運用類比方法進行多題歸一的習題教學

葉海娟 褚云杰

（嘉興市第五高級中學 浙江嘉興 314000）

運用類比方法進行多題歸一的習題教學

葉海娟 褚云杰

（嘉興市第五高級中學 浙江嘉興 314000）

物理習題教學是高中物理教學中的重要環節之一，是教學效果反饋的重要渠道．本文嘗試在培養學生聚合性思維的基礎上，利用現象類比、模型類比、協變類比等類比方法，通過多題歸一的習題教學，使習題教學達到觸類旁通、舉一反三的效果，從而提高習題教學的有效性．

高中物理 習題教學 類比方法

1 問題的提出

眾所周知，習題教學是高中物理的重要組成部分．習題教學有助于學生鞏固、加深對物理概念、規律的理解和掌握．然而學生往往總是大量、重復性地進行習題練習，而不重視習題的典型性、啟發性和針對性．為了解決習題教學的碎片化問題，我們可以嘗試從習題類比的角度出發，幫助學生發現多題之間的共同特征，并做出描述；關注差別，研究這類問題大致的幾種類型；深入討論這類問題的本質，形成可操作的解題模式；反思這類問題所蘊藏的思想方法．從而使學生變注重解題的數量為注重解題的質量和解題后的反思，力求做到吃透一道題，掌握一類題，悟出一些方法．讓學生從題海中解放出來．

2 理論基礎

所謂類比法，是根據兩個類比對象的某些相同或相似之處來推斷它們在其他方面也存在相同或相似之處，從而推斷它們在其他方面也存在相同或相似規律的一種思維方法，是從特殊到特殊（從個別到個別），從一般到一般的推理方法．

多題歸一的方法，中外教育家都提倡．美國心理學家賈德認為，概括出一般原理容易遷移，而學生從教師那學會例題，到自己解題正是一個遷移的過程．多題歸一就是要從做過的許多題目中概括出一般原理來，這樣就容易遷移，容易應用．在習題教學中嘗試在現象類比、模型類比、協變類比等方法的基礎上，尋求對“型異質同”或“型近質同”的問題的歸類，抓住共同的本質特征，掌握解決問題的規律，就能觸類旁通、舉三反一．

3 實施策略

3．1 現象類比提供的多題歸一

現象類比是用類比法研究物理問題的第一步，就是用類比方法從兩種物理現象中找出某種聯系，找出共同特點，從而找出解決問題的共同方法或相似的方法．

【例1】人用繩子通過定滑輪拉物體A，A穿在光滑的豎直桿上，當以速度v0勻速地拉繩使物體A到達如圖1所示位置時，繩與豎直桿的夾角為θ，則物體A實際運動的速度是

圖1

圖2

解析：由運動的合成與分解可知，物體A參與兩個分運動，一個是沿著與它相連接的繩子的運動，另一個是垂直于繩子向上的運動．而物體A實際運動軌跡是沿著豎直桿向上的，這一軌跡所對應的運動就是物體A的合運動，它們之間的關系如圖2所示．由三角函數可得所以選項D是正確的．

類比擴展：有許多問題涉及的速度的效果，可與該例題相類比．

類比1：（2011年高考上海卷）如圖3所示，人沿平直的河岸以速度v行走，且通過不可伸長的繩拖船，船沿繩的方向行進，此過程中繩始終與水面平行．當繩與河岸的夾角為α時，船的速率為

圖3

類比2：如圖4所示，已知h＝2 m．小船以v＝4 m/s的速度勻速向左運動，并拉動岸上的車，當船經圖中的A點時，繩與水平方向的夾角為θ＝60°，當船經過圖中B點時，繩子與水平方向的夾角θ·＝30°，求該過程車的速度變化了多少．

圖4

類比3：如圖5所示，一輕桿兩端分別固定質量為mA和mB的兩個小球A和B（可視為質點）．將其放在一個直角形光滑槽中，已知當輕桿與槽左壁成α角時，A球沿槽下滑的速度為vA，求此時B球的速度vB．

圖5

總結提升：上述問題都是關于動點牽連速度的問題．其中動點相對于固定參考系的運動稱為絕對速度，根據速度矢量的分解，可以把絕對速度分解為相對速度（動點相對于運動參考系的速度）和牽連速度（運動參考系相對于靜止參考系的速度）．所以解決問題的核心在于正確對速度進行分解．具體來講就是分解為一個是沿著與它相連接的繩子（桿）的速度，另一個是垂直于繩子（桿）的速度．再利用沿著繩（桿）的速度大小相等這一約束條件，就可以很快捷地解決問題了（圖6～8所示為類比1～3的速度分解示意圖）．通過現象類比，我們在不同的物理現象中尋找出了相同的原理和共同的規律，培養了學生透過物理現象尋找物理本質的能力．

圖6

圖7

圖8

3．2 模型類比提供多題歸一

如果能從兩個物理問題對應的物理模型中所具有的一些明顯相同的特性出發，經過類比，推斷出它們具有更多相同的特性，這就是模型類比．模型類比是將事物的本質屬性進行類比，是更高層次的類比．

【例2】電流的微觀表達式的推導．如圖9所示，AD表示粗細均勻的一段導體，長為l，兩端加一定的電壓，導體中的自由電荷沿導體定向移動的速率為v．設導體的橫截面積為S，導體每單位體積內的自由電荷數為n，每個自由電荷的電荷量為q．

圖9

解析：假設AD導體中的自由電荷總數為N＝nl S，總電荷量Q＝Nq＝nl Sq．

所有這些電荷都通過橫截面D所需要的時間

根據公式q＝It可得導體AD中的電流為

類比擴展：有許多問題的模型可與例題相類比．

類比5：水力采煤就是利用從高壓水槍噴出來的強力水柱沖擊煤層而使煤層破裂．設所用水槍的直徑為d，水速為v0，水的密度為ρ，水柱垂直地沖擊到豎直煤壁上后沿豎直煤壁流下，求水柱施于煤層上的沖力大小．

