格林互易定理在求解靜電學奧賽題中的應用

王軍杰

（紹興市上虞區豐惠中學 浙江紹興 312361）

金彪

競賽與物理專題研修

格林互易定理在求解靜電學奧賽題中的應用

王軍杰

（紹興市上虞區豐惠中學 浙江紹興 312361）

金彪

介紹了格林互易定理，并應用該定理求解了幾道物理競賽試題，充分展示了用格林互易定理解題的簡捷性．

格林互易定理 電荷量 電勢

在靜電場中，有一組固定的n個導體組成的系統，n個導體上的電荷分別為q1，q2，…，qn，它們的電勢分別為U1，U2，…，Un，若這n個導體的電荷變為q，…，電勢變為，…，則必有

上述結論叫做格林互易定理，其嚴格證明超出了中學物理的范圍，但在求解有關靜電感應的一些中學物理競賽問題時，若應用格林互易定理的方法，則可以起到事半功倍的效果，下面來解答幾個往年競賽真題．

圖1

【例1】（第13屆全國中學生物理競賽預賽第5題）在靜電復印機里，常用如圖1所示的電路來調節A，C兩板間電場強度的大小，從而用來控制復印件的顏色深淺．在操作時，首先對由金屬平板A，B組成的平行板電容器充電．該電容器的B板接地，A與B板間填充有介電常數為ε的電介質，充電后兩板間的電勢差為U．而后，斷開該充電電源，將連接金屬平板C和可調電源E的開關S閉合．這樣，A與C兩板間的電場強度將隨可調電源E的電動勢變化而得以調節．已知C板與A板很近，相互平行，且各板面積相等．A與B板間距離為d1，A與C板間距離為d2，A與C板間空氣的介電常數取為1．試求：當電源E的電動勢為U0時，A與C兩板間某點P處的電場強度．

解析：先求出上下兩電容器的電容．

A，C兩板間的電容為

A，B兩板間的電容為

將變化前的電勢與變化后的電量相乘，變化前的電量與變化后的電勢相乘，由格林互易定理可得

【例2】（第12屆全國中學生物理競賽決賽第3題）如圖2所示，正四面體ABCD各面均為導體，但又彼此絕緣．已知帶電后4個面的靜電勢分別為φ1，φ2，φ3和φ4，求四面體中心O點的電勢φ0．

圖2

解析：由題意，設4個面與中心O的電荷量分別為q1，q2，q3，q4，0，同時，4個面與中心的電勢分別為φ1，φ2，φ3，φ4，φ0．

【例3】（第14屆全國中學生物理競賽決賽第7題）有100塊平行放置的正方形大導體板，每塊邊長均為L，相鄰兩板彼此相對的兩個表面的間距均為d，d?L，將這些導體板從左至右順次編號為1，2，…，100．開始每板上都帶有凈電荷，已知第1塊板上的凈電量為q1（設q1＞0），第n塊板上的凈電量為qn＝nq1，今將第1塊和第100塊導體板接地，如圖3所示．忽略邊緣效應．問：

（1）從第1塊和第100塊導體板上流入大地的電量Δq1和Δq100各為q1的多少倍？

（2）上述兩板接地后哪塊板上的電勢最高？其電勢是多少？

圖3

解析：當第1塊和第100塊導體板接地后，這兩塊板電量發生改變，所有極板的電勢也發生了改變，則可設第1～100塊極板的總電量和電勢分別為（Q1，2q1，3q1，4q1，…，99q1，Q100）及（0，U2，U3，U4，…，U99，0）．

現改變各導體板電量．

將變化后的電勢與電量和題給條件的電勢與電量結合，由格林互易定理可得

（浙江省春暉中學 浙江紹興 312353）

2014- 04- 03）