觀察法在高等數學教學中的應用

薛利敏

（渭南師范學院數學與信息科學學院，陜西渭南 714099）

觀察法在高等數學教學中的應用

薛利敏

（渭南師范學院數學與信息科學學院，陜西渭南 714099）

觀察就是仔細察看.觀察是進行科學研究的出發點，是一切發明創造的源泉.文章通過實例從順序觀察法、解剖觀察法、對比觀察法、重點觀察法和全面觀察法等幾個方面介紹了觀察法在高等數學教學中的應用，闡明了在高等數學教學中如何培養學生的觀察能力.

觀察；觀察法；觀察能力；高等數學教學

1 觀察法及其功能

1.1 觀察法的概念

觀察，從字面上講，“觀”是“看”的意思，“察”是“仔細看”的意思.因此，觀察就是仔細察看［1］.

在心理學中，觀察被看作是一種有目的、有計劃、有步驟的感知活動，是一種主動的、對思維起積極作用的感知活動.從方法論上來說，觀察是人們通過感官，或借助于一定的科學儀器，對客觀對象（數學對象、自然現象、社會現象等）在自然條件下，進行有目的、有計劃、有步驟地考察和描述的一種方法［2］.

可見，觀察是認識主體通過感官對客體的認識過程.所謂觀察法就是認識主體通過感官對客體仔細察看，獲得信息，經過分析推理去偽存真，找出規律，歸納猜測，得出結論，導致發現的一種方法.

1.2 觀察法的功能

俄國著名的心理學家巴甫洛夫指出：“應當先學會觀察.不學會觀察，就永遠當不了科學家.”物理學家法拉第說過：“沒有觀察就沒有科學，科學的發現誕生于仔細的觀察中，觀察是我們研究問題的出發點.”［2］1665年夏天，偉大的物理學家、數學家牛頓躺在蘋果園里，觀察蘋果熟了之后，就會從樹上掉下來，而不會飛向天空，從而得出地球具有萬有引力的結論.法國數學家之所以能神速地算出1+2+3+…+100= 5 050，首先是因為他觀察到這個算術題的特點，發現了1，2，3，…與100，99，98，…之間某種和諧的對應關系，即1+100=2+99=3+98=…=50+51=101，并且這樣的數總共有50對，因此他很容易就得到了答案5 050.很多數學事實，都是先由觀察發現的，正如法國著名數學家歐拉所說：“今天人們所知道的數的性質，幾乎都是由觀察發現的，并且早在用嚴格論證確認其真實性之前就被發現了，甚至到現在還有許多關于數的性質是我們所熟悉而不能證明的，只是觀察才使我們知道這些性質.”［3］事實上，哥德巴赫就是通過對數的觀察提出了著名的哥德巴赫猜想.

科學研究離不開觀察，同樣，日常生活也離不開觀察.觀察是人們對事物作出正確判斷的前提.中醫診病的方法是：望、聞、問、切，望即觀察，它是診病的第一關鍵，通過觀察病人的氣色及病的程度和部位等形成第一感覺，為判斷病情建立感性認識和客觀依據.成語“胸有成竹”就是觀察的結果.寓言故事“黔之驢”講的就是老虎對驢子這個龐然大物，通過仔細觀察，發現驢子好像沒有什么特殊的本領，老虎基本掌握了驢子的特性，經過與驢子的博弈之后，咬斷驢的喉嚨，將它殺死，這充分說明了觀察的重要性.如果老虎不去仔細觀察驢子這個龐然大物，那么老虎可能就會遠離驢子而去，而吃不到驢肉.

觀察是科學認識的重要源泉，是獲得感性認識的基本途徑，觀察可以誘導理論發現與技術發明，觀察是檢驗科學理論的重要方法.

2 觀察法在高等數學教學中的應用

高等數學是理、工、農、經、管等專業必修的一門重要的專業基礎課程，其內容豐富、方法眾多、思想性強，有許多概念和理論是比較抽象的，從而增加了學生學習高等數學的難度和枯燥程度.如何使得這些抽象的、枯燥的理論能讓學生更容易理解和接受，使死的東西變成鮮活的知識，這是教師必須考慮的問題.教材只是記錄了科學家發現的結果，很少涉及發現的過程，如果我們能觀察教材、分析教材，創造性地按照知識發現過程來進行高等數學教學的話，無疑能激發學生的學習興趣，使學生快樂地參與到高等數學的教學中來.結合教學實踐，本文擬從以下幾個方面介紹在高等數學教學中如何應用觀察法，以及如何培養學生的觀察能力.

2.1 順序觀察法

所謂順序觀察法，就是對觀察客體選擇不同的方向、不同的起點，按順序條理分明地進行觀察，從而作出準確判斷.通常觀察的順序是從上到下、從前到后、從左到右、從外到內、從一階到高階、從一次到高次等等.

例1［4］設y=sinx，求y（n）.

