基于振動模態分析的鋼軌中超聲導波傳播特性數值計算方法

何存富，劉青青，焦敬品，劉 飛，吳 斌

（北京工業大學機械工程與應用電子技術學院，北京 100124）

其中：級數中的每一項代表了一個在空間具有固定模式并按一定頻率振動的駐波。可以看出，振動解利用

基于振動模態分析的鋼軌中超聲導波傳播特性數值計算方法

何存富，劉青青，焦敬品，劉 飛，吳 斌

（北京工業大學機械工程與應用電子技術學院，北京 100124）

針對鋼軌等復雜異型波導結構中超聲導波頻散特性難于求解的問題，通過振動模態分析提取出鋼軌中超聲導波傳播特性。基于振動特征頻率和波動解互相轉化的原理，將振動模態分析獲得的特征頻率解，轉換成波動解，進而提取出鋼軌的頻散特性。同時，還可以由結構振動分析中獲得的變形信息，計算出超聲導波的波結構。通過對計算出的鋼軌中低階超聲導波模態頻散特性和波結構分析，選擇出適合鋼軌無損檢測的超聲導波模態類型和頻率范圍，為后續專用超聲導波傳感器設計和檢測實驗提供理論支持。

模態分析；特征頻率法；鋼軌；超聲導波；頻散特性；波結構

高速鐵路由于具有高速、大容量等優勢，已經成為現代社會最重要的交通運輸方式之一。隨著我國高速鐵路運營里程的跨越式發展以及客運高速化、貨運重載化的發展，對高速鐵路運輸的安全性要求日益提高。特別是“7·23”動車追尾特大交通事故后，高速鐵路運輸的安全性更是備受人們關注。

作為高速鐵路運輸系統的重要組成部件，軌道具有引導機車前進、承受機車荷載以及將其傳遞至軌枕上的功能。由于自身材質缺陷以及長期受到各種外力及環境腐蝕綜合作用，在軌道上會產生局部損傷甚至宏觀斷裂，從而導致列車出軌、傾覆等重大行車安全事故，造成人員傷亡和財產損失。因此，需要利用各種無損檢測技術對鋼軌的損傷狀態進行檢測。目前，常見的鋼軌檢測方法有超聲波法、軌道電路、應變片檢測法、光纖斷軌檢測法等。這些常規方法還不能滿足現代軌道安全評價的需要，迫切需要發展高效、快捷的軌道無損檢測新技術。作為一種新型無損檢測技術，超聲導波由于具有傳播距離遠、檢測效率高等優點，對于鋼軌大范圍缺陷檢測具有特殊優勢，因此，鋼軌超聲導波檢測技術也是目前國內外無損檢測領域研究的熱點問題。

由于超聲導波的檢測效果很大程度上取決于所選超聲導波模態的傳播特性。因此，對結構進行超聲導波檢測時，首先需要根據結構中超聲導波的傳播特性，如頻散、波結構、衰減及可激勵性，選擇合適的超聲導波模態類型和頻率范圍。對于規則截面波導（如板、桿、管）中超聲導波的傳播特性，其數值計算方法已經很成熟［1－5］，且已有商用的數值分析軟件［6］。但對于鋼軌等異型截面波導中超聲導波傳播特性的研究，商用軟件無法完成其分析計算。因此，異型截面波導中超聲導波傳播特性研究目前仍是超聲導波研究領域的難點和熱點問題。

國外很多學者［7－8］開展了異型截面波導中超聲導波傳播特性研究。例如，Rose等［9］利用半解析有限元的方法對任意截面波導中超聲導波的傳播問題進行了研究，計算出100 kHz頻率范圍鋼軌中主要導波模態的相速度、群速度頻散曲線，并在軌頭踏面、軌頭側面進行了超聲導波試驗驗證。同樣采用半解析有限元方法，Lee等［10］采用半解析有限元的方法對鋼軌中瑞利波及高頻蘭姆波傳播特性進行了研究，并通過試驗證明其對軌頭下方的橫向裂紋檢測具有很好的敏感性。Coccia等［11］采用半解析有限元對不同激勵條件下鋼軌軌頭中導波傳播特性進行了研究，結果發現，對稱激勵時，能量主要集中在軌頭踏面；非對稱激勵時，能量集中于軌頭側面。Hesse等［12］采用半解析有限元法對鋼軌中表面波傳播特性進行了理論分析。

