壁板邊界松馳下顫振非線性動(dòng)力特性分析

肖艷平，楊翊仁，葉 露

（1.西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院，成都 610031；2.中國(guó)民航飛行學(xué)院飛行技術(shù)學(xué)院，廣漢 618307）

壁板邊界松馳下顫振非線性動(dòng)力特性分析

肖艷平1，2，楊翊仁1，葉 露2

（1.西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院，成都 610031；2.中國(guó)民航飛行學(xué)院飛行技術(shù)學(xué)院，廣漢 618307）

采用分離變量法和伽遼金法建立三維壁板的非線性氣動(dòng)彈性運(yùn)動(dòng)方程，用一階活塞理論模擬壁板所受的氣動(dòng)力，分析了壁板的顫振邊界及穩(wěn)定性，進(jìn)而取邊界松弛因子，動(dòng)壓和面內(nèi)力為分叉參數(shù)，研究壁板顫振時(shí)的分叉及混沌等復(fù)雜動(dòng)力學(xué)特性。計(jì)算結(jié)果表明：邊界松弛下壁板顫振系統(tǒng)表現(xiàn)出豐富的動(dòng)力學(xué)行為，其分叉特性很復(fù)雜。隨著邊界松弛因子的增大，靜態(tài)穩(wěn)定區(qū)域縮小，而屈曲和混沌區(qū)域增大，系統(tǒng)穩(wěn)定性降低。

壁板；顫振；活塞理論；邊界條件；分叉

壁板顫振，是指高速氣流中壁板結(jié)構(gòu)的慣性力、彈性力以及一個(gè)表面上的氣動(dòng)力共同作用下產(chǎn)生的一種自激振動(dòng)現(xiàn)象。雖然壁板顫振由于幾何非線性效應(yīng)，一般不會(huì)像機(jī)翼顫振那樣發(fā)生振幅隨時(shí)間以指數(shù)形式增長(zhǎng)的破壞性振動(dòng)，而通常呈現(xiàn)出限幅極限環(huán)振動(dòng)的形式，但是劇烈的壁板顫振對(duì)壁板結(jié)構(gòu)的疲勞壽命甚至飛行器的飛行性能以及飛行安全產(chǎn)生十分不利的影響［1－3］。

壁板顫振系統(tǒng)動(dòng)力特性十分復(fù)雜，隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化，壁板表現(xiàn)出靜不穩(wěn)定性（屈曲）和動(dòng)不穩(wěn)定性（顫振與混沌運(yùn)動(dòng)）。影響壁板顫振動(dòng)力特性的系統(tǒng)因素有很多，其中重要一項(xiàng)就是支撐的邊界條件。常規(guī)情況下，研究壁板的動(dòng)力特性總是假定支撐邊界是理想的，即邊界是簡(jiǎn)支或固支的。實(shí)際上，邊界固定很難滿足這種理想的邊界，有很多的因素影響邊界條件，如選用材料機(jī)械性能的偏差，尺寸大小，裝配工藝差異，摩擦，墊圈蠕變等。另外，由于長(zhǎng)時(shí)間的振動(dòng)也會(huì)使邊界條件發(fā)生改變。這樣必然影響壁板的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和疲勞特性。而對(duì)于邊界條件對(duì)壁板結(jié)構(gòu)的影響的研究較少，還有待加強(qiáng)。夏巍等［4－6］采用有限元法對(duì)理想邊界條件（簡(jiǎn)支和固支邊界）壁板的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了研究。Lindsley等［7－8］采用邊界扭轉(zhuǎn)彈簧，通過(guò)調(diào)節(jié)扭轉(zhuǎn)彈簧剛度的大小研究邊界扭轉(zhuǎn)剛度對(duì)壁板系統(tǒng)動(dòng)力特性的影響。Ibrahinua［9－10］采用伽遼金法分析二維無(wú)限展長(zhǎng)壁板相關(guān)邊界條件下非線性動(dòng)力特性和和隨機(jī)特性。

本文以超音速流作用下的三維壁板為模型，運(yùn)用Von Karman大變形非線性應(yīng)變－位移關(guān)系和一階活塞氣動(dòng)力理論，采用分離變量法和伽遼金法建立了三維壁板的顫振方程，再用Matlab編程進(jìn)行了數(shù)值仿真，研究邊界條件對(duì)壁板動(dòng)力特性的影響。

1 動(dòng)力學(xué)方程

考慮一個(gè)受面內(nèi)力Nx，Ny作用的三維壁板a×b× h，且h?a，單位長(zhǎng)度質(zhì)量為ρ。上表面作用有沿x方向超音速氣流，其速度為U∞，如圖1所示。根據(jù)Kirchhoff平板理論和Von Karman大變形定理，其控制方程為：

