雙星運行軌道的研究

李學生

（山東大學物理學院 山東濟南 250100）

雙星運行軌道的研究

李學生

（山東大學物理學院 山東濟南 250100）

文章首先把雙星運動看做二體問題，研究以一個星體為參照系，另一個星體的軌跡為圓錐曲線，以系統的質心為參照系，每一個星體的軌跡也是圓錐曲線，然后提出了行星與恒星之間也是雙星現象，地球與月球之間也是雙星現象，解釋了困擾物理學與天文學多年的行星運行軌道的共面性、公轉的同向性難題，指出了研究行星運行軌道時慣性質量應當用折合質量計算．

雙星現象 折合質量 行星運行軌道的共面性 行星公轉的同向性 萬有引力定律的平權性

1 問題的提出

物理雙星運動屬于二體問題，早在1687年，牛頓發現萬有引力定律后不久，似乎已經徹底解決，但是現代物理學教材中一般只是指明雙星圍繞系統的質心旋轉，沒有說明如果以一個星體為參照系，另一個星體運動軌跡的形狀．現代天文學中雙星軌道擬合業已成為天體測量和天體力學的一個共同的熱點課題，有關研究有了長足的進展，同時也促進了天體物理相應領域的發展．

在二體問題中，由于兩個物體都不是慣性系，如果以一個物體為參照系，另一個物體的慣性質量必須用它們的折合質量（約化質量）μ代替，即其中m和M分別為兩個物體的質量，這樣在非慣性系中就可以利用牛頓第二定律了．但是萬有引力的計算中只能利用物體的實際質量，此時引力質量不等于慣性質量，因此在雙星現象中，如果以其中一個星體為參照系，可利用折合質量代替另一個星體的慣性質量進行計算．

2 運行軌道的計算

我們設星體A和星體B兩個星體的質量分別為M和m，星體A中心所在位置為復平面之原點O，在時刻t，星體B位于點P．即

這里r＝r（t），θ＝θ（t）均是t的函數，分別表示Z（t）的模和輻角．于是星體B的速度為

這是兩個未知函數的二階微分方程組．在確定某一星體B的軌道時，需要加上定解條件．我們設當t＝0時，星體B正處于與星體A距離最遠的位置，而此時位于正實軸上，距原點O為r0，星體B的線速度為v0，那么就有初始條件

式（4）～（9）就是星體B繞星體A運行的軌跡的數學模型．將式（4）乘以r，即得

100的面積等于

顯然，這正是開普勒第二定律：從星體A指向星體B的線段在單位時間內掃過的面積相等．將式（10）改寫后代入式（5）得

于是我們得到了星體B運動形式的較為簡單的數學模型

為求得星體B的軌跡方程，要消去變量t，令

那么式（13）可以寫為這就是星體B的軌跡方程，是一條平面二次曲線．由于星體B繞星體A運行，故必有0＜e＜1，這樣我們得到了開普勒第一定律：星體B的軌道是以星體A為一個焦點的橢圓．

由于r在t＝0時取到最大值r0（星體B與星體A距離最遠的點），而θ＝0，這意味著此時函數cos（-θ0）取到最小值-1，于是就有

從而星體B軌跡的方程為

從上面的推導可以看出在雙星現象中由于以其中一個星體為參照系另一個星體的軌跡都是圓錐曲線，所以兩個星體的軌道共面．

3 星體運行速度的計算

設星體B的運行周期為T，那么利用開普勒第二定律即式（11），有

式（20）左端為星體B軌跡橢圓所圍的面積，記為S，由于橢圓的半長軸

半短軸

從而有

將上式代入式（20），解得

由于星體B的運行滿足開普勒第二定律即式（11），而該式可改寫為

從而可得

如果我們要求t＝T1時相應的θ和r，則意味著首先要解方程

在求出了t＝T1時的θ＝后，立即可以由式（19）得到相應的r，再用式（13）求出此時星體B的角速度繼而得到線速度．

4 以雙星系統的質心為參照系

在忽略了其他對于雙星的作用時，只考慮雙星構成的孤立系統，則質心將做勻速直線運動或靜止．星體B位于P點，星體A位于S點，質量分別是m 和M，質心在C點，星體B距質心為r1，星體A距質心為r2，相距為r，如圖1所示．

