例說高中數學教學中逆向思維能力的培養

況安永

數學新課程十分重視學生思想方法和思維能力的訓練及提升。《高中數學課程標準》指出：“數學思維能力在形成理性思維中發揮著獨特的作用”（“課程的基本理念”），“要注重對數學本質的理解和思想方法的把握”（“評價建議”）。而在日常教學中，數學思維能力的訓練主要是通過在概念、公式、性質、法則等的教學，特別是數學習題的分析解答來完成的，在其過程中常常觸及到思維方法中的不同類型，如歸納思維、聚合思維、發散思維等等。其中，逆向思維是一種自覺地打破習慣性的思考方法、使用與其完全相反的思考路徑來探索數學問題的解決的一種思維方式。逆向思維模式傾向于：如果順推遇到障礙時，不妨考慮逆推；直接解決有困難時，不妨考慮間接突破，當反復地從正向考慮某一問題而陷入困難時，改變一下思考角度，采用逆向思維，或許會使你柳暗花明，茅塞頓開。

可是，許多學生卻對逆向思維感到無所適從，很不習慣。在教學過程中，常常會碰到一些顯而易見應用逆向思維便可迎刃而解的問題，學生解答起來也感到困難。例如，在學習倍角公式后，要求sin15ocos15o、2cos275o-1等的值時，就有許多學生思苦良久，最終卻毫無結果。原因何在？首先，由于學生的學習過程大多是正向思維，而往往忽視、抑制了逆向思維的建立；其次，思維定勢使學生顧此失彼。因此在教學程中要重視對學生逆向思維能力的培養，以開闊思路，提高他們分析問題、解決問題的能力，養成良好的思維習慣。

本文就如何在教學中培養學生的逆向思維談一點膚淺的體會。

一、逆向提問，培養學生雙向思考問題的習慣

在概念、公式、性質、法則等的教學中，如果教師注意逆向提問，學生不但對所學知識辯析得更清楚，也理解得更透徹，而且能養成雙向考慮問題的習慣，在運用中也能左右逢源。

例1：設f（x）=4x-2x+l（x≥0），求f-1（0）。

分析：按一般思維方法，先判斷原函數是否存在反函數，若存在，求解方程，寫出反函數再求值。逆向思考：不求出反函數，而借助于原函數與反函數的關系可作出如下判斷：求f-1（0）的值，實質上就是使f（x）=0的x值，令4x-2x+l=0，解得x=l，從而f-1（0）=1。

二、對比練習，訓練學生逆用公式法則的能力

對公式法則，不但要求學生會正向運用，而且還要會反向運用。這也是教學的最基本要求。

例2：在學習了“兩角和與差的正弦、余弦、正切公式后，可選編以下練習題以訓練學生逆用的能力：

這一組題富有靈活性和啟發性，引導學生靈活地逆向運用所學公式，就會取得令人滿意的結果。例如：

（3）：

[其中有*號這一步逆用了公式Ta+β·即：tanα+tanβ=tan（α+β）（1-tanα.tanβ）]

再來看下一例：

例3：對于扇形面積公式S= πR2，若已知扇形半徑R和扇形所對的原心角n，直接代入扇形面積公式即得扇形面積。但反過來，若已知扇形面積S和半徑R，怎樣求n呢？若已知扇形面積S和扇形所對的原心角n，怎樣求半徑R呢？這就要求學生能逆向運用公式得到n= ，R= ，從而解決問題。

三、啟發思考，重視解題中的逆向聯想

在解題教學中，如果只進行正向應用的單一訓練，而忽視由此及彼的逆向聯想，很容易造成學生思維過程的定勢.因此，應經常啟發學生調整視角，積極探索，培養學生養成雙向考慮問題的良好習慣。

例4：已知△ABC中，BC=20，AB+AC=50.求中線AM的最小值。

分析：本例可以根據所給條件建立函數關系，最后轉為求有條件的極值，但計算復雜，如果聯想到橢圓定義，即有：2c=20，2a=50，從而再由橢圓的幾何性質推知：AM的最小值為短半軸長，所以AM的最小值為5。

例5：若三個方程：x2-4ax-4a+3=0，X2+（a-l）x+a2=0，x2+2ax-2a=0中，至少有一個方程有實數解，試求實數a的取值范圍，

分析：此題正面思考情況復雜，不易得到結果.注意到“三個方程中至少有一個方程有實數解”的對立面是“三個方程都無實數解”，于是從全體實數中排除三個方程都無實數解時a的范圍，即為本題所求。

略解：當a滿足（4a）2-4（-4a+3）<0，（a-1）2-4a2<0，4a2-4（-2a）<0，即-

從以上數例我們不難發現，逆向思維的范疇比較廣，凡公式、定理的逆用，間接證明、執果索因、正難則反、先退后進等是逆向思維的具體運用。我們在教學中要有意識地對學生進行多方位、多角度的逆向思維訓練。毫無疑問，這對培養學生的思維能力是大有幫助的。

