淺析反函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用

王兆友

反函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，由這個(gè)知識(shí)點(diǎn)所設(shè)計(jì)的考題經(jīng)常出現(xiàn)在各級(jí)各類(lèi)的選拔性考試試卷中.為使同學(xué)們能比較深刻地理解反函數(shù)的概念和性質(zhì)，本文分類(lèi)闡述有關(guān)性質(zhì)，并舉例說(shuō)明其應(yīng)用，供參考.

一、定義域與值域

反函數(shù)的定義域和值域分別是原函數(shù)的值域和定義域.

例1設(shè)f（x）=4x-2x+1（x≥0），則f-1（0）=.

分析因反函數(shù)的定義域即為原函數(shù)的值域，故有4x-2x+1=0，即22x=2x+1，得x=1，于是f -1（0）=1，應(yīng)填入1.

例2單調(diào)增函數(shù)f（x）滿足f（ax+3）=x（a>0），若f（x）的反函數(shù)f -1（x）的定義域?yàn)閇11a，41a]，則f（x）的定義域?yàn)?

分析令ax+3=t， 則x=11a（t-3），即f（x）=11a（x-3）.因?yàn)榉春瘮?shù)的定義域即為原函數(shù)的值域，故有11a≤11a（x-3）≤41a，又a>0，則4≤x≤7，于是f（x）的定義域?yàn)閇4，7]，應(yīng)填入[4，7].

二、原象與象

若函數(shù)f（x）存在反函數(shù)f-1（x），則有f（a）=bf-1（b）=a，因而有f[f -1（x）]=x，x屬于值域；f -1[f（x）]=x，x屬于定義域.

例3已知函數(shù)f（x）=112（2x-2-x）的反函數(shù)為f -1（x），則不等式f -1（x）>1的解集為.

分析由于f（x）為增函數(shù)，則有f[f -1（x）]>f（1），即x>f（1）=112（2-112）=314，故所求解集為{x|x>314}，即應(yīng)填入{x|x>314}.

例4設(shè)函數(shù)f（x）=1-2x11+x的反函數(shù)為h（x），又函數(shù)g（x）與h（x+1）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，那么g（2）的值為（ ）.

A.-1 B.-2C.-415 D.-215

分析易知g（x）與h（x+1）互為反函數(shù)，設(shè)y=h（x+1），由于h（x）=f -1（x），則f（y）=f[h（x+1）]=f[f -1（x+1）]=x+1，所以 x=f（y）-1.互換x，y得 y=f（x）-1，即 g（x）=f（x）-1所以g（2）=f（2）-1=-2，應(yīng)選B.

三、單調(diào)性與奇偶性

單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)仍為單調(diào)函數(shù)，且與原函數(shù)單調(diào)性相同.奇函數(shù)若存在反函數(shù)，則它的反函數(shù)也是奇函數(shù).

例5函數(shù)y=112（ex-e-x）的反函數(shù)是（ ）.

A.奇函數(shù)，它在（0，+∞）上是減函數(shù)

B.偶函數(shù)，它在（0，+∞）上是減函數(shù)

C.奇函數(shù)，它在（0，+∞）上是增函數(shù)

D.偶函數(shù)，它在（0，+∞）上是增函數(shù)

分析設(shè)y=f（x）， 則f（-x）=112（e-x-ex）=-f（x），即y=f（x）是奇函數(shù)，且易知y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)且函數(shù)值y∈（0，+∞）. 則反函數(shù)f -1（x）既是奇函數(shù)又是單調(diào)增函數(shù)，故選（C）.

四、對(duì)稱(chēng)性

在同一直角坐標(biāo)系中，互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng).若點(diǎn)（a，b）在y=f（x）圖象上，則（b，a）在y=f -1（x）圖象上.

例6若點(diǎn)（1，2）在函數(shù)y=ax+b的圖象上，又在它的反函數(shù)的圖象上，求a，b的值.

分析由點(diǎn)（1，2）在函數(shù)y=ax+b的圖象上得2=a+b.又在它的反函數(shù)圖象上，則（2，1）在函數(shù)y=ax+b的圖象上，得1=2a+b.二式聯(lián)立解得a=-3，b=7即為所求.

例7設(shè)a>0，且函數(shù)f（x）=bx+c12ax+1的反函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（-1，2），則關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0（ ）.

A.有兩個(gè)不等的實(shí)根B.有兩個(gè)相等實(shí)根

C.無(wú)實(shí)根 D.上述三種都有可能

分析由對(duì)稱(chēng)性知（2，-1）在f（x）的圖象上，則-1=2b+c14a+1，即4a+2b+c=-1，則 y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)（2，-1）.又a>0，拋物線開(kāi)口向上，故方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不等實(shí)根，即選（A）.

