有限需求信息下基于回購契約的供應鏈魯棒協調策略

邱若臻，黃小原，苑紅濤

（東北大學工商管理學院，遼寧沈陽110004）

有限需求信息下基于回購契約的供應鏈魯棒協調策略

邱若臻，黃小原，苑紅濤

（東北大學工商管理學院，遼寧沈陽110004）

研究了僅知需求均值和區間信息條件下，基于最小最大后悔值準則的供應鏈回購契約協調問題。針對未知需求具體分布形式的兩級供應鏈系統，在回購契約框架下，建立了以魯棒決策和最優決策下的供應鏈及其成員績效之差為目標函數的供應鏈協調模型。在僅知需求區間和均值信息條件下，采用魯棒優化方法求解了最小最大后悔值準則下的集成供應鏈魯棒訂貨策略和分散供應鏈魯棒契約協調策略及其績效偏差。分析了不同服務水平和契約參數條件下，由于信息缺失而未能實現最優運作的供應鏈及其成員績效損失情況。最后，進行了數值計算，驗證了通過魯棒優化方法得到的供應鏈回購契約協調策略的魯棒性和有效性。結果表明，基于回購契約的供應鏈魯棒協調策略能夠有效抑制需求不確定性對系統及其成員運作績效的影響，同僅知需求區間信息相比，額外獲得需求均值信息能夠有效改進供應鏈運作績效。

供應鏈；魯棒優化；最小最大后悔值準則；協調；回購契約

1 引言

作為供應鏈運作管理領域的重要問題，供應鏈協調機制的設計受到人們廣泛關注。供應鏈契約作為經濟學契約在供應鏈管理中的一種表現形式，在協調機制的設計方面起到了重要的作用。供應鏈契約可以解釋為一種激勵供應鏈成員的協調機制，在這種機制下分散供應鏈系統運作接近或達到集成供應鏈運作績效［1］。目前，供應鏈契約協調問題的研究已經取得了非常豐碩的成果，最具代表性的是Cachon和Lariviere［2］發表在《Management Science》上的關于供應鏈契約研究的奠基性文章，系統研究了供應鏈協調領域的一系列契約，包括收入共享、回購、價格折扣和數量折扣等，指出了各種契約協調的條件及相互之間的關系。他們同時指出，雖然供應鏈契約在實現供應鏈協調方面具有很好的效果，但并非所有的契約都能使供應鏈實現完美協調，即分散供應鏈運作達到集成供應鏈運作績效。由于回購契約在實現供應鏈完美協調上的有效性和適應范圍的廣泛性，其研究也最為廣泛。許多學者從不同角度對供應鏈回購契約進行了研究［3-4］。目前，關于回購契約的研究大多采用隨機規劃方法，該方法的應用是基于精確的需求分布信息。隨著競爭環境的復雜多變，各種不確定因素日益加劇，特別是消費者消費觀念和市場信息的快速變化，以及企業自身在掌握市場變化能力方面的有限性，使得這種需求假設不再適應實際情況。

針對上述情況，不少學者采用魯棒優化方法進一步研究了有限需求信息下的供應鏈運作問題［5］。魯棒優化方法實施的關鍵是對于包含不確定數據的問題產生一個易于求解的魯棒對應［6］。這通常涉及如下三種魯棒建模準則：絕對魯棒性、魯棒偏差和相對魯棒性［7］。絕對魯棒性，又稱最小最大（最大最小）準則，定義為最優化最壞情景下的系統輸出。Scarf［8］最早采用該準則研究了僅知需求均值和方差信息的報童訂貨問題。隨后，這一準則被廣泛用于難以精確量化的不確定性建模問題［9-11］。然而，對最壞情景的關注使得該準則下得到的模型解具有較高的保守性，從而限制了這一建模準則的應用。魯棒偏差（又稱為最小最大后悔值方法）則通過優化魯棒解與最優解下的系統績效偏差來確保得到的魯棒解具有較低的保守性［12］。魯棒偏差準則將不確定性視為一種應加以利用的機會而不僅僅是一種應避免損失的風險，尤其適用于事后核查決策的情況［13］。在魯棒偏差定義基礎上，Yue Jinfeng等［14］針對一類僅知需求均值和方差，而無需知道確切分布的需求不確定情況，通過將問題轉化為求解一個服從已知均值和方差的兩點分布，給出了相應的魯棒訂貨策略。進一步，Perakis和Roels［15］針對僅知部分需求信息的報童模型，采用矩優化方法中的對偶理論將問題轉化為相應的半定規劃問題，有效地解決了魯棒策略的求解問題。在此基礎上，Lin Jun和Ng［13］在區間需求條件下，構建了一個魯棒多市場報童模型，并給出了求解算法［13］。邱若臻和黃小原［16］將問題擴展到兩級供應鏈系統，研究了區間需求信息下基于最小最大后悔值的供應鏈魯棒協調問題。另一種改進魯棒解的保守性的建模準則是相對魯棒性，定義為最優化最壞情景下的相對后悔值。在相對魯棒性準則下，Zhu Zhisu等［17］針對具有有限需求分布信息的報童問題，給出了最優訂貨策略。