其中：w為板的z向位移，D＝Eh3／12（1－μ2）為板的彎曲剛度，φ為Airy應(yīng)力函數(shù)，E為材料的彈性模量，q0為氣動(dòng)載荷，▽2（）＝（），xx＋（），yy，下標(biāo)中一撇表示對(duì)其后的變量求導(dǎo)數(shù)。在板的y方向上，由于板的兩邊都被簡(jiǎn)支，又與來(lái)流垂直，高階模態(tài)不易激發(fā)，僅取其一階模態(tài)就可以體現(xiàn)此方向上的變形影響，故N取1。而在板的?方向上，為簡(jiǎn)化分析，只取四階，即M取4。

圖1 壁板模型Fig.1 Themodel of panel

2 氣動(dòng)力

3 線性分析

線性顫振分析目的是為了確定系統(tǒng)的顫振邊界，即系統(tǒng)無(wú)量綱臨界動(dòng)壓隨邊界松弛因子k的變化關(guān)系。令q＝eiΩt，代入式（9）的線性部分，可以得到系統(tǒng)的特征值矩陣，其中Ω通常情況為復(fù)數(shù)形式，Ω＝ω＋ci，ω為實(shí)部，即為系統(tǒng)頻率，c為虛部，表征系統(tǒng)的阻尼。取結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)sb＝1，sh＝300，質(zhì)量參數(shù)／M∞＝0.01，面內(nèi)力Rv＝Ry＝0，代入式（9）的線性部分，根據(jù)特征值計(jì)算結(jié)果得到系統(tǒng)的頻率ω與阻尼c隨無(wú)量綱動(dòng)壓λ的變化，如圖2所示。實(shí)線和長(zhǎng)短線分別表示理想的固支和簡(jiǎn)支邊界條件。由圖可知：對(duì)于特定的k，當(dāng)無(wú)量綱動(dòng)壓λ＜λcr時(shí)，系統(tǒng)一階頻率隨動(dòng)壓的增加而增大，系統(tǒng)阻尼全部都小于零，系統(tǒng)平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定；當(dāng)λ＝λcr時(shí)，第一階頻率與第二階頻率相交，系統(tǒng)失穩(wěn)，此時(shí)阻尼等于零，系統(tǒng)平衡點(diǎn)失穩(wěn)，即系統(tǒng)產(chǎn)生顫振。圖3給出了不同無(wú)量綱面內(nèi)壓力R（R＝－Rx／π2）下顫振臨界動(dòng)壓λcr隨邊界松弛因子k的變化曲線。由圖2可知k＝1與k＝∞時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)情況已經(jīng)很接近，因此圖3和后面計(jì)算重點(diǎn)關(guān)注k變化區(qū)間為0～1。由圖3可知，k等于零（固支邊界）時(shí)的顫振臨界動(dòng)壓λcr大于k大于零時(shí)的顫振臨界動(dòng)壓λcr，邊界約束松弛減小了顫振臨界動(dòng)壓，降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。另外，當(dāng)面內(nèi)壓力Rx增大時(shí)，穩(wěn)定區(qū)域減小，而顫振區(qū)域在增大，面內(nèi)壓力不利于壁板穩(wěn)定。

4 非線性分析

基于Matlab編程，采用四階龍格－庫(kù)塔法對(duì)式（9）進(jìn)行積分，得到模態(tài)坐標(biāo)下的響應(yīng)，再利用（3）式將其轉(zhuǎn)化到物理坐標(biāo)下，即可得到壁板的最大位移處（＝0.75＝0.5）時(shí)間響應(yīng)歷程。

4.1 穩(wěn)定邊界

分別取五個(gè)不同的邊界松弛因子k，考察其對(duì)壁板動(dòng)力學(xué)行為分布的影響。圖4給出了R－λ參數(shù)平面內(nèi)系統(tǒng)的動(dòng)力特性分布。從圖中可以看出，顫振系統(tǒng)在參數(shù)平面內(nèi)表現(xiàn)出各種動(dòng)力學(xué)行為，包括（Ⅰ）靜態(tài)平衡，（Ⅱ）靜態(tài)屈曲，（Ⅲ）極限環(huán)運(yùn)動(dòng)，（Ⅳ）擬周期和混沌。而邊界松弛因子的大小對(duì)顫振模型的動(dòng)力學(xué)特性影響很大。當(dāng)k增大時(shí)，靜態(tài)穩(wěn)定區(qū)域縮小，而屈曲和混沌區(qū)域在增大。由此可見(jiàn)，邊界松弛降低了系統(tǒng)維持靜態(tài)穩(wěn)定的能力，增加混沌運(yùn)動(dòng)的可能性。此結(jié)果與通過(guò)線性穩(wěn)定性分析得到的結(jié)果吻合，但線性分析無(wú)法得到混沌區(qū)域的變化情況。

