關(guān)于定積分不等式的證法探悉

摘 要 本文討論、研究了利用定積分定義，性質(zhì)，定積分計(jì)算，初等不等式，泰勒公式，構(gòu)造變限積分函數(shù)，中值定理，被積函數(shù)相關(guān)性態(tài)，二重積分和柯西—施瓦茨不等式等方法來證明積分不定式；并加以例題分析，闡述運(yùn)用這些方法時(shí)的基本思路和解題技巧。

關(guān)鍵詞 定積分 不等式 證明

中圖分類號(hào)：O172.2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

About the Proof Method of Definite Integral Inequality

ZHANG Di

（College of Science， China University of Mining and Technology， Beijing 100083）

Abstract This article discusses the use of the definite integral definition， nature， definite integral calculation， elementary inequality， Taylor formula， structural change limit integral function， the mean value theorem， the plot function-related behavior， double integrals and Cauchy - Schwarz inequality integration and other methods to prove the infinitive； analyze and make examples to explain the basic ideas and problem-solving skills when using these methods.

Key words definite integral； inequality； proof

0 引言

定積分不等式證明是高等數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，下面通過例題分析，來探討在定積分不等式證明過程中的基本思路、技巧和方法。

1 利用定積分定義證明不等式

例1 設(shè)函數(shù) （）在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，且單調(diào)遞減。證明：當(dāng)0<<1時(shí)，有

（）≥ （）。

證明由題意知函數(shù) （）在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，故在區(qū)間[0，]上可積，將區(qū)間[0，]等分，且取各區(qū)間右端點(diǎn) = = ，則

（） = （） = （）。同理將區(qū)間[0，1]等分，且取各區(qū)間右端點(diǎn) = = ，則 （） = （） = （），故 （） = （）。因函數(shù) （）在區(qū)間（，）內(nèi)單調(diào)遞減，又當(dāng)0<<1時(shí)，有<，所以， （）≥ （）。于是當(dāng)0<<1時(shí)，有 （） （） = [ （） （）]≥0。綜上命題得證。

2 利用定積分性質(zhì)證明不等式

例2 設(shè)函數(shù) （）的一階導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，且 （0） = （1） = 0，求證：∣ （）∣≤∣（）∣。

證明：對(duì) （0，1），有

其中點(diǎn)（0，），（，1），由積分的絕對(duì)值不等式性質(zhì)得

∣ （）∣= ∣[（）（）] + [ （）（）]∣

≤ ∣[（）（）]∣ +∣[（）（）]∣≤

∣（）∣ + ∣ （）（）∣≤

∣（）∣[ + （）]

= ∣（）∣[ + ]。

所以，∣ （）∣≤∣（）∣[ + ]，當(dāng) = 時(shí)，即得上述結(jié)論。

3 利用定積分計(jì)算方法證明不等式

例3 證明函數(shù) （） = 是一正常數(shù)。

證法一：由題意知函數(shù) （） 是以2為周期的周期函數(shù)，故 （） = = 。

故 （）是一常值函數(shù)，且 （） = （0）= 。令 = + ，則 = = ，令（） = （） = ≥0，[0，]，故函數(shù)（）在區(qū)間[0，]上是不恒為零的非負(fù)連續(xù)函數(shù)。所以， （） = （0）= + = （） >0。

綜上命題得證。

證法二：由題意知函數(shù) （）是關(guān)于的變上限積分函數(shù)，故

（） = = 0。

所以，函數(shù) （）是一常值函數(shù)，令（） = ≥0，[0，2]，故（）在區(qū)間[0，]上是不恒為零的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，故 >0 ，由分部積分得 （） = （0）= = + = +1>0。

即函數(shù) （）是一正常數(shù)。

4 利用初等不等式來證明積分不等式