淺談經濟研究中的數學模型

●楊鴻雁

純粹的量的關系和形式是數學研究的主要對象，將具體形象的實際內容舍棄，只保留一般的數量關系，關注其抽象的共性，是數學研究的特征；反之，經濟學及其他學科最為感興趣的是自己所抽象的公式（數學模型）能否說明某一現象、解決相應的問題以及其使用的約束條件如何，這樣矛盾自然也同時存在兩者之間。然而在經濟領域中用數學方法能夠很好說明某些現象或概括某些問題卻是不爭的事實，因此在經濟學中使用數學的關鍵問題僅僅在于其實踐性或適用性方面①。建立數學模型能夠研究變量之間的關系，探究事務變化的規律，用可控變量計算出必要的結論，進而總結出理論假說，這便是數學模式在經濟研究領域中的運用。如今經濟學已經成為了一門高度數學化的社會科學類學科，數學成為經濟模型建立和推導的主要工具，很多數學的重大研究已經運用于經濟學理論中。現在這兩者矛盾爭論的焦點不再是經濟學需不需要使用數學方法，而是怎樣在經濟研究中使用數學方法的問題。雖然現代經濟學在研究經濟問題方面已經獲得了較好的成效，但是對于經濟學而言某些數學模式是否能夠運用其中，或者如何更好地運用其研究經濟問題仍需要進一步探究。

一、數學模型的基本內涵

數學模型是采用有關數學思想，對數學研究中的各種問題的一種整體概述和表述。其一般是為了解決數學問題，對某個特定對象提出必要的條件和假設，使用數學圖形、數學關系式、圖表等數學專業術語以及合理的數學方法和手段獲取的數學結構。這種數學結構的形式豐富多彩，其能夠是一種算法語言，可以是一個數學圖表，也可以是幾種結構的混合。將數學領域的具體問題抽象和簡化為數學模型即是數學建模，其包含提出問題、簡化問題、模型建立、模型驗證、模型修改、模型使用等多方面內容②。

在經濟研究中引進數學工具進行解析，把復雜的經濟問題用精練的數學語言予以表達，從而把經濟中相互影響的因素建立起具有邏輯性的相互聯系，然后通過計算找出其內在的規律性及其具體數量，這樣的數學表達式（函數式）就稱為經濟模型，或經濟的數學模型。

二、數學經濟建模及其重要性

數學經濟建模是對客觀經濟現象進行總體概述，并采用模型方式體現各種經濟現象中各個要素間的相互數量關系，是經濟研究中比較重要的方法。其本質就是把錯綜復雜的實際經濟問題用數字、字母和其他數學符號形成的不等式、或等式以及圖像、圖表、框圖等數學語言簡化、抽象為合理的數學結構的過程。應用數學去解決各類實際經濟問題時，建立數學經濟模型是十分關鍵的一步，同時也是十分困難的一步。無論是建立數學經濟模型，還是運用模型對有關經濟問題進行定量研究分析，都需要豐富的數學知識，比如數學中的線性代數、數學分析、常微分方程、概率論、數理統計、模糊數學等知識就必不可少。然而縱觀現代發展史得知，經濟發展的速度與數學經濟建模具有緊密的聯系。在經濟決策定量化、科學化呼聲越來越高漲的今天，數學經濟建模已經廣泛運用于各個經濟活動之中。比如，漢森、希克斯兩位經濟學家用IS—LM模型對凱恩斯的有效需求理論進行了較為完善的闡述，不僅如此，凱恩斯主義的經濟政策即財政政策和貨幣政策的分析，也是圈繞IS—LM模型而展開的。因此，IS—LM模型是凱恩斯主義宏觀經濟學的核心，是數學和經濟學有機結合的經典之作。再比如，在實際生產、營銷中，生產商可以按照客戶提出的產品質量、數量、交貨期、交付地點、交付方式等需求，運用快速報價系統（按照生產商各種資源、生產成本、產品生產流程以及客戶要求等數據建立數學經濟模型）與客戶進行直接交流和溝通。

