如何解決與集合運算有關的交匯問題

摘要：集合的運算是高考的常考內容，以兩個集合的交集和補集運算為主，且常與函數、不等式、三角函數、向量等內容相結合，以創新交匯問題的形式出現在高考中。本文就如何解決與集合運算有關的交匯問題進行了分析。

關鍵詞：集合；元素；解題方法

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）10-0109

集合一直都是高考的必考點，一般來說，解決集合的創新問題常分三步：（1）信息提取，確定化歸的方向；（2）對所提取的信息進行加工，探求解決方法；（3）將涉及到的知識進行轉換，有效地輸出，其中信息的提取和轉化與化歸是解題的關鍵，也是解題的難點。

案例一：（2012·重慶高考）設平面點集A={（x，y）|（y-x）（y-■）≥0}，B={（x，y）|（x-1）2+（y-1）2≤1}，則A∩B所表示的平面圖形的面積為（）

A. ■πB. ■πC. ■πD. ■

[解析]不等式（y-x）（y-■）≥0可化為y-x≥0y-■≥0或y-x≤0y-■≤0集合B表示圓（x-1）2+（y-1）2=1上以及圓內部的點所構成的集合，A∩B所表示的平面區域如圖所示。曲線y=■，圓（x-1）2+（y-1）2=1均關于直線y=x對稱，所以陰影部分占圓面積的一半。

[答案]D

評注：

1. 本題具有以下創新點

（1）命題方式的創新：題目并不是直接求解不等式組

（y-x）（y-■）≥0（x-1）2+（y-1）2≤1所表示的平面區域的面積，而是以求集合交集的形式考查。

（2）考查內容的創新：本題通過集合A，B考查了一元一次函數y=x、反比例函數y=■的圖像和圓的方程（x-1）2+（y-1）2=1，以及圓和函數y=■的圖像的對稱性、不等式所表示的平面區域等內容。

2. 解決本題的關鍵有以下兩點

（1）正確識別集合A與集合B中元素的幾何性質，并正確畫出各自所表示的區域；

（2）注意到圓（x-1）2+（y-1）2=1與函數y=■（x>0）的圖像都關于直線y=x對稱。

3. 在解決以集合為背景的創新交匯問題時，應重點關注以下兩點

（1）認真閱讀，準確提取信息，是解決此類問題的前提。如本題應首先搞清集合A與B的性質，即不等式表示的點集。

（2）剝去集合的外表，將陌生轉化為熟悉是解決此類問題的關鍵，如本題去掉集合的外表，將問題轉化為求解不等式組表示的平面區域問題.

案例二：已知A={（x，y）|y=|lnx|}，B={（x，y）|■+■=1}，則A∩B的子集個數為（）

A. 3B. 4C. 2D. 8

評注：選B。A∩B中元素的個數就是函數y=|lnx|的圖像與橢圓■+■=1的交點個數，如圖所示。由圖可知，函數圖像和橢圓有兩個交點，即A∩B中有兩個元素，故A∩B的子集有22=4個。

案例三：設集合M={y|y=|cos2x-sin2x|，x∈R}，N={x-■|<■，i為虛數單位，x∈R}，則M∩N為（）。

A. （0，1）B. （0，1]C. [0，1）D. [0，1]

評注：選C。∵y=|cos2x-sin2x|=|cos2x|，且x∈R，

∴y∈[0，1]，∴M=[0，1].

在N中，x∈R且|x-■|< ■，

∴|x+i|<■ ，

∴x2+1<2，解得-1

∴N=（-1，1），

∴M∩N=[0，1）.

（作者單位：陜西省安康市漢陰縣漢陰中學725100）