由上述研究可以看出，有限需求信息下的供應鏈魯棒運作問題的研究涉及兩個主要問題：一是魯棒建模準則的選取，二是數據不確定性描述方法。基于此，本文針對由一個供應商和一個零售商組成的二級供應鏈系統，采用基于最小最大后悔值準則的魯棒優化方法，研究了僅知需求區間和均值信息條件下的供應鏈回購契約協調問題。其中，最小最大后悔值準則的選取是由于該準則下的魯棒解具有較低的保守性；對于需求均值和區間信息的假設是考慮到區間分布作為一種不確定性預算，已經被廣泛應用，并且這一信息相對容易獲取，均值的考慮是基于決策者在實際運作中通常是在單點預測基礎上制定相應訂貨決策［15］。在上述假設條件下，給出了實現供應鏈完美協調的最優回購契約機制，對比分析了不同服務水平和契約參數下供應鏈及其成員的運作績效，進一步，分析了額外考慮需求均值信息時供應鏈及其成員運作績效的改進。

2 基本問題描述

考慮由一個供應商和一個零售商組成，銷售單一季節性產品的二級供應鏈系統，如下圖1所示。零售商作為市場終端，面臨不確定需求d，假設需求在區間［A，B］（0≤A＜B）上具有服從均值為μ的某一類未知分布φ的累積分布函數F，即F∈φ。在銷售季節末，對于未滿足需求的部分，零售商將獲得單位損失s，對于超過市場需求的訂貨量，供應商將以單位回購價格b給予的補償，同時零售商可以以單位殘值v將其處理。令x+=max{x，0｝。

圖1 二級供應鏈系統

零售商期望利潤是：

其中，zr是零售商期望利潤；q是零售商訂貨量，決策變量；p是市場零售價格，外生變量；v是單位產品殘值收益；s是單位產品缺貨損失；b是單位產品回購價格；w是單位產品批發價格；cr是零售商邊際成本。

供應商期望利潤是：

其中，zs是供應商期望利潤；cs是供應商單位生產成本。

集成供應鏈期望利潤是：

其中，z是集成供應鏈期望利潤。不失一般性，假設p＞cr+cs＞v，p＞w+cr，w≥b。

3 有限需求信息下的集成供應鏈魯棒運作策略

在供應鏈協調機制設計問題中，集成供應鏈運作績效通常作為標桿來衡量所設計的協調機制的效率。對集成供應鏈來說，目標是確定最優訂貨量q，使系統總利潤最大。由式（3）目標函數的凹性可得最優訂貨量滿足下式：

本文問題中，由于未知具體需求分布信息，無法得到訂貨量決策的解析表達形式。這里考慮一種最小最大后悔值準則，即選擇合適的訂貨量q，使得當獲取需求分布具體信息時該決策下的最大利潤損失最小。不失一般性，令p+s-v=1。則最小最大后悔值準則下的決策目標函數為：

θ*-z（q）｝=-z（q）｝=-min{x，q｝+β（q-Q）］dF（x）｝（6）

其中，Q是當已知需求具體分布信息時的決策變量。式（6）目標函數的最優值θ*反映了由于缺失需求分布信息而未能執行最優決策時的最小最大后悔值。衡量了當知道需求分布具體信息時所能得到的額外利潤，而最大后悔值θ（q）-z（q）］則描述了為獲取該信息所愿支付的最大成本。為了求解問題（6），先考慮集成供應鏈的最大后悔值問題P1。