圖2 特征值隨動(dòng)壓的變化圖Fig.2ωand c vsλfor different k

圖3 顫振臨界動(dòng)壓隨邊界松弛因子的變化圖Fig.3λcrvs k for different R

圖4 不同邊界松弛因子下正方形壁板穩(wěn)定邊界Fig.4 Stability boundary for different values of relaxation parameter

4.2 k為分岔參數(shù)

將邊界松弛因子k作為可變參數(shù)，計(jì)算系統(tǒng)的分叉圖。對(duì)某個(gè)k值，當(dāng)位置＝0.75＝0.5處達(dá)到穩(wěn)態(tài)響應(yīng)后，記錄速度為零的位移。改變k值，按上述過(guò)程便得到了離散無(wú)量綱位移隨邊界松弛因子k變化的分叉圖。取λ＝230，R＝5.7，邊界松弛因子k的變化區(qū)間為［0，1］，則無(wú)量綱位移隨k變化的分叉圖如圖5所示。隨k的增大，系統(tǒng)經(jīng)歷了衰減振動(dòng)狀態(tài)，周期1振動(dòng)，周期3振動(dòng)和擬周期振動(dòng)后，又進(jìn)入周期3振動(dòng)，擬周期振動(dòng)，隨后進(jìn)入混沌狀態(tài)。繼續(xù)增大k值，系統(tǒng)再次進(jìn)入周期3，最后由擬周期振動(dòng)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

上面所述的現(xiàn)象通過(guò)相平面曲線來(lái)描述更為清楚。當(dāng)k＜0.06時(shí)，平衡點(diǎn)為穩(wěn)定的焦點(diǎn)，任何擾動(dòng)經(jīng)一段時(shí)間后將回到平衡點(diǎn)。當(dāng)0.06≤k＜0.13時(shí)，系統(tǒng)處于簡(jiǎn)單的極限環(huán)振動(dòng)，如圖6（a）。當(dāng)0.13≤k＜0.135，0.17≤k＜0.28和0.45≤k＜0.6時(shí)，系統(tǒng)處于周期3極限環(huán)振動(dòng)，如圖6（c，f）；當(dāng)0.135≤k＜0.17，0.28≤k＜0.325及時(shí)0.6≤k＜0.65，系統(tǒng)處于擬周期振動(dòng)，如圖6（b，d，f）；當(dāng)0.325≤k＜0.45與k≥0.65時(shí)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，如圖6（e，h）。

圖5 分叉圖；λ＝230，R＝5.7Fig.5 Bifurcation diagram forλ＝230 and R＝5.7

圖6＝0.75＝0.5處相圖，λ＝230，R＝5.7Fig.6 Phase－p lane plots wher＝0.75＝0.5 forλ＝230，R＝5.7

4.3 λ和R為分岔參數(shù)

取R＝5.7，k＝0.2，無(wú)量綱位移隨動(dòng)壓變化的分叉圖如圖7所示。當(dāng)λ＞184.5后，系統(tǒng)由屈曲狀態(tài)直接進(jìn)入混沌狀態(tài)；當(dāng)λ＞223.5后系統(tǒng)進(jìn)入周期3振動(dòng)，直到λ＝234.5系統(tǒng)再次進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。當(dāng)λ＞276.5后，系統(tǒng)處于非對(duì)稱的極限環(huán)振動(dòng)狀態(tài)，大振幅偏向壁板的哪一側(cè)是隨機(jī)的。當(dāng)λ≥288后，系統(tǒng)進(jìn)入對(duì)稱極限環(huán)振動(dòng)狀態(tài)。圖8給出無(wú)量綱位移隨面內(nèi)壓力變化的分叉圖（取λ＝230，k＝0.2）。隨面內(nèi)壓力R的增大，系統(tǒng)經(jīng)歷了衰減振動(dòng)狀態(tài)，周期1振動(dòng)（R≥4.57），周期3振動(dòng)（R≥5.32），擬周期振動(dòng)（R≥5.3），隨后又進(jìn)入周期3振動(dòng)（R≥6.33），擬周期振動(dòng)（R≥6.56），最后進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（R≥6.63）。