五、交點(diǎn)問(wèn)題

同一坐標(biāo)系內(nèi)若函數(shù)y=f（x）的圖象與其反函數(shù)y=f -1（x）的圖象有交點(diǎn)，則交點(diǎn)必在直線y=x上.

例8若函數(shù)y=x-a（x≥a）的圖象與其反函數(shù)的圖象有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

分析根據(jù)性質(zhì)，知函數(shù)y=x-a的圖象必與直線y=x相交，二式聯(lián)立得x=x-a，因?yàn)閤≥a，所以x2-x+a=0.依題意，此方程有實(shí)根，則Δ=1-4a≥0，所以a≤114，應(yīng)填上（-∞，114）.

例9設(shè)k>1，f（x）=k（x-1）（x∈R）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交于A點(diǎn)，它的反函數(shù)y=f -1（x）的圖象與y軸交于B點(diǎn)，并且這兩個(gè)函數(shù)圖象交于P點(diǎn)，已知四邊形OAPB的面積是3，則k等于（ ）.

A.3 B.312 C.413 D.615

分析由題設(shè)易知A（1，0），再由對(duì)稱(chēng)性知B（0，1），又P為互為反函數(shù)圖象的交點(diǎn)，則可設(shè)P（a，a），則S四邊形OPAB=2S△OAP=2·112|OA|·|a|=|a|，所以|a|=3，a±3.又點(diǎn)P在f（x）的圖象上，所以±3=k（±3-1），所以k=312或k=314，又k>1，故應(yīng)選B.

反函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，由這個(gè)知識(shí)點(diǎn)所設(shè)計(jì)的考題經(jīng)常出現(xiàn)在各級(jí)各類(lèi)的選拔性考試試卷中.為使同學(xué)們能比較深刻地理解反函數(shù)的概念和性質(zhì)，本文分類(lèi)闡述有關(guān)性質(zhì)，并舉例說(shuō)明其應(yīng)用，供參考.

一、定義域與值域

反函數(shù)的定義域和值域分別是原函數(shù)的值域和定義域.

例1設(shè)f（x）=4x-2x+1（x≥0），則f-1（0）=.

分析因反函數(shù)的定義域即為原函數(shù)的值域，故有4x-2x+1=0，即22x=2x+1，得x=1，于是f -1（0）=1，應(yīng)填入1.

例2單調(diào)增函數(shù)f（x）滿足f（ax+3）=x（a>0），若f（x）的反函數(shù)f -1（x）的定義域?yàn)閇11a，41a]，則f（x）的定義域?yàn)?

分析令ax+3=t， 則x=11a（t-3），即f（x）=11a（x-3）.因?yàn)榉春瘮?shù)的定義域即為原函數(shù)的值域，故有11a≤11a（x-3）≤41a，又a>0，則4≤x≤7，于是f（x）的定義域?yàn)閇4，7]，應(yīng)填入[4，7].

二、原象與象

若函數(shù)f（x）存在反函數(shù)f-1（x），則有f（a）=bf-1（b）=a，因而有f[f -1（x）]=x，x屬于值域；f -1[f（x）]=x，x屬于定義域.

例3已知函數(shù)f（x）=112（2x-2-x）的反函數(shù)為f -1（x），則不等式f -1（x）>1的解集為.

分析由于f（x）為增函數(shù)，則有f[f -1（x）]>f（1），即x>f（1）=112（2-112）=314，故所求解集為{x|x>314}，即應(yīng)填入{x|x>314}.

例4設(shè)函數(shù)f（x）=1-2x11+x的反函數(shù)為h（x），又函數(shù)g（x）與h（x+1）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，那么g（2）的值為（ ）.

A.-1 B.-2C.-415 D.-215

分析易知g（x）與h（x+1）互為反函數(shù)，設(shè)y=h（x+1），由于h（x）=f -1（x），則f（y）=f[h（x+1）]=f[f -1（x+1）]=x+1，所以 x=f（y）-1.互換x，y得 y=f（x）-1，即 g（x）=f（x）-1所以g（2）=f（2）-1=-2，應(yīng)選B.

三、單調(diào)性與奇偶性

單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)仍為單調(diào)函數(shù)，且與原函數(shù)單調(diào)性相同.奇函數(shù)若存在反函數(shù)，則它的反函數(shù)也是奇函數(shù).

例5函數(shù)y=112（ex-e-x）的反函數(shù)是（ ）.