綜上所述，對于任意截面波導（包括鋼軌）中超聲導波傳播特性的計算方法較單一，多采用半解析有限元計算頻散特性，然后結合其他方法仿真或實驗進行驗證。針對以上研究現狀，基于結構振動解與波動解的互化原理，本文利用振動模態分析的方法進行鋼軌中超聲導波傳播特性的計算。

1 波動特性的振動求解原理

在給定擾動源及邊界條件、初始條件下，彈性體的動力響應有波動解和振動解兩種形式。介質中擾動質點間的彈性力逐漸傳播的過程，稱為彈性波。對于有界介質，由于擾動在其邊界上來回反射，使得整個物體在其平衡位置附近呈現出一種周期性振蕩現象，稱為彈性體的振動。彈性波和彈性體的振動之間存在著本質的內在聯系，可以看作是同一物理問題的不同表現形式。即擾動一開始總是以行波的方式將能量傳播出去，而當物體有界時，由于行波的來回反射，最終使物體處于定常的運動狀態，則表現為振動現象。彈性體的振動是波動過程的一種特殊形式。振動解可表示為無窮級數形式：無窮多個駐波的迭加描述了行波的傳播，而駐波是由相同頻率的簡諧行波迭加得到。因此，通過傅里葉級數可以將波動解與振動解聯系起來［13］。波動特性可以通過以下振動分析求解得到。

其中：級數中的每一項代表了一個在空間具有固定模式并按一定頻率振動的駐波。可以看出，振動解利用

彈性體振動方程可以表示為：

其中：M為質量，C為阻尼系數，K為彈性系數。

利用特征頻率法對彈性體振動方程進行動力學求解，得到不同特征模態的振型Φ。通過對不同頻率下不同特征模態的振型分析，可以計算出不同頻率下該模式波的波數，從而得到該模式波的相速度

其中：cp為相速度，L為模型長度，k為波數。

進而求得其群速度

cg為群速度，Δf為頻率差，Δk為波數差。

因此，利用振動解與波動解互化原理，通過對結構的振動模態分析，可以計算出任意截面波導的相速度及群速度頻散特性，同時，還可以由結構振動分析中獲得的變形信息，計算出超聲導波的波結構。下面以鋼軌異型截面波導為例，說明基于振動模態分析對任意截面波導中超聲導波傳播特性計算的有效性。

2 鋼軌振動模態的有限元模型

基于COMSOLMultiphysics有限元軟件平臺，進行鋼軌振動模態分析。參考GB 2585－2007標準［14］，對60 kg／m鋼軌進行有限元分析，軌底寬為150 mm，鋼軌高度為176mm，軌頭寬為73mm。由于結構的對稱性，在計算鋼軌中對稱模態導波傳播特性時，可以對其有限元分析模型進行簡化，取鋼軌的一半進行分析，模型如圖1所示。其中，x方向為鋼軌橫截面的寬度方向，y方向為鋼軌橫截面的高度方向，z方向為鋼軌長度方向。

圖1 鋼軌有限元分析模態Fig.1 Rail finite element analysismode

建立鋼軌模型后，需要對其進行參數設置，主要包括材料屬性、邊界條件、網格劃分、求解方式等。其中的材料性能參數設置主要包括：鋼軌密度為7 824 kg／m3，楊氏模量為2.09×1011Pa，泊松系數0.29，熱膨脹系數為1.21×10－51／K。有限元分析網格劃分中設定的最大單元尺寸為0.000 3，網格單元層數為250層。求解方式選擇特征頻率求解，設定分析的特征頻率范圍為0～50 kHz。

3 結果分析

圖2和圖3給出50 kHz低頻段范圍內，幾個典型模態的振型云圖。從圖2可以看出，隨著頻率的增大，振動從遍及整個截面逐漸過渡為集中在截面的局部區域，振動趨向復雜。

從圖2（c）和圖3中I～Ⅴ幾種不同模態在46 kHz附近的振動云圖可以看出，模態Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ、Ⅴ振動主要集中在軌底部分，模態Ⅲ振動主要集中于軌頭部分，且模態振動幅度有差別。

圖2 模態Ⅰ振型圖Fig.2 Shapes ofmodalⅠ

圖3 模態振型圖Fig.3 Modal shapes

3.1 頻散特性

在模態分析基礎上，根據不同頻率下不同特征模態的振型，計算出不同頻率下該模式波的波數。圖4給出通過模態分析獲得50 kHz頻率范圍內對稱模態導波的波數－頻散曲線。

根據式（2）及式（3），可進一步計算得到50 kHz頻率范圍內鋼軌的相速度及群速度頻散曲線，結果如圖5和圖6所示。

可以看出，隨著頻率的增加，鋼軌中超聲導波模態的數量急劇增加，且不同模態的導波均存在頻散現象。因此，在進行鋼軌超聲導波檢測參數選擇時，需要考慮超聲導波的這些傳播特性，通過探頭設計及檢測參數優化避免多模態激勵，并避開頻散嚴重的檢測頻帶。

