平均不等式的秘密——由來與題型分類

摘要：本文在揭示平均不等式幾何根源的同時(shí)，根據(jù)張景中院士的算法觀點(diǎn)，總結(jié)了平均不等式的題型。這樣，既克服了“小巧”的一題一法，又非讓人可望而不可及的“大法——無招勝有招”。對于多數(shù)凡人而言，“歸類整理、尋找通法”是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的不二法門。

關(guān)鍵詞：平均不等式；題型；分析；最大值；最小值

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）10-0110

常常聽到有教師或者學(xué)生說：“高中數(shù)學(xué)最難的部分是不等式，不等式最難的部分是平均（重要）不等式”。所謂平均（重要）不等式，是指給定兩個(gè)正數(shù)0

平均不等式作為高考及自主招生考試必考內(nèi)容，其證明非常簡潔：（■-■）2≥0 a+b-2■≥0 ■≤■，可以很明顯地看到，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號成立！

其實(shí)，平均不等式還說明了一個(gè)明顯的事實(shí)，如圖所示：

即圓內(nèi)的半弦長（幾何平均數(shù)）■≤半徑（算術(shù)平均數(shù)）■，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號成立。

調(diào)和平均數(shù)≤幾何平均數(shù)≤算術(shù)平均數(shù)≤平方平均數(shù)

延伸與推廣：b≤■≤■≤■≤■≤a

證明：①■≤■ ■×■≤■×■ ■=■≤■

②0≤（a-b）2 2ab≤a2+b2 a2+b2+2ab=（a+b）2≤2（a2+b2）

■≤■

該平均不等式鏈形式優(yōu)美、排序和諧勻稱、證法統(tǒng)一簡潔，給人以美的享受！其在幾何中，更有如下的統(tǒng)一幾何含義，令人驚嘆不已！

令PA=a，PB=b⊙0直徑2r=a-b，由圓冪定理及勾股定理

PD=■ =■≤PC=■≤PO=■≤PE=■。不等式■≤■≤■≤■，說明當(dāng)?shù)箶?shù)和■+■，積ab，和a+b，平方和a2+b2中有一個(gè)是定值時(shí)，其余幾個(gè)可以有最大值或最小值，當(dāng)且僅a=b當(dāng)時(shí)，不等式取到最值。亦即要求：一正二定三相等。

題型一：直接應(yīng)用型

例1. x>1，y>1，lgx+lgy=4，則lgx×lgy≤

分析：題目已知為和式lgx+lgy=4，求積式lgx×lgy的最大值，由平均不等式■≤■=2 lgx×lgy≤4，當(dāng)且僅當(dāng)lgx=lgy=2 x=y =100時(shí)等號成立。

從例1可以看出本類題型較為基礎(chǔ)與簡單，只要分清楚題設(shè)條件和題目問題是“倒數(shù)和”、“和”、“積”、“平方和”中的哪兒兩項(xiàng)，即可順利利用平均不等式求出最值。

題型二：“三不等”型

例2. y=sin2x+■≥

錯(cuò)解：求和式sin2x+■的最小值，且其積式為定值4！由平均不等式■≥■=2，即知sin2x+■≥4。

事實(shí)上，當(dāng)sin2x=■時(shí)，即sin2x=2 sinx=±■，這顯然是不可能的，即上述解法的等號不能成立。

正解：令t=sin2x∈（0，1]，則f（t）=t+■，由Nike函數(shù)圖像可知，當(dāng)t∈（0，1]時(shí)，f（t）=t+■單調(diào)遞減，即f（t）=t+■≥f（1）=5，當(dāng)且僅當(dāng)t=sin2x=1時(shí)等號成立。

由例2可以看出，平均不等式的使用要求：一正二定三相等。正如徐靜蕾主演的電影《一個(gè)也不能少》所言，上述三個(gè)條件一個(gè)也不能少！在解題中，我們應(yīng)特別注意“三相等”是否能夠成立，如果不能夠成立，則需要將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，然后利用函數(shù)的圖象及單調(diào)性加以解決。

題型三：“二不定”型

例3. 0

分析：題目要求積式■的最大值，則其和應(yīng)該為定值，然而x+（8-3x）=8-2x并非定值，為了使其和為定值，我們可以將原題作如下變形：y=■=■，此時(shí)，分子根號內(nèi)為積式，其和式為定值。即y=■≤■=