（作者單位：貴州省遵義縣第一中學）

數學新課程十分重視學生思想方法和思維能力的訓練及提升。《高中數學課程標準》指出：“數學思維能力在形成理性思維中發揮著獨特的作用”（“課程的基本理念”），“要注重對數學本質的理解和思想方法的把握”（“評價建議”）。而在日常教學中，數學思維能力的訓練主要是通過在概念、公式、性質、法則等的教學，特別是數學習題的分析解答來完成的，在其過程中常常觸及到思維方法中的不同類型，如歸納思維、聚合思維、發散思維等等。其中，逆向思維是一種自覺地打破習慣性的思考方法、使用與其完全相反的思考路徑來探索數學問題的解決的一種思維方式。逆向思維模式傾向于：如果順推遇到障礙時，不妨考慮逆推；直接解決有困難時，不妨考慮間接突破，當反復地從正向考慮某一問題而陷入困難時，改變一下思考角度，采用逆向思維，或許會使你柳暗花明，茅塞頓開。

可是，許多學生卻對逆向思維感到無所適從，很不習慣。在教學過程中，常常會碰到一些顯而易見應用逆向思維便可迎刃而解的問題，學生解答起來也感到困難。例如，在學習倍角公式后，要求sin15ocos15o、2cos275o-1等的值時，就有許多學生思苦良久，最終卻毫無結果。原因何在？首先，由于學生的學習過程大多是正向思維，而往往忽視、抑制了逆向思維的建立；其次，思維定勢使學生顧此失彼。因此在教學程中要重視對學生逆向思維能力的培養，以開闊思路，提高他們分析問題、解決問題的能力，養成良好的思維習慣。

本文就如何在教學中培養學生的逆向思維談一點膚淺的體會。

一、逆向提問，培養學生雙向思考問題的習慣

在概念、公式、性質、法則等的教學中，如果教師注意逆向提問，學生不但對所學知識辯析得更清楚，也理解得更透徹，而且能養成雙向考慮問題的習慣，在運用中也能左右逢源。

例1：設f（x）=4x-2x+l（x≥0），求f-1（0）。

分析：按一般思維方法，先判斷原函數是否存在反函數，若存在，求解方程，寫出反函數再求值。逆向思考：不求出反函數，而借助于原函數與反函數的關系可作出如下判斷：求f-1（0）的值，實質上就是使f（x）=0的x值，令4x-2x+l=0，解得x=l，從而f-1（0）=1。

二、對比練習，訓練學生逆用公式法則的能力

對公式法則，不但要求學生會正向運用，而且還要會反向運用。這也是教學的最基本要求。

例2：在學習了“兩角和與差的正弦、余弦、正切公式后，可選編以下練習題以訓練學生逆用的能力：

這一組題富有靈活性和啟發性，引導學生靈活地逆向運用所學公式，就會取得令人滿意的結果。例如：

（3）：

[其中有*號這一步逆用了公式Ta+β·即：tanα+tanβ=tan（α+β）（1-tanα.tanβ）]

再來看下一例：

例3：對于扇形面積公式S= πR2，若已知扇形半徑R和扇形所對的原心角n，直接代入扇形面積公式即得扇形面積。但反過來，若已知扇形面積S和半徑R，怎樣求n呢？若已知扇形面積S和扇形所對的原心角n，怎樣求半徑R呢？這就要求學生能逆向運用公式得到n= ，R= ，從而解決問題。

三、啟發思考，重視解題中的逆向聯想

在解題教學中，如果只進行正向應用的單一訓練，而忽視由此及彼的逆向聯想，很容易造成學生思維過程的定勢.因此，應經常啟發學生調整視角，積極探索，培養學生養成雙向考慮問題的良好習慣。

例4：已知△ABC中，BC=20，AB+AC=50.求中線AM的最小值。

分析：本例可以根據所給條件建立函數關系，最后轉為求有條件的極值，但計算復雜，如果聯想到橢圓定義，即有：2c=20，2a=50，從而再由橢圓的幾何性質推知：AM的最小值為短半軸長，所以AM的最小值為5。

例5：若三個方程：x2-4ax-4a+3=0，X2+（a-l）x+a2=0，x2+2ax-2a=0中，至少有一個方程有實數解，試求實數a的取值范圍，

分析：此題正面思考情況復雜，不易得到結果.注意到“三個方程中至少有一個方程有實數解”的對立面是“三個方程都無實數解”，于是從全體實數中排除三個方程都無實數解時a的范圍，即為本題所求。

略解：當a滿足（4a）2-4（-4a+3）<0，（a-1）2-4a2<0，4a2-4（-2a）<0，即-

從以上數例我們不難發現，逆向思維的范疇比較廣，凡公式、定理的逆用，間接證明、執果索因、正難則反、先退后進等是逆向思維的具體運用。我們在教學中要有意識地對學生進行多方位、多角度的逆向思維訓練。毫無疑問，這對培養學生的思維能力是大有幫助的。

