也談洛倫茲變換過(guò)渡為伽利略變換的條件

趙 堅(jiān) 李 力

（1.五華區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校，云南 昆明 650031；2.重慶清華中學(xué)，重慶 400054）

關(guān)于洛倫茲變換過(guò)渡為伽利略變換的條件，各種大學(xué)教材上有好幾種說(shuō)法，相互并不一致.爭(zhēng)議的焦點(diǎn)在最后一式，即洛倫茲變換的t′＝γ（t－vx／c2）是如何回到伽利略變換t′＝t的［1］？常見(jiàn)的疑問(wèn)是：作為被觀測(cè)事件的坐標(biāo)x和t原則上可各取任何值，如果x很大而t很小，此式右邊第2項(xiàng)與第1項(xiàng)相比，還能忽略去掉嗎［2］？

文獻(xiàn)［1］提出兩個(gè)結(jié)論：（1）v／c→0僅僅是洛倫茲變換過(guò)渡為伽利略變換的必要條件而非充分條件.（2）過(guò)渡的充要條件是，當(dāng)且僅當(dāng)同時(shí)滿足v?c和x?ct.

文獻(xiàn)［2］則持不同看法，為方便討論起見(jiàn)，以下摘抄一段［2］：“洛倫茲變換在v?c時(shí)近似回到伽利略變換”這一提法總是對(duì)的，其準(zhǔn)確含義如下：“在約定的允許誤差范圍內(nèi)，對(duì)任一被觀測(cè)事件而言，只要v與c相比足夠小，洛倫茲變換都能近似回到伽利略變換.”理由很簡(jiǎn)單，這一提法要求你首先給定被觀測(cè)事件，然后才告訴你v要比c小多少（這個(gè)先后順序極其重要）.設(shè)此事件的x與t的關(guān)系為x＝Mct，其中M是個(gè)很大的（無(wú)量綱）數(shù)，如102，1 03…….代入洛倫茲變換式便得t′≈t－vMct／c2＝t（1－vM／c），故t－t′＝t－t（1－vM／c）＝tvM／c，因而t′與t的相對(duì)差別（t′－t）／t＝vM／c，假定事先約好的允許相對(duì)誤差為δ（如δ＝1 0－2或10－3），則為使（t－t′）／t＜δ，只須v／c＜δ／M.如設(shè)M＝103，δ＝10－2，則v／c＜10－5.就是說(shuō)，只要v＜10－5c，對(duì)該事件而言就可在允許誤差范圍內(nèi)使用伽利略變換.

筆者贊同文獻(xiàn)［2］的看法.由于它的推導(dǎo)用到γ≈1，所以只是在近似條件下的證明.下面在事先不忽略γ的一般情況時(shí)嚴(yán)格地推導(dǎo)，可以發(fā)現(xiàn)原結(jié)論不變.

這里的邏輯鏈條是：給定M、δ，那么有v／c＜δ／M，可得1－δ＜（1－vM／c），可得1－δ＜γ（1－vM／c），可得（t－t′）／t＜δ，所以只要v／c＜δ／M，對(duì)該事件而言就可以在允許的誤差范圍內(nèi)使用伽利略變換.

我們還可以從通常極限運(yùn)算的角度來(lái)看這個(gè)問(wèn)題.眾所周知，作極限運(yùn)算時(shí)必須區(qū)分常量和變量，因?yàn)闃O限運(yùn)算是對(duì)變量而作.在本問(wèn)題中，盡管作為被觀測(cè)事件的坐標(biāo)x和t原則上可各取任何值，甚至可以x很大而t很小，但對(duì)于給定的觀測(cè)事件而言，x和t都是確定的常量，并不是對(duì)之做極限運(yùn)算的變量.這里的變量應(yīng)該是v／c，故有

綜上所述，洛倫茲變換過(guò)渡為伽利略變換的條件應(yīng)該是v?c（即v／c→0），而不是 “v?c且x?ct”.

1 蔡志東.關(guān)于洛倫茲變換過(guò)渡到伽利略變換的條件問(wèn)題［J］.物理通報(bào)，2011（9）：90－93.

2 梁燦彬，曹周鍵.從零學(xué)相對(duì)論（連載2）［J］.大學(xué)物理，2012，31（8）：64，65.

3 龔昇.簡(jiǎn)明微積分（第4版）［M］.北京：高等教育出版社，2006：370.