基于構造作圖與基于約束求解作圖方法的比較――基于幾何畫板、超級畫板及Geometry Expression的對比

陳曉霞

（1.浙江科技學院 理學院，杭州 310023；2.華中師范大學 國家數字化學習工程技術研究中心，武漢 430079）

基于構造作圖與基于約束求解作圖方法的比較――基于幾何畫板、超級畫板及Geometry Expression的對比

陳曉霞1，2

（1.浙江科技學院 理學院，杭州 310023；2.華中師范大學 國家數字化學習工程技術研究中心，武漢 430079）

基于構造的作圖方式是被廣泛應用的動態幾何軟件所使用的作圖方式，其優點是作圖功能豐富，但限于基于構造的這種作圖方式使其作圖方式不夠自然，智能性不夠；而基于約束求解的作圖方式可以克服這些問題，但限于約束求解算法的復雜性，對于某些作圖功能如迭代等還有待完善。因此，開發將基于構造作圖和基于約束求解作圖相結合的動態幾何軟件將大大提高作圖軟件的智能性，提高其應用的廣泛性。

基于構造作圖；基于約束求解作圖；動態幾何

隨著信息技術的不斷發展，各種動態幾何軟件的功能變得越來越強大，利用動態幾何軟件作圖進行課堂教學、科學研究等已經變得越來越普遍。由于數學學科在基礎教育知識體系中的重要性，國內外針對數學學科的教學需求開發的動態幾何軟件有40多種，其中比較著名的有：幾何畫板（The Geometry's Sketch Pad）[1]、超級畫板（Super Smart Platform）[2]、GeoGebra[3]、Carbri Geometry[4]、Geometry Expression[5]等。這些動態幾何軟件提供給用戶豐富多彩的作圖功能，用戶利用系統所提供的幾何變換、迭代、幾何量的測量、幾何圖元的跟蹤（包括軌跡生成）、動畫等功能，可完成許多復雜且優美的幾何圖形，在幾何圖元的動態變化過程，用戶通過觀察可進行幾何命題的探討、學習。

1 基于構造作圖與基于約束求解作圖方法比較

1.1 基于構造作圖

基于構造的作圖方式是指用戶需根據已經存在的幾何對象來創建新的幾何對象，在創建新的幾何對象之初，用戶必須清楚該幾何對象與已經存在的幾何對象是否存在約束關系，并就此準確地逐步地完成幾何對象的構造。當幾何對象的構造完成后，幾何對象之間的約束關系隨之建立，用戶無法再重新修改幾何對象間的約束關系，也無法對互相獨立的幾何圖元之間增加約束關系。

基于構造的作圖方式的主要優點是作圖功能豐富、動畫功能強大等；主要缺點是用戶需要具備一定的幾何背景知識和一定的作圖技巧才能完成一些基本的幾何圖形的構造，并且對已經存在的幾何對象之間無法添加、無法修改約束關系。

幾何畫板和超級畫板等基于構造作圖的動態幾何軟件都提供包含迭代在內的多種幾何變換功能，利用這樣的作圖功能，可以構造蘊含著豐富的數學思想又非常優美的幾何圖形，如圖1所示的幾個著名的迭代圖。

圖1 迭代圖Fig.1 Iterative graph

幾何畫板和超級畫板還提供豐富的點的跟蹤、動畫、軌跡等功能，可跟蹤繪制點的軌跡、直線的軌跡、圓錐曲線的軌跡等；提供包括單點驅動、多點驅動、參數驅動等在內的多種驅動方式的軌跡。

如利用超級畫板可制作如圖2所示的點的軌跡，其中點C是線段EF的中點，當點E、F分別在其父圓上同時運動，在相同的時間內完成一周運動，點C的軌跡為圖2左圖所示；如果點F在圓A上運動10周，同時點E在圓C上運動1周，點C的軌跡如圖2右圖所示，當用戶選擇軌跡曲線的不同填充方式時，可形成漂亮的萬花筒；用戶可用鼠標右鍵單擊軌跡，得到軌跡的屬性對話框，如圖3所示。在軌跡屬性頁面，用戶可修改主動點的運動范圍和周期比，從而得到不同的圖形軌跡。

但是，對于一些基本的幾何對象的構造，用戶卻需要一定的構造技巧和幾何知識背景才能完成，如利用幾何畫板構造一個等邊三角形，需按如下步驟完成：

圖2 多點驅動的點的軌跡Fig.2 Locus of point driven by multipoints

圖3 軌跡屬性Fig.3 Dialog box of locus properties

除了上述作圖步驟之外，不同的使用者根據不同的幾何性質可以使用不同的作圖步驟完成等邊三角形的構造，如果用戶需要構造其他正多邊形，則需要更多的技巧和一定的知識背景才能完成。鑒于此超級畫板在幾何畫板的基礎上增加了一些常用圖形的一鍵構造功能，如正方形、等邊三角形等一些常見的多邊形、線段的比例點、圓錐曲線及其特征點等，用戶可選擇待構造幾何對象的父對象，再選擇相應的作圖命令一鍵完成幾何對象的構造。如上述等邊三角形的構造，利用超級畫板僅需下面幾步可完成：