通過求解上述對偶問題，有如下定理1成立。

定理1 （a）當Q≥q時，僅知需求均值和區間情況下的集成供應鏈利潤最大后悔值為：

（b）當Q≤q時，僅知需求均值和區間情況下的集成供應鏈利潤最大后悔值為：

證明：（1）當Q≥q時，式（8）、（9）問題如下圖2所示。為了保證約束條件成立，α0+α1x應該是通過（A，0）和（Q，Q-q）兩點的直線繞著點（Q，Q-q）順時針轉動，直至經過點（B，Q-q），中間所生成的任一直線。當直線α0+α1x通過（A，0）和（Q，Q-q）兩點，可以求得。此時，截距α0值最小，斜率α1值最大；當直線α0+α1x通過（Q，Q-q）和（B，Q-q）兩點時，直線具有最大截距α0=Q-q和最小斜率α1=0。轉動過程中產生的任一直線的截距和斜率都居于這兩者之間。由于直線α0+α1x必通過（Q，Q-q），即α0+α1Q=Q-q，因此，α1=。此時，式（8）中目標函數變為，顯然是關于α 的增函數。因此，0當α0時，上述對偶問題的最優值為α0。P1問題轉化為如下P2問題，即：

圖2 Q≥q時式（8）、（9）的圖形表示

顯然，Q*≥A。當μ≤Q*≤B時，A+β（μ-A）≤q≤A+β（B-A）2/（μ-A），最大后悔值為φ+（q） =，當Q*≤μ即q≤A+β（μ-A），則只有當Q*=μ時取得最大值，此時φ+（q）=（1-β）（μ-q）；如果Q*≥B，即q≥A+β（BA）2/（μ-A），則只能是Q*=B，此時，φ+（q）=。

（2）當Q≤q時，式（8）、（9）問題如下圖3所示。為保證約束條件成立，直線α0+α1x應是通過（Q，0）和（B，Q-q）兩點的直線繞著點（Q，0）逆時針轉動，直至與橫坐標軸重合，中間所生成的任一直線。當通過（Q，0）和（B，Q-q）兩點時，直線具有最大截距和最小斜率；當與橫坐標軸重合時，直線具有最小截距α0=0和最大斜率α1=0。由α0+α1x必通過點α0+α1x，得α1=-α0/Q。此時，式（8）中目標函數變為α0+α1μ=α0。

在定理1基礎上，得集成供應鏈魯棒訂貨決策和最小最大后悔值如定理2所示。

定理2 僅知需求均值和區間情況下的集成供應鏈魯棒訂貨量q*和最小最大后悔值θ*分別為：

證明：由式（6）和定理1得集成供應鏈魯棒訂貨決策為q*=argminθ（q）=argmin{φ+（q），φ-（q）｝，應該滿足φ+（q*）=φ-（q*）。由于φ+（q）和φ-（q）各是由三個等式及相應定義域組成的分段函數，令φ+i（q）和Δi（i=1，2，3）分別表示函數φ+（q）的第i個表達式及其定義域；令φ-j（q）和（j=1，2，3）（j =1，2，3）分別表示函數φ-（q）的第j個表達式及其定義域。因此最多求解9個方程即可。分兩種情況討論：

（1-1）由φ+3（q）=φ-1（q），得q*=B-β，又q*，因此有＞max{1。

（1-2）由φ+3（q）=φ-2（q），得q*=B-，又q*∈Δ3，因此有。

（1-3）由φ+2（q）=φ-1（q），得q*=A+，又q*∈Δ2∩1，Δ1∩1=φ，因此

（1-4）由φ+2（q）=φ-2（q），得q*={q｜=。

（1-5）由φ+1（q）=φ-2（q），得q*=B-，又q*∈［B-（1-β），A+ β（μ-A）］，因此。又，即，因此有。

因此，只需在相應約束條件下求解5個方程，即q*={q｜φ+i（q）=φ-j（q），q∈Δi∩j，i=1，2；j=1，2，3；i×j1｝。根據前文，只需再求解下面兩個方程。

