一維勢(shì)能圖像能告訴我們什么？

周 佳 翁亞靜

（江蘇省常熟中學(xué)，江蘇 常熟 215500）

所謂一維勢(shì)能圖像，它反映的是在一維情況下物體勢(shì)能與空間的位置變化關(guān)系.例如重力勢(shì)能與高度、彈簧振子的彈性勢(shì)能與距平衡位置的位移、分子勢(shì)能與原子間距等圖像均屬于一維勢(shì)能圖像.一維勢(shì)能圖像在物理學(xué)中有非常廣泛的應(yīng)用，它不僅可以直觀地呈現(xiàn)出勢(shì)能與位置的關(guān)系，而且可以反映出很多其他問(wèn)題.

1 重力勢(shì)能的一維勢(shì)能圖像

以豎直上拋運(yùn)動(dòng)為例，如圖1所示，質(zhì)量為m的小球，從地面上以Ek0的初動(dòng)能豎直拋出，若規(guī)定地面為零勢(shì)能面，則小球的重力勢(shì)能與距地面高度h的關(guān)系滿(mǎn)足

其一維勢(shì)能圖像如圖2所示

圖1

圖2

下面我們通過(guò)重力勢(shì)能的一維勢(shì)能圖像來(lái)討論小球的作用力、能量等幾個(gè)問(wèn)題.

（1）作用力.由（1）式可知，圖像的斜率即表示重力的大小，滿(mǎn)足mg＝tanθ，且在上升的過(guò)程中力的大小與方向均不變.

（2）能量.令小球的總能量即機(jī)械能為E，由于機(jī)械能守恒，因此在整個(gè)過(guò)程中小球的機(jī)械能是個(gè)定值，機(jī)械能的大小用水平虛線(xiàn)表示（如圖3所示），由圖可知，勢(shì)能圖像距虛線(xiàn)的豎直距離即該處小球動(dòng)能的大小.當(dāng)h＝0時(shí)，Ep＝0，Ek0＝E，即當(dāng)拋出時(shí)，小球的動(dòng)能等于小球的機(jī)械能.

圖3

圖4

（3）上升的最大高度.根據(jù)能量守恒定律，小球的重力勢(shì)能不可能超過(guò)其機(jī)械能，因此圖像與虛線(xiàn)的交點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的高度hmax，即為小球可以上升的最大高度，滿(mǎn)足mghmax＝E＝Ek0.

2 彈性勢(shì)能的一維勢(shì)能圖像

以水平彈簧振子（如圖4所示）為例，彈簧的勁度系數(shù)為k，以平衡位置O為原點(diǎn)，則系統(tǒng)的彈性勢(shì)能Ep與小球距原點(diǎn)的位移x滿(mǎn)足的關(guān)系為

其一維勢(shì)能圖像如圖5所示

圖6

接下來(lái)我們通過(guò)彈性勢(shì)能圖像來(lái)討論彈簧振子的彈力、能量、振幅等幾個(gè)問(wèn)題

（1）彈力.由于勢(shì)能曲線(xiàn)的斜率表示彈簧的彈力，因此由圖像可知，在原點(diǎn)O處曲線(xiàn)的斜率為0即彈力為0，隨著位移x的變大，曲線(xiàn)的斜率變大，故彈力變大.其次，由于彈力做正功，彈性勢(shì)能減小，因此彈力總是指向勢(shì)能減少的方向，即平衡位置O處.最后我們可以得到：彈簧彈力隨位移的增大而增大，且方向始終指向平衡位置，這就是我們熟悉的回復(fù)力的特點(diǎn).

（2）能量.令系統(tǒng)的總能量即機(jī)械能為E，由于系統(tǒng)機(jī)械能守恒，因此在整個(gè)過(guò)程中機(jī)械能是個(gè)定值，機(jī)械能的大小用水平虛線(xiàn)表示（如圖6所示），彈性勢(shì)能曲線(xiàn)距虛線(xiàn)的垂直距離即該處小球動(dòng)能的大小.當(dāng)小球的位移為零，即在平衡位置時(shí)，Ep＝0，Ek＝E，因此當(dāng)小球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)，其動(dòng)能最大.

（3）振幅.由于系統(tǒng)的彈性勢(shì)能不可能超過(guò)其機(jī)械能，因此曲線(xiàn)與虛線(xiàn)的交點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的位移即為該彈簧振子的振幅A，滿(mǎn)足

3 分子勢(shì)能的一維勢(shì)能曲線(xiàn)

原子之間的相互作用力叫做分子力，描寫(xiě)分子力的勢(shì)能曲線(xiàn)如圖7所示，其中橫坐標(biāo)代表兩原子中心之間距離r，縱坐標(biāo)是相互作用勢(shì)能Ep（規(guī)定r→∞處的分子勢(shì)能為0）.

（1）分子力.

① 當(dāng)r＝r0時(shí)，由于勢(shì)能曲線(xiàn)在該處的斜率為0，因此分子力為0.

② 當(dāng)r＞r0時(shí)，由于分子力始終指向r0（平衡位置），故此時(shí)分子力體現(xiàn)為引力.并且隨著原子間距的變大，曲線(xiàn)斜率先變大后變小，因此分子力先變大后變小.

圖7

圖8

③ 當(dāng)r＜r0時(shí)，由于分子力始終指向r0（平衡位置），故此時(shí)分子力體現(xiàn)為斥力.并且隨著原子間距的變小，曲線(xiàn)斜率變大，因此分子力變大.

由上面的討論，可以得到分子力與原子間距的圖像.（如圖8所示）

圖9

（2）勢(shì)阱.如圖9所示，在勢(shì)能曲線(xiàn)的A處附近有一個(gè)低谷，通常稱(chēng)為“勢(shì)阱”，由上面的討論可知，A處的分子力為0.又因?yàn)锳處附近的作用力都指向該位置，因此r＝r0是一個(gè)穩(wěn)定的平衡位置.對(duì)于固體而言，其原子之間的距離就在r0附近，這也是為什么固體分子結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的原因.

引入一維勢(shì)能圖像給了學(xué)生一個(gè)分析與解決問(wèn)題的新角度，這不僅對(duì)學(xué)生深刻理解物理概念很有幫助，而且也鍛煉了學(xué)生從多角度分析問(wèn)題的能力.

1 趙凱華，羅蔚茵.力學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2011.