圖7 分叉圖；R＝5.7Fig.7 Bifurcation diagram for R＝5.7 and k＝0.2

圖8 分叉圖；λ＝230，k＝0.2Fig.8 Bifurcation diagram forλ＝230 and k＝0.2

5 結(jié) 論

通過(guò)對(duì)邊界松弛下壁板顫振非線性動(dòng)力特性的研究，可得出如下結(jié)論：

（1）線性理論分析表明邊界松弛減小了顫振臨界動(dòng)壓，降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

（2）考慮幾何大變形非線性時(shí)，通過(guò)分析顫振系統(tǒng)在邊界松弛下其運(yùn)動(dòng)特性在分岔參數(shù)平面內(nèi)的分布，發(fā)現(xiàn)隨著邊界松弛因子的增大，穩(wěn)定區(qū)域減小，而靜態(tài)屈曲區(qū)域和混沌運(yùn)動(dòng)參數(shù)范圍在增大，系統(tǒng)穩(wěn)定性降低。通過(guò)對(duì)分叉圖及相圖分析可得，邊界松弛改變了系統(tǒng)顫振特性。

（3）當(dāng)面內(nèi)壓力增大時(shí)，穩(wěn)定區(qū)域減小，而顫振區(qū)域在增大，面內(nèi)壓力不利于壁板穩(wěn)定。

［1］楊智春，夏 巍，孫 浩.高速飛行器壁板顫振的分析模型和分析方法［J］.應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，2006，23（4）：537－542.

YANG Zhi-chun，XIA Wei，SUN Hao.Analysis of panel flutter in high speed flight vehicles［J］.Chinese Journal of Applied Mechanics，2006，23（4）：537－542.

［2］Dowell E H.Nonlinear oscillations of a fluttering plate［J］.AIAA J，1966，4（7）：1267－1275.

［3］肖艷平，楊翊仁，葉獻(xiàn)輝.三維粘彈壁板顫振分析［J］.振動(dòng)與沖擊，2011，30（1）：82－86.

XIAO Yan-ping，YANG Yi-ren，YE Xian-hui.Flutter analysis of a three-dimentional viscoelastic panel［J］.Journal of Vibration and Shock，2011，30（1）：82－86.

［4］夏 巍，楊智春.復(fù)合材料壁板熱顫振的有限元分析［J］.西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，23（2）180－183.

XIA Wei，YANG Zhi-chun.Flutter analysis of composite panels with thermal effects［J］.Jounal of Northwestern Polytechnicao University，2005，23（2）：180－183.

［5］Mei C.A finite element approach for nonlinear panel flutter［J］.AIAA J，1997，35（8）：1107－1110.

［6］Cheng G F，Mei C.Finite element modal formulation for hypersonic panel flutter analysis with thermal effects［J］.AIAA J，2004，42（4）：687－695.

［7］Lindsley N J，Beran PS，PettitC L.Effects of uncertainty on Nonlinear Plate Response in Supersonic Flow［J］.AIAA Paper，2002－5600.

［8］Lindsley N J，Beran PS，Pettit C L.Effects of uncertainty on Nonlinear Plate Aeroelastic Response［J］.AIAA Paper，2002－1271.

［9］Ibrahima R A，Beloiua D M.Influence of joint relaxation on deterministic and stochastic panel flutter［J］.AIAA J，2005，43（7）：1444－1454.

［10］Beloiua D M，Ibrahima R A，Pettit C L.Influence of boundary conditions relaxation on panel flutter with compressive in-plane loads［J］.Journal of Fluids and Structures，2005：743－767.

Non linear dynam ic analysis for a panel's flutter w ith boundary condition relaxation

XIAO Yan-ping1，2，YANG Yi-ren1，YE Lu2
（1.School of Mechanics and Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China；2.School of Flight Technology，Civil Aviation Flight University of China，Guanghan 618307，China）

A nonlinear dynamic analysis for a panel's flutter with boundary condition relaxation was conducted here.The flutter differential equations of a three-dimensional panel were built by using separation of variables and Galerkin method.The first piston theory was employed to calculate the aerodynamic load on the panel.The flutter boundary and stability for the flat panelwere analyzed.Then，taking temperature，dynamic pressure and in-plane load as bifurcation parameters，their bifurcations and chaos behaviors were studied.The results demonstrated that the rich dynamic behaviors of the panelwith boundary condition relaxation and its complex dynamic characteristicswith variation of bifurcation parameters are revealed；both the buckling region and chaotic region increase with increase in relaxation of boundary conditions and the stability of the system decreases.

panel；flutter；piston theory；boundary condition；bifurcation

V214.3

A

中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助（2010Z707）項(xiàng)目；中國(guó)民航飛行學(xué)院面上項(xiàng)目（J2010－77）

2012－09－28 修改稿收到日期：2013－03－11

肖艷平女，博士生，講師，1980年生