1）在智能畫筆狀態下，畫線段AB；

2）在選擇狀態下，選擇點A、B，選擇菜單項作圖→常見多邊形→等邊三角形構造三角形ABC，如圖4所示，系統自動添加點C和線段AC、BC。

利用上述步驟大大地減少了作圖步驟，提高了作圖的智能性，但缺點是僅能構造系統所提供的有限的幾種常用圖形，如要求利用橢圓的定義構造橢圓，使用者仍需要相當的作圖技巧和知識背景。

圖4 等邊三角形的構造過程Fig.4 Constructive process of equilateral triangle

1.2 基于約束作圖

基于約束求解的作圖方式是指在用戶構造新的幾何對象時，不需要完全準確地建立與已經存在的幾何對象之間的約束關系，當新的幾何對象構造完成后，再依次選擇需要建立約束關系的幾何對象，選擇所需要的約束關系，系統通過約束求解算法完成幾何圖元的調整工作，使得幾何圖元之間滿足所要求的約束關系。

利用基于約束求解的作圖方式，可使動態幾何軟件的操作性變得更自然，更符合人的使用習慣。例如上文中所提到的等邊三角形的構造，利用Geometry Expression，用戶可按如下步驟來完成：

1）選擇構造線段，依次繪制線段AB、BC、AC；

當前的三角形ABC即為等邊三角形，利用上述步驟構造等邊三角形，用戶不需要任何背景知識和作圖技巧，正方形等其他正多邊形可用類似的步驟完成。

另外，基于約束求解的作圖方式可完成某些參數約束求解問題，這類問題是基于構造作圖的動態幾何軟件無法完成或者需要使用者非常復雜的作圖技巧才能完成的。例如構造一個邊長分別為參數a、b、c的三角形，用戶可通過觀察a、b、c值的變化來觀察三角形形狀的變化，以及三角形的存在條件。

但是，基于約束求解的作圖方式鑒于其算法的復雜性，它對于某些構造作圖的功能卻無法完成，例如迭代，例如多點驅動的點的軌跡等。

1.3 智能畫筆作圖

超級畫板提供了一種結合了基于構造作圖和基于約束作圖2種方式的作圖方法：智能畫筆作圖。智能畫筆作圖方法是指單擊鼠標作點、單擊鼠標后拖動至某位置后再松開鼠標作線段、雙擊鼠標后拖動至某位置后松開鼠標作圓（已知圓心和圓上一點的圓）；在鼠標移動過程中，如果當前擬繪制的幾何對象（點、線、圓）和已存在的幾何對象存在某種約束關系，如是某線段的中點、是某些幾何對象之間的交點、與某已知直線平行、與某已知圓相切等，當鼠標移動至相應位置時，則高亮顯示這些幾何對象，如果在此位置單擊鼠標或松開鼠標，則所構造的幾何對象與已存在的幾何對象間保持該約束關系，如圖5所示。

智能畫筆作圖可以提高動態作圖系統的智能性、操作性，用戶為構造滿足某幾何約束關系的幾何對象時，不必不斷地在菜單項中尋找相應的作圖命令，超級畫板利用智能畫筆可完成20多種滿足一定幾何約束關系的幾何對象，大大地提高了作圖效率。智能畫筆作圖將基于約束的作圖與基于構造的作圖方式作了一定的結合，但與基于構造作圖所構造的幾何對象一樣，一旦完成了幾何對象的構造，幾何對象之間的約束關系將無法修改。

圖5 智能畫筆示意圖Fig.5 Sketch map of intelligent pen

2 實 例

如何高效地利用不同的動態幾何軟件完成同一幾何問題的作圖，使得所作圖形不僅美觀而且能夠更加簡潔、更加直觀地展現幾何圖形之間的關系，能夠更好地利用動態性來研究幾何圖形變化過程中幾何圖形之間所蘊含的幾何性質。如何構造這樣的幾何圖形與動態幾何軟件所提供的功能，以及用戶的幾何背景知識和軟件熟悉程度、作圖技巧是息息相關的。使用基于構造的作圖方式的動態幾何軟件來完成某個問題的作圖，一直以來都是廣大一線中學數學教師和幾何愛好者所研究的內容之一。而基于約束求解作圖的動態幾何軟件則對使用者的作圖技巧和幾何知識背景要求沒有這么高。