（作者單位：貴州省遵義縣第一中學）

數學新課程十分重視學生思想方法和思維能力的訓練及提升。《高中數學課程標準》指出：“數學思維能力在形成理性思維中發揮著獨特的作用”（“課程的基本理念”），“要注重對數學本質的理解和思想方法的把握”（“評價建議”）。而在日常教學中，數學思維能力的訓練主要是通過在概念、公式、性質、法則等的教學，特別是數學習題的分析解答來完成的，在其過程中常常觸及到思維方法中的不同類型，如歸納思維、聚合思維、發散思維等等。其中，逆向思維是一種自覺地打破習慣性的思考方法、使用與其完全相反的思考路徑來探索數學問題的解決的一種思維方式。逆向思維模式傾向于：如果順推遇到障礙時，不妨考慮逆推；直接解決有困難時，不妨考慮間接突破，當反復地從正向考慮某一問題而陷入困難時，改變一下思考角度，采用逆向思維，或許會使你柳暗花明，茅塞頓開。

可是，許多學生卻對逆向思維感到無所適從，很不習慣。在教學過程中，常常會碰到一些顯而易見應用逆向思維便可迎刃而解的問題，學生解答起來也感到困難。例如，在學習倍角公式后，要求sin15ocos15o、2cos275o-1等的值時，就有許多學生思苦良久，最終卻毫無結果。原因何在？首先，由于學生的學習過程大多是正向思維，而往往忽視、抑制了逆向思維的建立；其次，思維定勢使學生顧此失彼。因此在教學程中要重視對學生逆向思維能力的培養，以開闊思路，提高他們分析問題、解決問題的能力，養成良好的思維習慣。

本文就如何在教學中培養學生的逆向思維談一點膚淺的體會。

一、逆向提問，培養學生雙向思考問題的習慣

在概念、公式、性質、法則等的教學中，如果教師注意逆向提問，學生不但對所學知識辯析得更清楚，也理解得更透徹，而且能養成雙向考慮問題的習慣，在運用中也能左右逢源。

例1：設f（x）=4x-2x+l（x≥0），求f-1（0）。

分析：按一般思維方法，先判斷原函數是否存在反函數，若存在，求解方程，寫出反函數再求值。逆向思考：不求出反函數，而借助于原函數與反函數的關系可作出如下判斷：求f-1（0）的值，實質上就是使f（x）=0的x值，令4x-2x+l=0，解得x=l，從而f-1（0）=1。

二、對比練習，訓練學生逆用公式法則的能力

對公式法則，不但要求學生會正向運用，而且還要會反向運用。這也是教學的最基本要求。

例2：在學習了“兩角和與差的正弦、余弦、正切公式后，可選編以下練習題以訓練學生逆用的能力：

這一組題富有靈活性和啟發性，引導學生靈活地逆向運用所學公式，就會取得令人滿意的結果。例如：

（3）：

[其中有*號這一步逆用了公式Ta+β·即：tanα+tanβ=tan（α+β）（1-tanα.tanβ）]

再來看下一例：

例3：對于扇形面積公式S= πR2，若已知扇形半徑R和扇形所對的原心角n，直接代入扇形面積公式即得扇形面積。但反過來，若已知扇形面積S和半徑R，怎樣求n呢？若已知扇形面積S和扇形所對的原心角n，怎樣求半徑R呢？這就要求學生能逆向運用公式得到n= ，R= ，從而解決問題。

三、啟發思考，重視解題中的逆向聯想

在解題教學中，如果只進行正向應用的單一訓練，而忽視由此及彼的逆向聯想，很容易造成學生思維過程的定勢.因此，應經常啟發學生調整視角，積極探索，培養學生養成雙向考慮問題的良好習慣。

例4：已知△ABC中，BC=20，AB+AC=50.求中線AM的最小值。

分析：本例可以根據所給條件建立函數關系，最后轉為求有條件的極值，但計算復雜，如果聯想到橢圓定義，即有：2c=20，2a=50，從而再由橢圓的幾何性質推知：AM的最小值為短半軸長，所以AM的最小值為5。

例5：若三個方程：x2-4ax-4a+3=0，X2+（a-l）x+a2=0，x2+2ax-2a=0中，至少有一個方程有實數解，試求實數a的取值范圍，

分析：此題正面思考情況復雜，不易得到結果.注意到“三個方程中至少有一個方程有實數解”的對立面是“三個方程都無實數解”，于是從全體實數中排除三個方程都無實數解時a的范圍，即為本題所求。

略解：當a滿足（4a）2-4（-4a+3）<0，（a-1）2-4a2<0，4a2-4（-2a）<0，即-

從以上數例我們不難發現，逆向思維的范疇比較廣，凡公式、定理的逆用，間接證明、執果索因、正難則反、先退后進等是逆向思維的具體運用。我們在教學中要有意識地對學生進行多方位、多角度的逆向思維訓練。毫無疑問，這對培養學生的思維能力是大有幫助的。

（作者單位：貴州省遵義縣第一中學）