分析 因為沒有直接求函數高階導數的求導法則，更何況是求不確定的n階導數，解決這類問題，只有按照順序觀察其一階導數、二階導數直至高階導數，從中找出規律，進而寫出n階導數的通項公式.

例2 將復合函數y=esin21x分解成基本初等函數.

分析 這類問題是從外到內進行觀察分析.

2.2 解剖觀察法

一個整體通常是由部分組成的.我們將一個整體分割成部分來進行觀察，通過觀察各部分而得出整體的結果，這就是解剖觀察法.如計算圓錐體的表面積，我們將其分割為底面和側面兩部分進行觀察，通過解剖觀察后得出，圓錐體的表面特征：底面圓和側面展開成一個扇形，從而可以算出圓錐體的表面積.

2.3 對比觀察法

對比觀察法就是將兩個或若干個相關聯的事物對照比較，進行觀察分析，從中發現它們的共性特征或本質區別，以獲得清晰的概念或結論.

在介紹用導數判別函數的增減性時，我們首先將一個單調增加的函數y=f（x）和一個單調減少的函數y=g（x）進行對比觀察，發現單調增加的函數其導數f′（x）≥0，相反，單調減少的函數其導數g′（x）≤0.由此，我們得出了函數單調性的必要條件以及判別函數單調性的充分條件這兩個非常重要的結論.

再如，我們在研究函數的凹凸性時，將凹弧和凸弧放在一起加以對比觀察，發現凹弧的切線位于其弧的下方，凸弧的切線位于其弧的上方這樣兩個鮮明的不同結論，由此我們引入了曲線凹凸的概念.

2.4 重點觀察法

重點觀察法就是在全面觀察事物的基礎上，對能反映事物本質特性的一個或幾個關鍵部分作出特別仔細的觀察，找出解決問題的途徑.

2.5 全面觀察法

全面觀察法就是觀察事物的全貌，觀察事物的組成部分及各部分之間的相互關系及內在聯系，進行整體分析得出結論.

通過以上證明，我們又不難發現，對m＞0的任意實數極限都能成立.

3 結語

還有許多觀察法我們沒有涉及到，因為實踐中沒有必要說明是什么具體的觀察法，只要能解決實際問題就行.當然，通過觀察我們只能得出一個感性認識，這個認識是否正確，必須加以證明.有時可能提出錯誤的猜測.

分析 如果我們按照例3中的方法來分析的話，因為數列是n個小于1的數的乘積，因此，我們猜測，當n→∞時，極限為0.事實上，這個猜測是錯誤的.

這是為什么呢？因為雖然兩個數列都是n個小于1的數的乘積，但它們有本質的區別.

雖然這3個數列都是無數個小于1的因數的乘積，但它們的極限卻大不相同.

在觀察的同時，應伴有分析推理和歸納猜測.觀察主體觀察得越仔細、經驗越豐富、分析推理得越合理，則歸納猜測的結論越正確.

觀察是培養能力和發展智力的重要途徑.在傳授知識的同時，重視培養學生的觀察能力，運用多種手段和題材，激發學生觀察興趣，通過教學使學生掌握正確的觀察方法，獲得良好的觀察能力，逐步培養學生主動觀察、善于觀察的習慣，提高學生學習數學的能力，學會從數學角度去觀察世界和認識世界.

［1］中國社會科學院語言研究所詞典編輯室.現代漢語詞典［K］.北京：商務印書館，2003.132，463.

［2］張雄，李得虎.數學方法論與解題研究［M］.北京：高等教育出版社，2003.18-25.

［3］魏國新，郭興進.觀察、歸納和演繹在啟發式數學教學中的作用［J］.中國西部科技，2010，（20）：69-70.

［4］辛小龍.高等數學［M］.西安：西北大學出版社，2011.91.

［5］華東師范大學數學系.數學分析［M］.北京：高等教育出版社，2011.34.

［6］陳文燈，吳振奎，黃惠青.高等數學解題方法和技巧［M］.北京：中國財政經濟出版社，2004.24.

［7］陳文燈，黃先開.考研數學復習指南［M］.北京：世界圖書出版公司，2010.36.

【責任編輯 牛懷崗】

Observation Method in Practice and Cognition of Teaching Advanced Mathematics

XUE Li-min
（School of Mathematics and Information Science，Weinan Normal University，Weinan 714099，China）

Observation is carefully checked.Observation is the starting point of scientific research and the source of all inventions.The several aspects of examples which are sequential observation method，anatomical observation method，comparative observation method，emphasis observation method and comprehensive observation method are introduced the application in teaching of observation method and clarified how to cultivate the observation ability of students in Advanced Mathematics.

observation；observation method；observation ability；Advanced Mathematics teaching

G642

A

1009-5128（2014）19-0009-05

2014-06-20

渭南師范學院教育教學改革研究重點項目：高等數學精品教材建設的研究與實踐（JG201314）

薛利敏（1960—），男，陜西韓城人，渭南師范學院數學與信息科學學院教授，主要從事基礎數學與運籌學研究.