A.奇函數(shù)，它在（0，+∞）上是減函數(shù)

B.偶函數(shù)，它在（0，+∞）上是減函數(shù)

C.奇函數(shù)，它在（0，+∞）上是增函數(shù)

D.偶函數(shù)，它在（0，+∞）上是增函數(shù)

分析設(shè)y=f（x）， 則f（-x）=112（e-x-ex）=-f（x），即y=f（x）是奇函數(shù)，且易知y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)且函數(shù)值y∈（0，+∞）. 則反函數(shù)f -1（x）既是奇函數(shù)又是單調(diào)增函數(shù)，故選（C）.

四、對(duì)稱(chēng)性

在同一直角坐標(biāo)系中，互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng).若點(diǎn)（a，b）在y=f（x）圖象上，則（b，a）在y=f -1（x）圖象上.

例6若點(diǎn)（1，2）在函數(shù)y=ax+b的圖象上，又在它的反函數(shù)的圖象上，求a，b的值.

分析由點(diǎn)（1，2）在函數(shù)y=ax+b的圖象上得2=a+b.又在它的反函數(shù)圖象上，則（2，1）在函數(shù)y=ax+b的圖象上，得1=2a+b.二式聯(lián)立解得a=-3，b=7即為所求.

例7設(shè)a>0，且函數(shù)f（x）=bx+c12ax+1的反函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（-1，2），則關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0（ ）.

A.有兩個(gè)不等的實(shí)根B.有兩個(gè)相等實(shí)根

C.無(wú)實(shí)根 D.上述三種都有可能

分析由對(duì)稱(chēng)性知（2，-1）在f（x）的圖象上，則-1=2b+c14a+1，即4a+2b+c=-1，則 y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)（2，-1）.又a>0，拋物線開(kāi)口向上，故方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不等實(shí)根，即選（A）.

五、交點(diǎn)問(wèn)題

同一坐標(biāo)系內(nèi)若函數(shù)y=f（x）的圖象與其反函數(shù)y=f -1（x）的圖象有交點(diǎn)，則交點(diǎn)必在直線y=x上.

例8若函數(shù)y=x-a（x≥a）的圖象與其反函數(shù)的圖象有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

分析根據(jù)性質(zhì)，知函數(shù)y=x-a的圖象必與直線y=x相交，二式聯(lián)立得x=x-a，因?yàn)閤≥a，所以x2-x+a=0.依題意，此方程有實(shí)根，則Δ=1-4a≥0，所以a≤114，應(yīng)填上（-∞，114）.

例9設(shè)k>1，f（x）=k（x-1）（x∈R）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交于A點(diǎn)，它的反函數(shù)y=f -1（x）的圖象與y軸交于B點(diǎn)，并且這兩個(gè)函數(shù)圖象交于P點(diǎn)，已知四邊形OAPB的面積是3，則k等于（ ）.

A.3 B.312 C.413 D.615

分析由題設(shè)易知A（1，0），再由對(duì)稱(chēng)性知B（0，1），又P為互為反函數(shù)圖象的交點(diǎn)，則可設(shè)P（a，a），則S四邊形OPAB=2S△OAP=2·112|OA|·|a|=|a|，所以|a|=3，a±3.又點(diǎn)P在f（x）的圖象上，所以±3=k（±3-1），所以k=312或k=314，又k>1，故應(yīng)選B.

反函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，由這個(gè)知識(shí)點(diǎn)所設(shè)計(jì)的考題經(jīng)常出現(xiàn)在各級(jí)各類(lèi)的選拔性考試試卷中.為使同學(xué)們能比較深刻地理解反函數(shù)的概念和性質(zhì)，本文分類(lèi)闡述有關(guān)性質(zhì)，并舉例說(shuō)明其應(yīng)用，供參考.

一、定義域與值域

反函數(shù)的定義域和值域分別是原函數(shù)的值域和定義域.

例1設(shè)f（x）=4x-2x+1（x≥0），則f-1（0）=.

分析因反函數(shù)的定義域即為原函數(shù)的值域，故有4x-2x+1=0，即22x=2x+1，得x=1，于是f -1（0）=1，應(yīng)填入1.

例2單調(diào)增函數(shù)f（x）滿足f（ax+3）=x（a>0），若f（x）的反函數(shù)f -1（x）的定義域?yàn)閇11a，41a]，則f（x）的定義域?yàn)?

分析令ax+3=t， 則x=11a（t-3），即f（x）=11a（x-3）.因?yàn)榉春瘮?shù)的定義域即為原函數(shù)的值域，故有11a≤11a（x-3）≤41a，又a>0，則4≤x≤7，于是f（x）的定義域?yàn)閇4，7]，應(yīng)填入[4，7].

二、原象與象

若函數(shù)f（x）存在反函數(shù)f-1（x），則有f（a）=bf-1（b）=a，因而有f[f -1（x）]=x，x屬于值域；f -1[f（x）]=x，x屬于定義域.

