均值不等式的應(yīng)用

摘要：本文列舉了一些典型實(shí)例，探究了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中均值不等式的應(yīng)用。并結(jié)合最近發(fā)展區(qū)理論探討了解均值不等式的具體方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；均值不等式；方法

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）10-0127

最近發(fā)展區(qū)理論認(rèn)為學(xué)生的認(rèn)識至少有兩個(gè)發(fā)展水平，第一是現(xiàn)有發(fā)展水平——是指由自己完成發(fā)展程序的結(jié)果而形成的學(xué)生心理機(jī)能的發(fā)展水平，此時(shí)學(xué)生能獨(dú)立地自如地完成教師提出的智力任務(wù)；第二是潛在發(fā)展水平，是那些尚處在形成狀態(tài)，學(xué)生還不能獨(dú)立完成智力任務(wù)，但經(jīng)過啟發(fā)、幫助和通過自己的努力才能完成智力任務(wù)，這兩個(gè)水平之間的幅度即為“最近發(fā)展區(qū)”。

均值不等式是指：■≥■（a.b∈R+）■≥■（a.b.c∈R+）必須滿足三個(gè)條件1. 正值；2. 常量；3. 等號，三個(gè)條件缺一不可。學(xué)生在學(xué)習(xí)兩個(gè)不等式后，現(xiàn)有水平是簡單的套用方式，如x>0，則x+■≥2■=2（當(dāng)x=1時(shí)取等號），但如果函數(shù)式的結(jié)構(gòu)不“標(biāo)準(zhǔn)”，往往中途受阻，故在開發(fā)“最近發(fā)展區(qū)”時(shí)，只有圍繞“三個(gè)條件”去探討具體的操作方法，才能使學(xué)生順利完成智力任務(wù)。

一、湊配常數(shù)

例1. 求函數(shù)y=ax+■的最小值（a.b.c∈R+，x>-b）

分析：因x>-b，所以x+b>0，學(xué)生現(xiàn)有水平時(shí)是（x+b）■=c，需要把a(bǔ)x變?yōu)楹校▁+b）的因式，潛在水平是通過比較知ax=ax+ab-ab=a（x+b）-ab.

解：y=ax+■（a.b.c∈R+，x>-b，x+b>0） =a（x+b）+■-ab≥2

■-ac=2■-ab

當(dāng)僅當(dāng)a（x+b）=■ x+b=■即x=■-b時(shí)取“=”號

二、湊配系數(shù)

例2. x∈R+，且x2+■=2，求x■的最大值

分析（一）學(xué)生的現(xiàn)有水平是把二元換成一元，由已知得y2=8-4x2≥0，代入x■化為■。欲求積的最大值，需和為常量。潛在水平是湊配根號下x2的系數(shù)使和為零，變?yōu)椤?/p>

解：由已知x2+■=2，得y2=8-4x2≥0，代入x■=■=■

∵x∈R+，x2≤2，2x2≤4<6

∴6-2x2>0

∴■≤■=3，當(dāng)僅當(dāng)2x2=6-2x2，x2=■

∵x∈R+，∴x=■，且y2=2時(shí)取“=”號

分析（二）學(xué)生的現(xiàn)有水平是■≥2

∴x■=■潛在水平為把根號內(nèi)變形，使x2的系數(shù)為1，y2的系數(shù)為■，故需湊配系數(shù)■=2■

解：∵x∈R+，x■=■=■=2■≤x2+1+■=（x2+■）+1=3，當(dāng)且僅當(dāng)x2=1+■且x2=2-■時(shí)取“=”號。

解方程組得：x2=■，x=■，y2=2時(shí)，取“=”號。

三、均等分拆

例3. x∈R+，求x2+■的最小值

分析：為了滿足“等號常量”條件，=故在分拆某項(xiàng)時(shí)，必須把某項(xiàng)分拆成相等的兩項(xiàng)。這是現(xiàn)有水平，潛在水平是要分拆分子分母中次數(shù)較低的項(xiàng)。使乘積為常量。

解：∵x∈R+，x2+■=x2+■+■≥3

■=3■=■■當(dāng)且僅當(dāng)x2=■·x3=■，x=■=■■時(shí)，取“=”號

四、平方配方

例4. 求y=x（2-x2）的最大值，（0

分析：現(xiàn)有水平，求積的最大值，需求和為常量，但其和是x+2-x2，未知數(shù)化不去，潛在水平為：給已知兩邊平方y(tǒng)2=x2（2-x2）（2-x2）要使其和為常量，需湊配系數(shù)。

解：∵00

∴y2=■·2x2（2-x2）（2-x2）≤■■=■≤■

∴（當(dāng)僅當(dāng)2x2=2-x2，3x2=2，x=■時(shí)，y2≤■

∴y≤■=■

五、函數(shù)性質(zhì)

例5. 若01）的最小值。

分析：∵00，現(xiàn)有水平是sinx+■≥2■，但等號不成立，故不能直接運(yùn)用均值不等式，潛在水平（1）■=■+■；運(yùn)用（sinx+■）和■當(dāng)sinx=1時(shí)，同時(shí)取到最小值。

（上接第127頁）

（2）證明y=sinx+■（0，1]上是減函數(shù)。

∴當(dāng)sinx=1時(shí)，y有最小值

解：（1） ∵00

y=（sinx+■）+■≥2■+■，當(dāng)sina=■而sinx=l時(shí)，y≥2+a-1=a+1，

∴ymin=a+l

（2）y=sinx+■（0，1]上是減函數(shù)

∴當(dāng)sinx=l時(shí)，ymin=1+■=a+1

數(shù)學(xué)教學(xué)就是不斷地將“最近發(fā)展區(qū)”轉(zhuǎn)變?yōu)樾碌默F(xiàn)有水平，在這個(gè)新的現(xiàn)有水平的基礎(chǔ)上，又形成新的最近發(fā)展區(qū)……從而形成一個(gè)螺旋式向前發(fā)展的過程，使學(xué)生“跳起來摘到果子”，逐步建構(gòu)一個(gè)知識和能力的網(wǎng)絡(luò)。

（作者單位：山西省祁縣二中030900）