<1， b<1，c

求證：ab+bc+ca+1>0

證明：構造函數f（x）=x（b+c）+bc+1

若b+c=0，由于-10

即f（x）>0，若b+c≠0

∵f（1）=b+c+bc+1=（b+1）（c+1）>0

∴（-1）=-（b+c）+bc+1=（1-b）（1-c）>0

由一次函數的單調性可知

對x∈（-1，1）總有

f（x）=x（b+c）+bc+1>0

而a<1 ∴f（a）=a（b+c）+bc+1>0

從而原不等式得證

例3. 已知：等差數列的前10項和為100，前100項和為10，求此數列的前110項和。

解：設等差數列為{an}，

∵Sn=na1+■d=■22+（a1-■）n，

∴■=■n+（a1-■）

從而■可看作關于n的一次函數。

∴點（10，■），（100，■），（110，■）都在該一次函數的圖像上

∴■=■

解得S110=-110

二、巧用輪換對稱的性質

方法：若已知條件和待求式中的代數式都是關于某些字母的輪換對稱式，則當且僅當這些字母相等時，待求式取得最值。再取特殊值代入驗證，判斷是最大值還是最小值。

例1. 如果a，b，c>0，a+b+c=1，則■+■+■的最大值是多少？

解：因為已知條件和待求式中的代數式是關于a，b，c的輪換對稱式，則當且僅當a=b=c=■時，待求式取得最值3■；又可取a=■，b=c=■，此時所證判定待求式的值小于3■，故3■為所求式的最大值。

例2. 已知x，y，z∈R+，且■+■+■=1，則z+差+號的最小值是多少？

解設■=m，■=n，■=k，則問題轉化為：m，n，K∈R+，且m+n+k=1，求■+■+■的最小值。

因條件式和待求式都是關于m，n，k的輪換對稱式，當且僅當m=n=k=■時，■+■+■的最值是9；又令m=■，n=k=■，有待求式的值大于9，故9為所求的最小值。

三、巧用圓錐曲線的定義

例1. 點P為雙曲線■-■=1（a>0，b>0）右支上任意一點，F1，F2為其兩個焦點，直線l為∠F1PF2的平分線，自F2向l引垂線，垂足為M，求點M的軌跡。

解：延長F2M交PFl于Q，因為直線l為∠F1PF2的平分線，F2M⊥l∴PQ=PF2，又PF1-PF2=2a ∴QF1=2a ∵F1O=F2OQM=MF2∴OM=a為一定值，故點M的軌跡，以O為圓心，以口為半徑的圓，其方程為x2+y2=a2。

例2. 已知點P為雙曲線■-■=1（a>0，b>0）右支上任意一點，F1，F2為其兩個焦點，圓O′為△F1PF2的內切圓，求點O′的橫坐標。

解：設圓O與△F1PF2的三邊F1P，PF2，F1F2的切點分別為E、F、G，則問題即為求點G的橫坐標。

由PE=PF，F1E=F1G，F2G=F2F由雙曲線的定義得PF1-PF2=2a，∴F1E-FF2=2a

∴F1G-GF2=2A

設F1（-C，0），F2（C，0），G（XG，0）

則XG-（-C）-（C-XG）=2a可得XG=a

所以點O′的橫坐標為a

四、巧用等差數列的性質

由等差數列的定義，不難得出如下性質：1.（k，ak），（m，am），（n，an）三點共線，則■=■（k≠m≠n）；（2）{■}是等差數列，首項是a1，公差為■；（3）（n，Sn）是拋物線f（x）=px2+qx（p=■，q=a1-■）上的點。

例：等差數列的前n項和為Sn

（1）若a1>0，Sm=Sn（m>n）求Sm+n

（2）若a1>0，S9=S17，問前多少項的和最大？

（1）解法一：由

0=Sm-Sn=an+1+an+2+…+am=（■）（m-n）

因為m-n≠0∴■=0

Sm+n=（■）（m-n）=（■）（m-n）=0

解法二：由性質（3）知（n，Sn（是拋物線f（x）=px2+qx（p=■，q=a1-■）上的點，并且此拋物線過原點，

因為f（m）=Sm=Sn=f（n） ∴（m，f（n））（m，f（m））兩點關于拋物線的對稱軸對稱，所以拋物線的對稱軸為■，所示（0，f（0）），（m+m，f（m+n））關于拋物線的對稱軸對稱。

所以f（m+n）=f（0）=0，由因為Sm+n=f（m+n），所以Sm+n=0.

（2）解法一：由（1）中的解法易知（n，Sn）所在拋物線f（x）=px2+qx的對稱軸為x=■=13，由已知拋物線f（x）開口向下，所以，當x=13時，f（13）最大，因為S13=f（13）所以前13項的和最大。

從性質入手，充分發掘其內在規律，性質的應用，大大提高了解題速度。

五、巧用絕對值的性質

巧用絕對值的性質解題，必須對絕對值的結構非常熟悉，以及能主動地把所求解的問題與性質結構聯系起來，此外，應注意式子的恒等變形。

例：解方程|x+lgx|=|x|+|lgx|

解：由絕對值的性質知，原方程等價于xlgx≥0，∴x≥1

故原方程的解集為{x：x≥1}

六、利用函數迭代的性質

設有一階遞歸數列a1=a（已知），且an=f（an-1），n=1，2，3……

于是有：an=f（an-1）=f°f（an-2）=f°f°f（an-2）=……=f [n-1]（a1）

利用此性質就可以求一階遞歸數列的通項。

例：已知x1=0，xn=■，n=1，2，3……求數列{an}的通項公式。

解：令f（x）=■ 則xn=f（xn-1） ∴xn=f [n-1]（0）

由上例可知xn=f [n-1]（0）=■

教學中的每個概念、性質都是數學研究的結晶，這里面蘊藏著深刻的數學思維過程，因此，引導學生對數學性質的發現應用，對培養學生的創造能力有著十分重要的意義，對一個數學問題從多方位、多角度去聯想、思考、探索，這樣既加強了知識間的橫向聯系，又提高了學生，從而達到開發學生智力和能力，提高創造思維的品質，增強創造力的目的。

（作者單位：山西省祁縣二中030900）