（2-1）由φ+1（q）=φ-3（q），得q*=A+（1-β）又q*∈Δ1∩3，因此。

（2-2）由φ+2（q）=φ-3（q），得q*=A+，又q*∈Δ2∩3，因此。當時，；而當時，該方程的最優解并非系統最優魯棒訂貨決策。

對（1）、（2）求解結果進行整理得系統最優魯棒訂貨決策q*如定理2所示。將q*帶入φ+（q）和φ+（q）并整理得最小最大后悔值如定理2所示。證畢。

4 有限需求信息下分散供應鏈魯棒協調策略

分散供應鏈系統中，零售商和供應商隸屬于不同的經濟實體，他們以各自期望利潤最大化為目標制定決策，其中，零售商決定產品訂貨量，供應商決定產品批發價格。供應鏈成員雙方這種決策上的獨立性，使得分散供應鏈系統很難實現集成供應鏈運作績效。這里考慮一種回購契約協調機制{w，b｝，保障成員雙方各自決策下的系統整體運作績效最優。具體地，為了刺激零售商增加訂貨，供應商將提供一種回購政策，即對于每單位未出售的產品，供應商將給予一定的補償。

根據式（1），已知需求分布形式下的零售商最優訂貨量為q*r=inf{q≥0：F（q）≥1-β1｝，β1=（w+cr-b-v）/（1-b）。而在僅知部分需求信息條件下，零售商采用如前所述的最小最大后悔值決策準則，即

對零售商來說，在供應商給定批發價格w和回購價格b情況下，1-b為一常數，因此遵循集成供應鏈求解方法，得零售商最優魯棒訂貨決策為：

對比式（13）和定理2中系統魯棒訂貨決策q*可以看出，供應商可通過控制批發價格和回購價格{w，b｝來實現供應鏈協調，最優協調機制如定理3所示。

定理3 僅知需求均值和區間條件下，分散供應鏈最優協調機制滿足下式：

證明：將式（14）代入β1，得β1=cr+cs-v，將其代入式（13）和式（12），得=q*，=（1-b）θ*。對供應商來說，希望零售商采取的訂貨決策能夠使得自己的決策目標實現最優。由于目標函數結構上的相似性，可以容易得出供應商所希望的訂貨量決策（只需將中的β1替換成β2=（b+cs-w）/b即可）。在式（14）協調機制下，=q*r=q*。此時，=bθ*。說明式（14）能夠實現供應鏈完全協調，并且參數b實現了供應鏈系統績效在成員之間的任意分配。證畢。

由定理3可以看出，供應商批發價格w隨著回購價格b的增加線性增加，這表明供應商對于零售商每單位未出售產品給予較高回購價格的同時，為了彌補自身利潤損失也會相應提高產品批發價格。對零售商和供應商雙方來說，在未知完整的需求分布信息條件下采用魯棒策略時導致的利潤損失隨回購價格的增加分別呈現降低和增加趨勢。

5 數值算例

為了驗證魯棒協調策略在應對供應鏈需求不確定性方面的有效性，對式（1）-（3）進行數值計算。假設A=0，B=10，μ=6。

（1）集成供應鏈情況。根據定理2，集成供應鏈魯棒訂貨量和最小最大后悔值準則下的最優目標函數值計算結果如下表1所示。表1表明，隨著服務水平衡量參數β的增加，系統魯棒訂貨量單調遞減，說明服務水平越低，要求的訂貨量越少。而最小最大后悔值卻隨著β的增加呈先增后減趨勢。根據文［16］，在最小最大后悔值準則下，當僅知需求區間［A，B］，系統魯棒訂貨量為q*=βA+（1-β）B，最小最大后悔值為θ*=β（1-β）（B-A）。當額外獲得需求均值信息時，系統的訂貨量和最小最大后悔值變化情況如下圖4所示。由圖4可以看出，額外獲得需求均值信息時系統訂貨量要高于僅知需求區間信息的情況，而最小最大后悔值卻低于僅知需求區間信息的情況。因此，對于決策者來說，知道的需求信息越多，做出的決策越接近最優情況。