例3已知函數(shù)f（x）=112（2x-2-x）的反函數(shù)為f -1（x），則不等式f -1（x）>1的解集為.

分析由于f（x）為增函數(shù)，則有f[f -1（x）]>f（1），即x>f（1）=112（2-112）=314，故所求解集為{x|x>314}，即應(yīng)填入{x|x>314}.

例4設(shè)函數(shù)f（x）=1-2x11+x的反函數(shù)為h（x），又函數(shù)g（x）與h（x+1）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，那么g（2）的值為（ ）.

A.-1 B.-2C.-415 D.-215

分析易知g（x）與h（x+1）互為反函數(shù)，設(shè)y=h（x+1），由于h（x）=f -1（x），則f（y）=f[h（x+1）]=f[f -1（x+1）]=x+1，所以 x=f（y）-1.互換x，y得 y=f（x）-1，即 g（x）=f（x）-1所以g（2）=f（2）-1=-2，應(yīng)選B.

三、單調(diào)性與奇偶性

單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)仍為單調(diào)函數(shù)，且與原函數(shù)單調(diào)性相同.奇函數(shù)若存在反函數(shù)，則它的反函數(shù)也是奇函數(shù).

例5函數(shù)y=112（ex-e-x）的反函數(shù)是（ ）.

A.奇函數(shù)，它在（0，+∞）上是減函數(shù)

B.偶函數(shù)，它在（0，+∞）上是減函數(shù)

C.奇函數(shù)，它在（0，+∞）上是增函數(shù)

D.偶函數(shù)，它在（0，+∞）上是增函數(shù)

分析設(shè)y=f（x）， 則f（-x）=112（e-x-ex）=-f（x），即y=f（x）是奇函數(shù)，且易知y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)且函數(shù)值y∈（0，+∞）. 則反函數(shù)f -1（x）既是奇函數(shù)又是單調(diào)增函數(shù)，故選（C）.

四、對(duì)稱(chēng)性

在同一直角坐標(biāo)系中，互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng).若點(diǎn)（a，b）在y=f（x）圖象上，則（b，a）在y=f -1（x）圖象上.

例6若點(diǎn)（1，2）在函數(shù)y=ax+b的圖象上，又在它的反函數(shù)的圖象上，求a，b的值.

分析由點(diǎn)（1，2）在函數(shù)y=ax+b的圖象上得2=a+b.又在它的反函數(shù)圖象上，則（2，1）在函數(shù)y=ax+b的圖象上，得1=2a+b.二式聯(lián)立解得a=-3，b=7即為所求.

例7設(shè)a>0，且函數(shù)f（x）=bx+c12ax+1的反函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（-1，2），則關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0（ ）.

A.有兩個(gè)不等的實(shí)根B.有兩個(gè)相等實(shí)根

C.無(wú)實(shí)根 D.上述三種都有可能

分析由對(duì)稱(chēng)性知（2，-1）在f（x）的圖象上，則-1=2b+c14a+1，即4a+2b+c=-1，則 y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)（2，-1）.又a>0，拋物線開(kāi)口向上，故方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不等實(shí)根，即選（A）.

五、交點(diǎn)問(wèn)題

同一坐標(biāo)系內(nèi)若函數(shù)y=f（x）的圖象與其反函數(shù)y=f -1（x）的圖象有交點(diǎn)，則交點(diǎn)必在直線y=x上.

例8若函數(shù)y=x-a（x≥a）的圖象與其反函數(shù)的圖象有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

分析根據(jù)性質(zhì)，知函數(shù)y=x-a的圖象必與直線y=x相交，二式聯(lián)立得x=x-a，因?yàn)閤≥a，所以x2-x+a=0.依題意，此方程有實(shí)根，則Δ=1-4a≥0，所以a≤114，應(yīng)填上（-∞，114）.

例9設(shè)k>1，f（x）=k（x-1）（x∈R）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交于A點(diǎn)，它的反函數(shù)y=f -1（x）的圖象與y軸交于B點(diǎn)，并且這兩個(gè)函數(shù)圖象交于P點(diǎn)，已知四邊形OAPB的面積是3，則k等于（ ）.

A.3 B.312 C.413 D.615

分析由題設(shè)易知A（1，0），再由對(duì)稱(chēng)性知B（0，1），又P為互為反函數(shù)圖象的交點(diǎn)，則可設(shè)P（a，a），則S四邊形OPAB=2S△OAP=2·112|OA|·|a|=|a|，所以|a|=3，a±3.又點(diǎn)P在f（x）的圖象上，所以±3=k（±3-1），所以k=312或k=314，又k>1，故應(yīng)選B.