上文已經討論了基于構造作圖和基于約束作圖的不同之處，比較了2種作圖方式的優缺點，現就“橢圓的構造”的作圖、“三角形的內切圓”和“勾股定理的學習”這3個實例來作進一步具體的比較。

2.1“橢圓的構造”的作圖對比

使用幾何畫板或超級畫板基于構造的作圖方法來完成“橢圓的構造”的作圖有很多方法，在文獻[6]中分別基于橢圓的4種不同定義方法羅列了4種作法，文獻[7]中基于“到兩定點的距離之和（差）為定值的點的軌跡為橢圓（雙曲線）”的定義方法給出了一種作法。基于同一個定義不同的使用者可以給出很多不同的作法，例如文獻[2]中給出的作法僅需要4步，并且很容易推廣到雙曲線（作法1）；在文獻[1]中同樣基于“到兩定點的距離之和為定值的點的軌跡為橢圓”給出的作圖方法需要8步完成（作法2）；不同的用戶的幾何水平不同、軟件操作熟悉程度不同導致同一個問題會有復雜程度相差很多的作法，現就作法1與基于約束求解作圖方法（作法3）作對比。

“橢圓的構造”作法1：

1）利用智能畫筆，作以點A為圓心過點B的圓；

2）連接AB，其上作點C，圓上作點D，連接CD、AD；

3）作CD的中點E；

4）過E作CD的垂線交AD于F。

由于CF=DF，而AF+CF=AF+DF=AD=R=AB。所以，當D在圓A上運動時，點F的運動軌跡為橢圓，如圖6所示。

使用具備參數約束求解功能的基于約束求解作圖方式的Geometry Expression來完成“橢圓的構造”的作圖，利用上文中所提到的“到兩定點的距離之和為定值的點的軌跡為橢圓”的定義方法可通過下述步驟完成。

“橢圓的構造”作法3：

1）作線段AB、AC、BC；

2）約束線段AB的長度為a，并鎖定為5（以此為例，可用其他值），約束線段AC的長度為b，約束BC的長度為c-b，并鎖定變量c為9；

圖6 “橢圓的構造”作法1示意圖Fig.6 Sketch map of drawing method 1 for“construction of ellipse”

4）選定點C以AB為對稱軸，作對稱點C′；

從上述作圖方法可以看出，利用基于約束求解作圖方式完成“橢圓的構造”，用戶不需要任何軟件的使用技巧，其作圖步驟完全可從定義出發，兩定點為A、B；AC+BC為定值c；當AC在一定范圍內變化時，點C的軌跡為AC+BC=c的點的軌跡。當用戶修改a、b、c的值為非初始值時，可觀察點C的軌跡的變化情況，包括退化情況，從而進行一定的研究性學習。

2.2“三角形的內切圓”的作圖對比

要完成“三角形的內切圓”的構造，使用幾何畫板和超級畫板的用戶必須具備通過分析“三角形的內切圓與三邊相切，因此，圓心到三邊距離相等”這一知識點，然后得到“三角形的內切圓的圓心是三角形兩角的角平分線的交點”的結論。可以通過下述步驟完成“三角形內切圓”的構造。

“三角形的內切圓”作法1：

1）構造三角形ABC；

2）依次選擇點A、B、C，作∠ABC的角平分線l 1；同樣的方法作∠BAC的角平分線l 2；

3）選擇l1和l2，作交點O；

4）依次選擇點O和線段BC，作過點O與BC垂直的直線，交點為P；

5）依次選擇點O和點P，作“已知圓心和圓上一點的圓”。

三角形內切圓的構造圖如圖8左圖所示，可隱藏角平分線和垂線等使所作幾何圖形更加美觀和簡介，如圖8右圖所示。

圖7 “橢圓的構造”作法3的示意圖Fig.7 Sketch map of drawing method 3 for“construction of ellipse”

如果使用基于約束求解作圖方式的Geometry Expression來完成三角形內切圓的作圖，用戶不需要掌握三角形內切圓的性質，只需要通過構造草圖，添加約束，系統通過約束求解來完成作圖，具體作圖步驟如下。

“三角形的內切圓”作法2：

1）構造三角形ABC；

2）在三角形內部構造圓D；

3）依次選擇圓D和線段AB，選擇約束“圓與直線相切”，完成圓D與AB的相切；使用相同的方法完成圓D與線段BC和線段AC的相切。

上述約束求解作圖過程中幾何圖形之間的變化過程如圖9所示。

圖8 “三角形的內切圓”作法1示意圖Fig.8 Sketch map of drawing method 1 for inscribed circle of triangle