三、構建經濟數學模型的方法和步驟

數學模型廣泛運用在經濟研究領域中，包括政策評價、經濟預測、結構分析等多方面。經濟政策評價包括理論分析和實踐分析兩個方面。理論分析包括研究分析、評價政策的效果，并對不合理的部分進行修改補充，以更加符合經濟規律的要求。實踐分析主要是分析政策所產生的政治的、經濟的、社會的實際效果，并對原政策方案進行檢驗、修改、完善。在進行政策目標評價時，通過對相互矛盾的目標進行綜合分析，制定出這些目標在一定條件下能相互協調的宏觀經濟政策和微觀經濟政策，其使用的研究分析方法有IS—LM模型、脈沖響應函數、方差分解等；經濟預測是在對一定時期的客觀經濟活動過程進行深入調查的基礎上，運用各種科學的方法，對掌握的經濟信息加以分析研究后，并評估和預測未來經濟活動發展狀況及變化趨勢，其使用的研究分析方法有時間數列法、指標分析法、因素分析法等；結構分析是經濟研究的重要內容，它是對經濟現象中各種變量之間的關系進行全面研究，是當一個變量或幾個變量出現變化時，是否會對其他變量以及經濟體系產生影響所進行研究分析。其使用的研究分析方法有乘數分析、彈性分析以及比較靜力分析等。

一般而言，針對經濟研究問題，建立一個科學合理的數學模型主要包括以下步驟：(1)全方位了解各種實際問題和與問題相關的其他各種知識；(2)按照研究的目標和任務，針對研究的現象進行全方位、多層次的調查研究，盡可能獲得更多的數據信息，并對各項數據進行正確分組；(3)把研究的實際問題進行抽象、簡化，確定模型中各種影響因素，并分析出重要因素，使用參數和數量來表達這些因素。采用數學知識來描繪問題中變量參數之間的聯系，初步形成數學關系式③；(4)進一步簡化、合并數學關系，最后構建成數學模型；(5)運用總結分析得出的數據，使用有關數學方式計算出所建立的模型中參數的估計值，進而明確模型；(6)偏差分析所確定的模型闡述，將模型結論與實際測量數據進行對比分析，以驗證模型是否跟實際問題相符合。如果相差甚遠，就必須進一步調整修改模型，在按照以上程序再進行一次，直到構建完成的模型符合實際問題。

四、數學模型在經濟研究中的應用舉例

本文以彈性分析和線性規劃為例，體現數學建模在經濟研究過程中的重大作用。

案例1：彈性分析模型。彈性是一個數學概念，為相對變化率，即是相互依存的一個變量對另外一個變量變化所表現出來的反應程度。

彈性的數學含義是自變量變化1%所引起因變量變化的百分數。由比例學分析得知，彈性是一種不借助其他任何單位的計量方法，即是無量綱的。把彈性理論用于經濟研究領域，能夠為經濟研究提供有效的方法。需求價格彈性就是數學彈性分析模型運用于經濟研究中具體體現。

比如：假定某產品的需求函數為Q=3000e-0.02p，問價格為100時的需求彈性，分析其經濟內涵。

經濟含義為：當價格是100元時，如果價格提升1%，則需求量將會降低2%。進一步講，因彈性系數大于1，即需求量的變化率大于價格的變化率，故需求量對于價格的變化率是比較敏感的，也稱需求富有彈性或高彈性。

案例2：0-1線性規劃模型。它是為解決實際優化問題的所謂分派一類問題而產生的，下面舉例說明其數學模型是如何建立的。

某企業計劃招收m個崗位，人力資源管理部門需要從n個應聘者中招收m個工作人員（n≥m）。企業規定每個崗位只需要一名工作人員，工作人員只需要專職做一件工作，通過測試，第i個工作人員做j件工作的效率為Cij，問應該招收哪些人員，怎樣分配工作才能獲得最佳的效益。

解答：設xij=1代表第i個應聘人員只做第j件工作，xij=0代表第 i個應聘人員不做第 j件工作（i=1，2，3.....；j=1，2，3，.....)，然后其線性規劃模型為：

上述模型中，由于決策變量取值只是0或者1，因此該模型為0—1規劃，是整數規劃的特例。

此外，數學模型運用到經濟研究過程中的案例較多，比如運用概率分布構建預期收益模型、運用微分方程構建經濟增長模型、運用微積分構建最優化價格模型、利用期望值法解決a風險型決策問題、運用Shapley值法建立收益合理分配模型等。

隨著經濟研究越來越深入，采用數學工具來分析和解釋經濟問題已經成為了經濟領域研究最重要的方法。尤其是最近幾年來，計算機技術發展尤為迅速，開發了很多數學運用軟件，利用數學模型來解決復雜的經濟問題變得尤為高效，同時也提高了分析和解決經濟問題的準確性和真實性，為社會經濟的發展做出了較大的貢獻。

注釋：

①張麗莉.關于跨學科研究方法的啟示——數學模型在經濟學中的應用[J].信息系統工程.2012，11(02)：100-102

②劉旭東.引領探究過程 建構策略模型——淺談數學建模思想在“倒推”教學中的應用[J].課程教育研究，2014，1（03）：45-46

③蘭亮.一類灰色平衡數學模型的研究及其在陜西經濟協調發展研究中的應用[D].西安建筑科技大學，2008