半空間內孔邊界面裂紋對SH波的動力響應

趙春香，齊 輝，楊在林，王蕾蕾

（1.黑龍江科技大學理學院，哈爾濱 150022；2.哈爾濱工程大學航天與建筑工程學院，哈爾濱 150001）

半空間內孔邊界面裂紋對SH波的動力響應

趙春香1，齊 輝2，楊在林2，王蕾蕾2

（1.黑龍江科技大學理學院，哈爾濱 150022；2.哈爾濱工程大學航天與建筑工程學院，哈爾濱 150001）

采用“鏡像”和“剖分－契合”等方法，對SH波作用下半空間孔邊界面裂紋的動應力問題進行了研究。首先，采用“鏡像法”，將半空間鏡像為全空間，構造出滿足邊界條件的散射波場；其次，借助“剖分－契合”方法和“裂紋切割”技術，將全空間沿界面分割成兩個半空間求解后，再由界面應力位移連續“契合”條件組合成全空間，建立起求解該問題的積分方程組；最后，對界面裂紋端點的動應力強度因子（DSIF）進行數值分析。分析結果表明：適當地避開入射波波數、入射角度及裂紋長度等最不利影響因素的組合，可達到降低裂紋尖端點動應力的目的。

半空間；界面裂紋；SH波；“鏡像法”；動應力強度因子（DSIF）

天然地質條件形成的介質分層、斷層等連續與非連續界面分布廣泛，地介質內同時存在界面、裂紋和孔洞等工程結構也是工程中的常見現象。研究斷層、裂隙等非連續介質界面動力性能，掌握界面裂紋在動態荷載作用下的力學行為，對工程應用過程中合理評估裂紋對工程結構構成的威脅和保障地下結構的安全具有重要意義［1－2］。

彈性波對固體介質中界面、裂紋和孔洞等缺陷的動力作用及彈性波傳播時界面、裂紋和孔洞等缺陷間的相互作用，是現今界面波動力學和界面斷裂動力學的主要研究內容［3］。自Sih［4］研究界面裂紋尖端附近縱向剪切問題的應力分布以來，國內外學者相繼在該領域進行了大量的研究工作［5－7］。然而，目前的研究主要集中在SH波入射條件下全空間界面孔洞等缺陷與界面裂紋或任意位置裂紋的相互作用以及半空間界面裂紋與其附近孔洞等缺陷的相互作用問題，而對界面孔洞與界面裂紋同時存在的半空間問題還有待研究。本文在文獻［7］基礎上，采用“鏡像”和“剖分－契合”等方法就半空間雙相介質界面上同時嵌有圓孔和裂紋時SH波對界面裂紋的動力作用進行研究，并對界面裂紋尖端動應力強度因子（DSIF）進行數值分析。

1 力學模型

設自由鉛垂面右側無限半空間介質存在水平分界面，分界面兩側各自四分之一空間的介質為均勻、連續、各向同性的彈性介質。當平面SH波入射時，該水平界面上并存圓形孔洞與裂紋的鉛垂半空間的力學模型如圖1所示。

在圖1所示的坐標系下，上下四分之一區域Ⅱ和Ⅰ中介質的密度和剪切模量分別是ρ2、μ2和ρ1和μ1；半徑為a的圓形孔洞兩側的裂紋長度分別為A；圓形孔洞的圓心到鉛垂界面的距離為d；穩態SH波以入射角α0入射。

圖1 力學模型Fig.1 Mechanicalmodel

2 理論分析

在該問題的求解中，由于雙向介質水平界面、界面上的圓形孔洞與裂紋和鉛垂半空間表面的存在，造成入射的SH波出現多次散射和反射而形成新的波源，導致很難直接構造出滿足鉛垂表面應力自由條件的散射波場。為此，本文在文獻［8］基礎上，采用“鏡像法”，將該半空間問題向左側鏡像為全空間問題。

其中：W0、W2和W4分別為入射波、反射波和折射波的位移幅值。

在介質Ⅰ和介質Ⅱ中產生的散射波場分別為：

借助文獻［6］“剖分－契合”思想和“裂紋切割”技術，將全空間問題分割成能應用Helmholtz控制方程求解的上下兩個均勻、連續、各向性質相同的彈性介質半空間。

由式（1）～（10），即可確定區域Ⅰ和區域Ⅱ中的散射波場和應力場。

其中：G1和G2分別為區域Ⅰ和區域Ⅱ的Green函數。

根據散射波的衰減特性和文獻［4］的求解方法，即可確定式（11）和（12）中的f1（r0，θ0）和f2（r0，θ0）。

通常用下面的無量綱動應力強度因子（DSIF）來描述裂紋尖端點的動應力集中程度，即

3 數值分析

下面對具體算例的界面裂紋離孔遠端端點的DSIF進行數值分析，并討論其與相關影響因素的依存關系。為消除計算模型中尺寸的影響而采用的無量綱參數k1a、A/a、d/a、μ*＝μ2/μ1和k*＝k2/k1分別表示入射波數、界面裂紋長度、圓形孔洞中心到鉛垂邊界的距離、介質Ⅱ和Ⅰ剪切模量比和波數比，并令圓形孔洞半徑a＝1.0。