圖9 “三角形的內切圓”作法2示意圖Fig.9 Sketch map of drawing method 2 for inscribed circle of triangle”

Geometry Expression軟件是基于代數方法的約束求解技術，因此，用戶可選擇點D查看其坐標，如圖10所示，在此表達式中所涉及的各參數在圖形中有標注顯示。通過圖10可發現該點的坐標的代數表示非常復雜，涉及角度、向量、長度等，用戶無法輕松地從此式中發現點D所滿足的幾何特征，很難作進一步的研究性學習。

圖10 點D的坐標的代數表達式Fig.10 Algebraic expression for coordinate of point D

2.3 “勾股定理的學習”作圖對比

“勾股定理”是中學幾何中一節重要的學習內容，教師如何利用動態幾何軟件來直觀地動態地展現直角三角形的“a2+b2=c2”這一性質，也就是勾股定理的證明需要頗費心思。文獻[8]中利用面積法、裁剪法、趙爽弦圖等方法構造了如圖11所示的一些幾何圖形來展示和證明勾股定理；文獻[9]中利用面積法和驗證法對比了使用不同的動態幾何軟件構造直角三角形的方法和步驟。

圖11 勾股定理的證明Fig.11 Proof graphs for Pythagorean Theorem

如果用戶欲構造邊長為“3a、4a、5a”的三角形，當參數a變化時，通過觀察三角形形狀、測量三角形的角度來體驗和觀察直角三角形的性質，上述作法都無法完成。如果使用Geometry Expression軟件來作上述操作，可通過如下步驟完成：

1）構造任意三角形ABC；

2）選擇線段AB，約束其長度為5a，類似操作約束BC=4a，AC=3a。

圖12 “勾股定理的學習”圖形Fig.12 Study of Pythagorean Theorem

3 結 語

基于構造作圖方式相較基于約束求解作圖方式的優點是作圖功能更豐富，例如迭代功能、多點驅動的圖元的軌跡等；其不足之處在于用戶需要具備一定的幾何背景知識和作圖技巧才能完成某些作圖問題，且一旦完成幾何對象的構造，幾何對象之間的約束關系無法修改，并且對涉及參數約束求解的問題無法完成。而基于約束求解作圖方式相較基于構造作圖方式更加自然，更加符合人的作圖習慣，可解決包括參數約束求解的作圖問題。因此，如果能夠開發2種作圖方式相結合的動態幾何軟件，將使動態幾何作圖的智能性更高，解決問題更廣泛，應用性更強。

[1] Jackiw N.The Geometry's Sketchpad[CP].Berkely：Key Curriculum Press，1995.

[2] 張景中，李傳中.Z+Z智能教育平臺：超級畫板[CP/OL].http:∥www.chaojihuaban.com/zh-CN/index.html.

[3] Hohenwarter M.GeoGebra[CP/OL].http:∥geogebra.org.

[4] Laborde J M，Bellemain F.Gabri-Geometry II[CP].Dallas：Texas Instruments，1998.

[5] Saltire Software.Geometry Expressions[CP/OL].http:∥www.geometryexpression.com.

[6] 張海強，姜堰君.基于超級畫板的圓錐曲線定義作圖[J].中學數學月刊，2013（11）：39-40.

[7] 張景中.超級畫板在高中數學教學中的應用（續完）[J].高等函授學報：自然科學版，2008（2）：3-9.

[8] 徐章韜.信息技術背景下的勾股定理[J].中學數學，2011（6）：60-63.

[9] 紀穎，魯子薈，褚湛.常見中小學數學教學軟件的比較[J].中學信息技術教育，2007（7/8）：126-128.

Comparative research on construction-based drawing and constraint-based drawing—Based on comparison among GSP，SSP and geometry expression

CHEN Xiaoxia1，2
（1.School of Sciences，Zhejiang University of Science and Technology，Hangzhou 310023，China；2.National Engineering Research Center For E-Learning，Central China Normal University，Wuhan 430079，China）

The dynamic geometry software，such as GSP and SSP are based on construction drawing with rich and powerful drawing functions.But the construction-based drawing has some defects and is not natural.Although the constraint-based drawing can solve these problems，it can not solve some drawing problems such as iteration problems limited on the complexity of the algorithm.So the dynamic geometry software with construction-based drawing and constraint-based drawing can greatly improve the intelligence and applicability.

construction-based drawing；constraint-based drawing；dynamic geometry

TP391.41；O18

A

1671-8798（2014）03-0199-07

10.3969/j.issn.1671-8798.2014.03.008

2014-04-28

陳曉霞（1978― ），女，山西省潞城人，講師，博士研究生，主要從事機器證明、幾何約束求解理論等研究。