■■，當(dāng)且僅當(dāng)3x=8-3x x=■時(shí)等號成立。

例4. x>0，y>0，則（x+■）2+（y+■）2的最小值為

分析：題目要求平方和的最小值，但其積（x+■）（y+■），和（x+■）+（y+■）及倒數(shù)和均非定值，不能使用平均不等式。換言之，我們不能被表面的平方和形式所迷惑！將題目展開變形，可得（x+■）2+（y+■）2=x2+■+■+y2+■+■，求其最小值，最常見的是已知和式，積式為定值，故搭配為（x2+■）+（■+y2）+（■+■）。根據(jù)平均不等式得出（x2+■）+（■+y2）+（■+■）≥2■ +2■+2■=1+1+2=4，當(dāng)且僅當(dāng)x2=■，■=y2，■=■ x2=y2=■時(shí)等號成立！

由上述兩例可以看出，平均不等式配湊“二定”的主要技巧，是需要同學(xué)們分清，所求的是倒數(shù)和■+■，積ab，和a+b，平方和a2+b2中的哪一種，然后根據(jù)所求決定哪種式子需要是定值。如非定值，則應(yīng)缺啥補(bǔ)啥！這就如同缺鈣的孩子，應(yīng)該多吃鈣質(zhì)豐富的食物一樣，缺鈣補(bǔ)鋅是無濟(jì)于事的！

題型四：常數(shù)代換型

例5. x，y∈R+，x+y=1，則■+■≥

分析：題目求和式最小值，但其積、倒數(shù)和顯然均非定值，為了出現(xiàn)定值，需要在不改變問題的前提下對問題進(jìn)行變形！利用x+y=1，可得■+■=（■+■）×1=（■+■）×（x+y）=1+9+■+■，再由平均不等式可知10+■+■≥10+2■=16，當(dāng)且僅當(dāng)■=■ 9x2=y2 3x=y=■時(shí)等號成立。

更“進(jìn)”一步，對于更一般的題目“x，y，a，b∈R+，x+y=1，則■+■≥ ”或“x，y，a，b∈R+，■+■=1，x+y≥ ”，模仿上例，我們可得：（■+■）（x+y）=a+b+■+■≥a+b+2■=（■+■）2。從此，對于類似問題，我們無需再重復(fù)例5的解法，直接給出解即可。例如，x，y∈R+，■+■=1，則x+y≥ 。我們可以直接給出答案：（■+■）2=25。再“進(jìn)”一步，對于“a，b，c，x，y，z∈R+，x+y+z=1，則■+■+■≥ 。”我們亦可直接給出答案！（請讀者自己思考）

題型五：“無二定”型

例6. 正數(shù)a，b滿足ab=a+b+3，則ab的最小值是 。

分析：求ab積式的最小值，但其倒數(shù)和■+■=■=■不是定值，即平均不等式無法直接使用。此時(shí)，我們不妨換一個(gè)角度看看問問，欲求ab的最小值，我們可以看到，若題目條件中不含a+b，則解答呼之欲出。換言之，若我們能將條件中的a+b去掉，即留下只含ab的不等式，則ab的最值即可求出。

雖然該例并不滿足“二定”，但為了去掉“礙事”的a+b，我們對題目條件強(qiáng)行使用平均不等式，a+b=ab-3≥2■ ab-3≥2■，若令t=■>0 t2-3≥2t t2-2t-3=（t-3）（t+1）≥0

t=■≥3 ab≥9，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)等號成立。

由本例可以看出，雖然有些題目不滿足“二定”，也無法配湊出“二定”，但我們?nèi)匀豢梢砸罁?jù)“逐步逼近、縮小差異”的原則，強(qiáng)行使用平均不等式，去掉“非所求項(xiàng)”，將題目轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解。更“進(jìn)”一步，對于更一般的題目“a，b，c∈R+，ab=a+b+c，1則ab≥ ”，仿照例6即知“a，b，c∈R+，ab=a+b+c，1則ab≥ 2■ +c+2”。

例7. a，b∈R+，2b+ab+a=30，則■≥ 。

分析：欲求■的最小值，需先求得ab的最大值，該題目無法配湊“二定”，故需從條件2b+ab+a=30中去掉a+2b，并得到一個(gè)關(guān)于ab的一元二次不等式。強(qiáng)行使用平均不等式a+2b=30-ab≥2■，令t=■>0 30-t2≥2■t t2+2■t-30≤0

0

對于平均不等式的更“進(jìn)”一步推廣：■≤■≤■≤■，上述五種基本題型的思路與解法亦同。

特別值得強(qiáng)調(diào)的是，請各位讀者注意分析中的“思路、想法”。數(shù)學(xué)問題是思維的體操，解任何數(shù)學(xué)問題，都離不開本文中涉及的“分析法”。

（作者單位：①遼寧省大連民族學(xué)院116650；②內(nèi)蒙古包頭市第一中學(xué) 014040）