圖3 Q≤q時式（8）、（9）的圖形表示

圖4 需求均值信息的價值

圖5 零售商最小最大后悔值

（2）分散供應鏈情況。在定理3協調機制下，供應鏈可以實現完全協調。同時，由于需求不確定導致的風險也實現了在供應鏈成員之間的分擔，參數b決定了分擔比例。不同參數b和β下的零售商和供應商最小最大后悔值θ*r和θ*s分別如圖5和圖6所示。由圖5和圖6可以看出，在既定服務水平下，零售商和供應商的最小最大后悔值分別隨著回購價格b的增加而減少和增加；而在既定回購價格下，零售商和供應商的最小最大后悔值分別隨服務水平參數β的增加呈先增后減趨勢。對零售商和供應商來說，額外獲知需求均值信息時，其最小最大后悔值都低于僅知需求區間時的情況，如圖7和圖8所示，說明額外獲取需求均值信息能有效改進供應鏈成員雙方的運作績效。進一步，需求均值信息帶來的績效改進可解釋為決策者為了獲得這一額外信息所愿付出的最高成本。在既定服務水平下，零售商和供應商的績效改進隨回購價格的增加分別呈現減少和增加趨勢；而在既定回購價格下，兩者的績效改進情況隨服務水平參數β的變化趨勢并不明顯。

表1 不同服務水平參數β下集成供應鏈魯棒訂貨決策和最小最大后悔值

圖6 供應商最小最大后悔值

圖7 需求均值信息對零售商的價值

圖8 需求均值信息對供應商的價值

6 結語

本文針對包括一個供應商和一個零售商的二級供應鏈系統，研究了需求不確定條件下基于最小最大后悔值準則的供應鏈魯棒回購契約協調問題。應用魯棒優化方法求解了僅知需求區間和均值信息下集成供應鏈魯棒訂貨策略和分散供應鏈魯棒契約協調策略，分析了不同服務水平和契約參數下，由于信息缺失而未能實現最優運作的供應鏈及其成員績效情況。結果表明，隨著服務水平的提高，魯棒訂貨決策下的集成供應鏈后悔值呈現先增后減的趨勢，而分散供應鏈系統成員后悔值卻取決于服務水平和回購價格兩個因素。進一步，對僅知需求區間信息和額外獲得需求均值信息兩種條件下的供應鏈及其成員績效進行對比發現，額外獲得需求均值信息能夠顯著改進供應鏈系統及雙方成員的績效，說明掌握的信息越多，做出的決策越接近最優情況。在僅知需求部分信息條件下，文中給出的解析形式的供應鏈魯棒運作策略具有較強的應用性，進一步，可考慮供應鏈及其成員風險偏好因素，研究具有風險偏好的供應鏈魯棒運作策略。

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The Supply Chain Robust Coordination Strategy Based on Buy-back Contract Under Limited Demand Information

QIU Ruo-zhen，HUANG Xiao-yuan，YUAN Hong-tao
（School of Business Administration，Northeastern University，Shenyang 110004，China）

Robust coordination with buyback contract for a supply chain with only knowing demand mean and interval based on minimax regret criterion is studied.Under the framework of buyback contract，a supply chain coordination model for a two-stage supply chain system with unknown detailed demand distribution is developed by using the performances of supply chain system and its members under optimal decision minus which under robust decision as the objective functions.Under the condition of only knowing demand interval and mean，the robust order policy of integrated supply chain，together with the robust contract coordination policy of decentralized one and the deviations of their performances based on minimax regret criterion are proposed by using robust optimization technology.Furthermore，regrets of supply chain system and its members who do not operating optimally for information lacking are analyzed under different service level and contract parameters.At last，numerical calculation are carried out to verify the robustness and effectiveness of supply chain buyback contract coordination strategy obtained by robust optimization.The results show that supply chain robust coordination strategy based on buyback contract can reduce the impact of demand uncertainty on the performance of supply chain system and its members effectively.Specially，compared to only knowing demand interval，obtaining additional information about mean value can improve the operational performance of supply chain.

supply chain；robust optimization；minimax regret criterion；coordination；buy-back contract

F253.4

A

1003-207（2014）07-0034-09

2012-04-18；

2013-05-12

國家自然科學基金資助項目（71372186）；教育部人文社會科學研究一般項目（11YJC630165）

邱若臻（1980-），男（漢族），山東青島人，東北大學工商管理學院，副教授，博士，研究方向：供應鏈管理.