淺議初中數學因式分解的思想方法

摘要：世界著名數學家波利亞在60年代曾做過統計：普通中學的學生畢業后在其工作中需要用到數學的（包括數學家在內）約占全部學生的30%，而其余的70%則幾乎用不到任何具體的數學知識。正是基于這樣的分析，波利亞認為：“一個教師，他若要同樣地去教他所有的學生──未來用數學和不用數學的人，那么他在教解題時應當教三分之一的數學和三分之二的常識（即指一般性的思想方法或思維模式）?！币簿褪钦f，數學學習必須重視數學思想方法。

關鍵詞：觀察；試驗的思想方法；變量思維；整體思想

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）10-0108

因式分解就是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式。因式分解是恒等變形的基礎，它作為數學的一個有力工具、一種數學方法在代數、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項添項、求根分解、換元、待定系數等。

自從把數學思想方法納入基礎知識范疇以后，如何在學習中貫徹數學的思想方法，這已成為人們普遍關注的問題。

一、觀察、試驗的思想方法

在數學中，觀察、試驗是一種基本的研究方法，它可以用來引導數學發現、啟迪問題解決的思路。用十字相乘法進行分解因式不像整式乘法那樣可按法則計算，而是需要根據所給多項式的特點進行觀察、試驗才能解決。

例如，無論是簡單的二次三項式a2-7a-18的因式分解，還是復雜的二元二次多項式3x2+5xy-2y2+x+9y-4的分解因式，都需要進行細心的觀察、多次的試驗，將二次項系數（或二次項）與常數項各自分解為二數（或兩個多項式）的合理乘積，使得交叉相乘后相加的和必須是一次項系數（或一次項），來達到分解因式的目的。因此，要把觀察、試驗的思想方法貫穿于整塊內容教學的全過程，經過反復運用觀察、試驗的方法，從感性認識上升到理性認識。

二、變量思維

變量與常量既是對立的，又是統一的。辯證地看待字母──它具有常量與變量的雙重身份，常給我們研究問題帶來很大的方便.對簡的二次三項式用十字相乘法進行分解因式后，將這些等式里的字母看作變量，進行變量代換，能為解一些復雜的因式分解問題提示一種可行的思路。例如，用十字相乘法對二次三項式a2-7a-18分解因式后，引導學生將等式a2-7a-18=（a-9）（a+2）中的字母a進行變量變換，即將a變為x2，得x4-7x2-18=（x2-9）（x2+2）；將a變為x2-3x，得（x2-3x）2-7（x2-3x）-18=（x2-3x-9）（x2-3x+2）。

通過變元，把字母變成多項式，反過來，如果將某些多項式看作一個字母，利用換元法進行因式分解，那么學生的思維就自然而流暢了。

三、整體思想

有些多項式，表面上看較復雜，若能注意到題目中的整體所在，利用整體思想去把握，則能化繁為簡、化難為易。

整體思想的教學可按以下兩步進行：

1. 通過換元明確整體思想

例1. 分解因式：（x2+x）2-14（x2+x）+24

在變量思想的指導下，我們很快地想到用換元法對例1進行分解因式，即設x2+x=u，則原式=u2-14u+24=（u-2）（u-12）=（x2+x-2）（x2+x-12）=（x+2）（x-1）（x+4）（x-3）。在此基礎上，抓住換元法的特點是把x2+x看作一個整體，明確整體思想。

2. 通過解題發展整體思想

例2. 分解因式：（x2-3x+2）（x2-3x-4）-72

在整體思想的指導下，我們也很容易地得到以下的幾種解題方案：

方案1：將x2-3x看作一個整體，則原式=（x2-3x）2-2（x2-3x）-80=……=（x-5）（x+2）（x2-3x+8）。

方案2：將x2-3x+2看作一個整體，則原式=（x2-3x+2）2

-6（x2-3x+2）-72=……=（x-5）（x+2）（x2-3x+8）。

方案3：將x2-3x-4看作一個整體，則原式=（x2-3x-4+6）（x2-3x-4）-72=（x2-3x-4）2+6（x2-3x-4）-72=……=（x-5）（x+2）（x2-3x+8）。

以上兩例，正是由于整體思想，使得繁與簡、新與舊達到和諧的統一。

初中數學內容蘊含著豐富的數學思想方法。在教材中，有些數學思想方法比較明顯，便于我們在教學和學習中滲透與提高，有些則隱藏于知識背后，需要我們在學習中進行挖掘、提煉。結合不同階段知識學習，有意識地反復孕育數學思想方法，潛移默化地掌握數學思想方法，這是我們數學學習中的重要任務。久而久之，定能培養出高素質的、創造型的、21世紀的有用之才。

（作者單位：貴州省遵義縣三合鎮新站中學563103）