為清晰反映圖2～3中五種模態導波的頻散特性，圖7給出該五種模態導波的群速度頻散曲線。其中，模態Ⅰ為粉色圓點曲線，模態Ⅱ為天藍色圓點曲線，模態Ⅲ為紅色圓點曲線，模態Ⅳ為綠色圓點曲線，模態Ⅴ為藍色圓點曲線。

圖4 鋼軌中超聲導波的波數頻散曲線Fig.4 Wavenumber dispersion curves of ultrasonic guided wave in rail

圖5 鋼軌相速度頻散曲線Fig.5 Phase velocity dispersion curves of rail

圖6 鋼軌群速度頻散曲線Fig6.Group dispersion curves in rail

3.2 波結構

根據不同頻率下各模態的位移分析，可以得到不同頻率下各模態導波的波結構。圖8～圖12給出46 kHz附近Ⅰ～Ⅴ五種模態導波的波結構。對比可以發現，模態Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ、Ⅴ的位移主要集中在軌底部位，而模態Ⅲ的位移集中在軌頭部位。對比模態Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ、Ⅴ沿不同方向位移分布可知，在軌底部位，模態Ⅳ沿導波傳播方向位移較大，且在軌底部分分布較均勻，因此，該頻率的模態Ⅳ在軌底中傳播能力強，對整個軌底部分的缺陷具有較高靈敏度，適合軌底無損檢測使用。

圖8 在46.4 kHz處模態Ⅰ的波結構Fig.8Wave structure of modalⅠat 46.4 kHz

圖9 模態Ⅱ在46.6 kHz時的波結構Fig.9 Wave structure of modalⅡat 46.6 kHz

圖10 模態Ⅲ在46.3 kHz時的波結構Fig.10 Wave structure of modalⅢat46.3 kHz

圖11 模態Ⅳ在46.2 kHz時的波結構Fig.11 Wave structure of modalⅣat46.2 kHz

圖12 模態Ⅴ在46.5 kHz時的波結構Fig.12 Wave structure of modalⅤat46.5 kHz

4 結 論

利用振動模態分析法，本文實現鋼軌異型截面波導中超聲導波頻散和波結構等波動特性計算。并在低頻50 kHz范圍內，對五種典型模態導波的頻散特性和波結構進行了對比分析。研究發現，在46 kHz附近，各模態導波頻散相對較小，且Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ、Ⅴ模態位移主要集中在軌底，而其中的中模態Ⅳ在軌底中傳播能力最強，且在軌底部位具有較均勻的位移分布，適合于軌底部位的無損檢測。模態Ⅲ的位移集中在軌頭部位，適合于軌頭部位的無損檢測。后續將基于理論分析結果，利用選定的導波模態類型和頻率范圍，開展軌底和軌頭部位的無損檢測實驗研究。

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Propagation characteristics of ultrasonic guided wave in rails based on vibration modal analysis

HE Cun-fu，LIU Qing-qing，JIAO Jing-pin，LIU Fei，WU Bin
（College of Mechanical Engineering and Applied Electronic Technology，Beijing University of Technology，Beijing 100124，China）

Aiming at difficult problems to solve the dispersion characteristics of ultrasonic guided wave in complex waveguide structures，such as，rails，here the vibration modal analysis method was used to extract the propagation characteristics of ultrasonic guided wave.Based on the principle that vibration characteristic frequencies and wave solutions can convert each other，the solutions of characteristic frequencies obtained with vibration modal analysis were converted into wave solutions，and then the dispersion characteristics of railswere extracted.Deformation information was gained from vibration analysis of a structure，and with it the wave structure of ultrasonic guided wave was calculated.The dispersion information and wave structure information of lower ordermodes of ultrasonic guided wave were analyzed，the modal type of ultrasonic guided wave and its frequency range were selected，all of them provided a theoretical support for designing special ultrasonic guided wave sensors andmeasuring tests.

modal analysis；method of characteristic frequencies；rail；ultrasonic guided wave；dispersion characteristics；wave structure

TB553

A

國家自然科學基金項目（51235001，11272017）；北京市自然科學基金項目（1122005）

2012－12－12 修改稿收到日期：2013－03－19

何存富男，博士，教授，1958年7月生