Lauwerier映射的混沌控制

郭 峰， 謝建華， 樂 源

(西南交通大學力學與工程學院，四川成都 610031)

由于混沌現象的廣泛存在，最近幾十年，在非線性控制領域內，混沌控制的研究受到越來越多的關注.人們通過對各種混沌現象產生機理的研究，在不斷發現新的混沌奇異性的同時，也逐漸認識到混沌運動對系統的危害，甚至會給系統帶來災難性的后果.而混沌在某些環境下是有用的，因此，在某些實際系統中，控制混沌或者混沌的反控制是非常重要和有現實意義的.

混動控制的研究始于20世紀80年代末，早期的研究思路是用現有的動力學控制策略破壞混沌運動發生的條件.文獻[1]提出控制混沌的OGY方法.文獻[2-9]根據各種不同情況提出了不同的改進措施，進一步發展了OGY方法.混沌吸引子中的高周期態控制以及高維動力學系統的混沌控制是OGY方法發展的一個重要方向.文獻[10]采用線性系統控制中的極點配置技術，對OGY方法進行了改進.

文獻[11]對兩維的Lauwerier映射進行了研究，當參數滿足0＜b＜0.5、a==4時，系統出現混沌現象.文獻[12]對Lauwerier吸引子的結構及其動力學行為進行了分析.文獻[13]研究了Lauwerier映射混沌吸引子的遍歷性，但目前尚未見Lauwerier映射的混沌控制問題研究，對該系統的混沌控制有助于解決對高周期態和高維系統的控制問題.

本文采用極點配置法，對Lauwerier映射出現的混沌運動進行控制，在保持原系統不改變的情況下，將不穩定的周期-1軌道和周期-2軌道控制在穩定的周期軌道上，對不同調節器極點對混沌控制時間的影響進行了分析.

1 極點配置方法

考慮如下映射:

式中:

F是充分光滑的函數;

a是可控的實參數，在某時間段內要求

δ為控制區域.

若Z*()為映射式(1)的不穩定周期-1軌道，則該映射可近似線性化為

式中:

A=?F/?Z和B=?F/?a在Z=Z*()和a=處求值.

假設依賴時間的控制參數a是關于變量zi的線性函數，即

式中:

KT為反饋增益矩陣.

將式(3)代入式(2)得到

由式(4)知，若矩陣A－BKT是漸進穩定(即其特征值的模均小于1)的，則不動點Z*(ˉ)將變為穩定的.

關鍵問題是確定滿足上述條件的矩陣KT，文獻[14]給出了求解極點配置的方法，極點配置問題存在唯一解的充要條件是矩陣Cn×n是秩為n的可控矩陣.

式中:

βi(i=1，2，…，n)為矩陣 A 的特征多項式

的系數;

α1，α2，…，αn是 A －BKT的特征多項式

的系數.

極點配置問題的解由

2 平面Lauwerier映射的混沌控制

考慮定義在區域 Q=[0，1]×[0，1]上的兩維Lauwerier映射

式(9)把垂直線段x=ξ(0≤y≤1)映射為拋物線.

圖1中，把水平線段y=η(0≤x≤1)映射為水平線段y=4η(1－ η)(η≤x≤η +b(1 －2η))，因而式(9)把Q映射到其內部，形成一個類似Smale馬蹄形狀的像L(Q).

圖1 正方形Q及其像L(Q)Fig.1 Square Q and L(Q)

對式(10b)進行迭代，再取極限得到

再由式(10a)的變換，將式(11)代入式(10a)，可以得到式(9)的不變曲線J的表達式為

由吸引子的定義和文獻[12]的分析，可知對Q內任一點x，當n→∞時Fn(x)→J－，不變曲線J的閉包構成了式(9)的吸引子.

和周期-2軌道:

當式(9)中a=3時出現周期倍化分岔，在a=3.6時出現混沌運動，圖2為式(9)的混沌相圖，圓點是其周期-1軌道，加號表示周期-2軌道.

圖2 Lauwerier映射的混沌相圖Fig.2 Chaotic phase diagram of Lauwerier mapping

2.1 控制在周期-1軌道

可控矩陣是秩為2的矩陣βi(i=1，2)為矩陣A的特征多項式系數，

求得A的特征多項式的根為λs=－1/8，λu=－2，α1和α2是A－BKT的特征多項式的系數，若假設A－BKT的特征根μ1和μ2為調節器極點，即

得到根與系數的關系為

當 μ1=1時，α1= －1－α2;當 μ1= －1時，α1=1+α2;當 μ1μ2=1時，α2=1.因此，α1和 α2的取值范圍如圖3中的灰色區域所示.

在圖3中三角形區域內，對α1和α2取不同的值使得控制時間不同.由第1節可知KT的取法不是唯一的，只要在三角形區域中取α1和α2值，然后求得矩陣KT，都能滿足矩陣A－BKT是漸進穩定的，所以取 μ1=0，μ2=λs，即(α1，α2)=(－ λs，0)時得

式中:u為階躍函數，

圖3 調節器極點的選取區域Fig.3 Selection of regulator pole area

圖4表示取不同的α1和α2時將混沌控制在周期-1 軌道，控制區域 δ=0.02.當

α1=1/8， α2=0

時，系統經過230多次的迭代實現控制的目的.當α1=1/6， α2= －1/4

時，經過3 300次的迭代完成混沌控制.

2.2 控制在周期-2軌道

最直接的方法就是將式(9)進行迭代，則周期軌道上的點都是不動點，然后由上述方法進行控制.當=4時，得到周期-2軌道為

(x1，y1)=(0.409 0，0.904 5)，

式中:f和g為通過式(9)的二次迭代所得的函數.

圖4 將混沌運動控制在周期-1軌道上Fig.4 Control chaos to period-1 orbit

計算可控矩陣

β1i(i=1，2)為矩陣A1的特征多項式的系數，β11=1.850 0，β12=0.579 9，特征根為 λ1s=－0.399 9，λ1u= －1.450 1，α11和 α12是 A1－B1KT1的特征多項式的系數，取于是得反饋增益矩陣

β2i(i=1，2)為矩陣A2的特征多項式系數，

β21=3.926 5， β22=－0.109 0，特征根為 λ2s=0.027 6，λ2u= － 3.954 1.取(α21，α22)=(－ λ2s，0)，得到

得到反饋增益矩陣 KT2=(－0.394 7，6.164 0).

控制率可由下式給出

如圖5 所示，取 δ=0.02、α11= － λ1s、α12=0、α21=－λ2s和α22=0經過430次的迭代將混沌運動控制在周期-2軌道上.

圖5 將混沌控運動制在周期-2軌道上Fig.5 Control chaos to period-2 orbit

3 結束語

運用改進的OGY方法，在不改變原系統的基礎上，實現了對Lauwerier映射的混沌進行控制.利用線性控制理論中的極點配置方法，選擇控制參數的擾動量，分別將不穩定的周期-1軌道和周期-2軌道控制在穩定的周期-1軌道和周期-2軌道上，結果顯示，選取不同的極點值時，控制時間會不同.參考文獻:

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