圖2給出了k*＝1.0、μ*＝1.0、d/a＝3.0和A/a＝1.0時，SH波以不同入射角α0＝0°、α0＝45°和α0＝90°入射時，左右兩側界面裂紋尖端點動應力強度因子k3與入射波數k1a的相關曲線。從圖中可以看出，當α0＝90°時，左右兩側k3曲線都位于最上方；左側k3峰值出現在k1a＝0.4時，這和文獻［7］中采用波數展開法在相同條件下求解的圖5.6的結果一致；該圖k3的最大值發生于SH波以入射波數k1a＝1.6垂直入射時的右側裂紋尖端點，且右側k3的峰值是左側k3峰值的6.5倍。

圖2 k3隨k1a的變化Fig.2 Variation of k3with k1a

圖3 SH波垂直入射時，k3隨d/a的變化Fig.3 Variation of k3with d/a disturbed by SH-wave vertically

圖4 SH波垂直入射時，k3隨k1a的變化Fig.4 Variation of k3with k1a disturbed by SH-wave vertically

圖3給出了μ*＝1.0、α0＝90°、k1a＝1.6和A/a＝1.0時，SH波以波數比k*＝0.5～k*＝0.4入射條件下，右側界面裂紋尖端點k3隨d/a變化的曲線。從圖中可以看出，當k*＝0.5時，k3趨于直線，基本不隨d/a變化；當k*＝1.0時，k3隨著d/a的增大而呈現周期性變化；當k*＝2.0和k*＝4.0時，在d/a＝27.0和d/a＝19.5位置，k3表現出劇烈的振蕩。該圖反映了鉛垂邊界距孔心的距離d/a和k*對DSIF的綜合影響不容忽視，同時也表明了可通過適當調整d/a的大小來達到降低k3的目的。

圖4給出了k*＝1.0、μ*＝1.0、α0＝90°、d/a＝3.0時，不同的裂紋長度情況下，右側界面裂紋尖端點k3隨k1a的變化規律。從圖中可以看出，k3的波峰出現在了裂紋長度為A/a＝4.0的情況，波峰位于k1a＝1.0位置；其他裂紋長度時k3的波峰分別位于不同的k1a位置，且依裂紋長度的減小而減小。這些現象表明了裂紋長度和入射波數對界面裂紋尖端點的DSIF的綜合影響。

4 結 論

本文采用“鏡像法”和“剖分－契合法”等方法，研究了SH波作用下半空間界面圓孔兩側界面裂紋尖端點的動應力問題，給出了該問題界面裂紋尖端點的動應力強度因子的解析解和數值解。數值結果表明：

（1）SH波作用下半空間界面圓孔右側裂紋尖端點動應力強度因子的峰值遠大于其左側峰值，且介質材料參數的波數比、入射波數、入射角度、圓形孔洞中心到鉛垂邊界的距離及裂紋長度對裂紋尖端點動應力的綜合影響也必須給予充分考慮。

（2）可根據裂紋端部的動應力強度因子的分布規律，適當避開波數比、入射波波數及裂紋長度等最不利影響因素的組合，以達到降低裂紋尖端點動應力的目的。

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Dynam ic response of interface cracks originating at an hole in a half-space to SH-wave

ZHAO Chun-xiang1，QIHui2，YANG Zai-lin2，WANG Lei-lei2
（1.College of Science，Heilongjiang University of Science and Technology，Harbin 150022，China；
2.College of Aerospace and Civil Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China）

The dynamic stress responses of interface cracks originating at an hole in a half-space to SH-wave were studied using themethods of‘image’and‘partitioning-conjunction’.Firstly，the half spacewas imaged into a full space and a scatteringwave field satisfying boundary conditionswas constructed with themethod of‘image’.Secondly，with the help of the‘partitioning-conjunction’method and‘crack-division’technique，the solving domain was divided into two parts along the interface，the two sub-domains satisfying the continuous‘conjunction’conditions of displacement and stress on the interface were conjoined，and a group of integral equations were built to solve this problem.Finally，the dynamic stress intensity factor of the interface crack tip was analyzed with the numerical method.Numerical results demonstrated that the purpose of reducing crack tip's dynamic stress can be achieved by properly avoiding the combination of themost adverse effect factors，such as，incidentwave number，incident angle，and crack length，etc.

half space；interface crack；SH-wave；image'method；dynamic stress intensity factor（DSIF）

O343.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2014.24.028

黑龍江省自然科學基金項目（A201307）

2014－05－26 修改稿收到日期：2014－08－19

趙春香女，博士，副教授，1967年生