類比6：風能是一種清潔能源，高原地區可利用風能發電．某地的平均風速是5．0 m/s，已知空氣的密度是1．2 kg/m3，此地有一風車，它的車葉轉動時形成半徑為20 m的圓面，假如這個風車能將此圓圈內10%的氣流動能轉變成電能，這個風車平均每秒內發出的電能是多少？

總結提升：上述問題表面上看各不相同，但從實質上看，這幾個問題都是屬于圓柱體模型的應用．圓柱體模型是運用在當物質或物理量隨時間或空間連續分布時，要求出這個物理量，往往可以截取一段圓柱體進行研究，通過對這段圓柱體的研究探求整個物體的情況，當物質隨時間空間連續變化時，就可以利用圓柱體模型求解相應的物理量．對類比4～6的解析如下．

解析類比4：把每一次輸送的血液簡化為圓柱體模型，輸送位移為圓柱體的長度為L，則平均功率可表達為

解析類比5：水流是由水質點組成的連續體，在時間t內射出的水量（即噴向煤層的水量）等于包含在以D為直徑、長l＝vt的直圓柱內的水量，即

再由牛頓第二定律可知水對煤層的平均沖力為

解析類比6：設S為與空氣流動方向垂直的車葉轉動時形成的圓面，在單位時間內穿過風車的動能

通過模型類比，我們一方面幫助了學生提高建立物理模型的能力，另一方面也有助于發展聯想思維，培養學生的推理能力和創造能力．

3．3 協變類比提供多題歸一

協變類比也稱數學相似類比，是根據兩個對象可能具有屬性之間的某種協變關系（定量的函數關系）進行的類比推理．也就是說，兩個對象有若干屬性相同或相似，并且在兩者數學方程式相同或相似的情況下，推論在其他方面的屬性也相同或相似．

【例3】如圖10所示，在水平地面上有一段光滑圓弧形槽，弧的半徑是R，所對圓心角小于10°，現在圓弧的右側邊緣M處放一個小球A，在圓弧的最低點O的正上方h處由靜止釋放小球B，讓其自由下落，同時A球從圓弧右側由靜止釋放，欲使A，B兩球在圓弧最低點O處相遇，則B球下落的高度h是多少？

圖10

類比擴展：有許多問題的數學模型可與例題相類比．

類比7：如果把地球看成一個半徑為R，密度均勻的圓球體，其質量為M，并設想正對南、北極打一通道（圖11）．一個質點為m的小球在北極洞口無初速度的落入洞內，試分析小球落入洞內后的運動，算出小球運動至南極洞口的時間．

圖11

類比8：一個氣缸平臥在水平地面上，其活塞質量為m，截面積為S．已知外界大氣壓為p0．開始時活塞在離缸底l的位置上，如圖12所示．現使活塞稍向外移Δx（Δx?l），假定缸內氣體溫度不變，試分析活塞的運動并算出第一次回到開始位置的時間．

圖12

類比9：在光滑絕緣水平桌面上相距2a的A，B兩點，各固定一個電量均為Q的帶正電荷的小球，在A，B連線的中點放一個可自由移動、帶同種電荷的小球C，帶電量為q，質量為m，如圖13所示．現使小球C沿A，B連線稍向A移動一段距離x（x?a），然后輕輕釋放，試分析小球C的運動并算出它第一次回到中點的時間．

總結提升：上述的問題從表面上看類型完全不同，有的是力學表象，有的是電學表象，還有的是熱學表象．但我們通過數學的推導發現，在這些表象之下，隱藏著共同的數學規律（或者說協變關系），類比7～9解析如下．

解析類比7：當小球落入洞內經某段時間后位于距球心x處，此時小球受到的引力為

它的方向始終指向地心，與小球離開球心的位移x相反．考慮到Fx與x的方向關系后，上式可寫成

這就是說，小球落進地洞后，在變化著的地球引力作用下將沿通道做簡諧運動．即小球從北極洞口落到南極洞口的時間恰為半周期，即

解析類比8：當活塞外移過程中，缸內氣體發生的是等溫變化，根據玻意耳定律，有

上式表示，活塞從平衡位置稍稍外移，釋放后作用在活塞上的力與它偏離平衡位置的位移成正比，且其方向指向平衡位置與位移方向相反，于是，這個作用力便可表達為F＝-κΔx．這就是說，活塞偏離平衡位置釋放后將做簡諧運動．

解析類比9：小球C偏向A球時，A對C的斥力大于B對C的斥力，小球C所受合力為

這個力的方向與小球C偏離平衡位置的位移x的方向相反，始終指向平衡位置，所以，上式可改寫成

所以通過上述類比，一方面我們對于簡諧運動的認識更進了一步，不僅僅局限在彈簧振子和單擺這兩種情況下，對于簡諧運動的數學本質有了更加清晰的認識，更重要的是，這也提供了一種解決問題的方法：從數學模型的角度去考察物理模型，從而理解物理模型的本質特征．

4 結束語

多題歸一不僅是一種學習方式，也是一種課堂教學形式，是教與學的方法和策略，通過多題歸一的訓練，使學生達到對新知識認識的全面性；同時還要重視反思和系統化，引導學生回顧物理結論概括的整個思維過程，使新知識與已有認知結構中的相關知識建立橫向聯系，并概括出帶有普遍性的規律，使學生對所學知識形成模塊，實現正遷移，培養學生思維的概括性，提高其解決問題的能力．

2014- 05- 27）