圖1

可將質心看作慣性系．在慣性系中，對于行星B應用牛頓第二定律有

所以星體B繞質心做圓錐曲線運動．同理，可以推導出星體A也繞質心做圓錐曲線運動．

5 天文學中的應用

宇宙中的二體問題，如果只考慮萬有引力，同時忽略其他星體的影響，以質心為參照系都是雙星現象，以一個星體為參照系另一個星體的運動軌跡都是圓錐曲線軌道，只有這樣才滿足萬有引力定律的平權性，符合科學的簡單性原則．在研究行星運行軌道時，恒星和行星都不是嚴格的慣性系，以質心為參照系，才可以按照慣性系處理．現代物理學研究太陽系運行時把太陽當做慣性系只是近似成立，其實不完全滿足萬有引力定律的平權性原則，地太系統也應當看做是雙星現象．在經典力學中日心說與地心說都是正確的，與廣義相對論的觀點一致，只不過由于太陽的質量遠大于行星的質量，其他行星的擾動較小，把太陽按照慣性系計算誤差較小，研究行星的運行軌道比較簡單，這也是哥白尼的日心說優于地心說的原因．

在太陽系中由于太陽的質量遠大于所有行星以及其衛星的質量之和，因此每個行星與太陽組成系統的質心與太陽系的質心相距很近，可以近似認為是太陽的質心以太陽系的質心為一個焦點做橢圓運動．由于太陽系中太陽和行星是雙星現象，根據前面的計算可以得出雙星運行的軌道始終共面，因此行星始終也和太陽共面——始終在太陽運行的軌道所在的平面上，這樣就可以解釋為何太陽系中所有行星的運行軌道基本共面這個困擾天文學多年的難題，當然由于每個行星與太陽組成系統的質心不完全重合以及其他行星的擾動等因素，因此行星的運行軌道有一定傾角．從雙星運動的軌跡可以得知，行星的公轉方向與太陽的公轉方向相同，這樣就可以解釋為何行星的公轉方向相同以及大部分行星的公轉方向相同（公轉方向不相同的金星可能時受到太陽系外其他星體碰撞的影響）這個疑難問題，類似地可以理解衛星運動同向性、軌道共面性等問題，有些學者從太陽系的形成過程解釋軌道的共面性，但是無法理解幾乎每一個行星的衛星都具有共面性、同向性的問題，不可能都是巧合．也就是說，行星與它的衛星之間也應當認為是雙星現象，例如盡管地月系統的質心在地球上，但是與地球的質心并不重合，應該是地球的質心繞著地月系統的質心運動，選擇地月系統的質心為參照系才能直接利用經典力學處理，如果以地球為參照系，月球的慣性質量也應當用地球、月球的折合質量計算．類似地以太陽為參照系，地球的慣性質量應當用太陽與地球的折合質量代替，以恒星為參照系，行星的慣性質量與引力質量相等只是近似成立．

1 Einstein A．相對論的意義．北京：科學出版社，1961．16

2 福克B A．空間、時間和引力理論．北京：科學出版社，1965．19

3 Einstein．相對論：相對論的本質．Einstein文集．北京：商務印館，1976．455

Studyon the Orbit of Double- star

Li Xuesheng
（School of Physics，Shandong University，Jinan，Shandong 250100）

the thesis firstlytreats the relative motion of double- star as motion issue of two separate objects．Once taking one star of the double- star as frame of reference，we result in the orbit of the other star is taper curve．If we just take mass center of system as frame of reference，we consequentlyresult in both orbits of the double- star are taper curves．And finally，we arrive at our conclusion that relative motion situation between related planets and star are too in double-star model，even the earth and the moon are double- star too．This of course gives demonstrative answers to issues of coplanarity and uniform orientation of planet revolution orbits around star，which virtually puzzled modern physics and astronomy many years．And of course，it is still necessary to point out herein，when we come to study planet obit，the planet mass in calculation should be the conduplicate mass．

double- star phenomena；equivalent quality；orbit coplanarity of planet；uniform orientation of planet revolution orbit；affirmative law of universal gravitation

2014- 03- 04）