等差數列求和方法講解初探

張華成

在高中數學的教學中，等差數列作為有通項公式而且應用很廣泛的數列之一來說，對整個高中數學的教學有著很重要的作用。而數學學習的很重要的一點就在于應用。如何使學生熟練掌握和使用等差數列求和的公式去解決學習中和生活中所遇到的問題，對于培養學生的數學能力有著舉足輕重的作用。在這方面，教師要對學生施以恰當的引導，培養學生的數理邏輯能力，養成用數學科學角度思考問題的習慣，最終使學生能夠獨立自主地去解決相應的問題。但是說起來容易做起來難，在實際的教學活動中，學生往往在處理等差數列求和問題的時候面臨諸多困難，不能很好地運用自己所學的知識去解決實際中的問題。作為老師，要達到上述的目的，就需要在以下幾個方面多下功夫：

第一，培養學生敏銳的觀察力，讓學生能夠洞察問題的本質所在，能夠建立起相應的數學模型，將簡單個例普遍化。例如，在人教版高中數學必修五的第49頁給出了一道例題——2000年11月14日教育部下發了《關于在中小學實施“校校通”工程的通知》。某市據此提出了實施“校校通”工程的總目標：從2001年起用10年的時間，在全市中小學建成不同標準的校園網。據測算，2001年該市用于“校校通”工程的經費為500萬元。為了保證工程的順利實施，計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元。那么從2001年起的未來10年內，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？ 面對這樣一段文字比較冗長的材料，首先考驗的就是學生對于材料信息的整合和提取能力，教師應當引導學生透過繁瑣的文字表達去發現題目的本質所在，找到關鍵意思，然后理清楚思路。“計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元”這句話就表明了所有的投資數額組成了一個公差為50的等差數列，而題目的要求本質上是要求出這個數列的前10項之和。這樣一來，審清了題意，便很方便展開具體的解題過程了。

第二，鍛煉學生理論聯系實際的能力，即在審清楚題意的基礎上，能夠準確將題目考查的知識點與自身的知識體系相互交叉對比，并快速做出反應，對應到直接相關的知識點上。例如，對上述問題的目的要求了解清楚之后，便要將當前的具體問題與學生所學聯系起來。在學生的知識體系里面，關于等差數列求和的公式是經老師講授過的，如何把當前的問題與所學的公式相互聯系起來才是真正考查學生的時刻。根據題目不難發現，在這個等差數列里面首項a1為500萬，公差d為50萬，項數n為10的等差數列，而現在要做的是把這些相關數字代入到等差數列的求和公式中去，這樣根據各信息就可以輕松得出結論應該為7250萬元。換句話講，在針對具體題目解決問題的時候，其實就是提供一個機會，讓學生可以把自己所學的書本上的知識變成學生自身知識體系的一部分，把生活中所遇到的相關問題符號化，從單純個案中可以抽象出更具有普遍性的符號替代各部分的組織關系。針對這道題目，就是把文字材料中的具體數字以及各數字之間的關系和課本上所習得的求和公式之間互相替代。這樣Sn=na1+n（n-1）12d。一方面學生自身的知識體系得到了完善，另一方面，學生在面對不同題目的時候，可以很游刃有余地從題目中抽象出具有普遍性的東西，很大程度上是對學生個人數學能力的一個提升。

第三，教育學生養成驗算的習慣，在做完題目之后，把得出的答案重新代入到題目中，看看是不是符合題目條件，也即通過驗證來確定自身答案的準確性，例如，上述題目最終得出的結果為7250萬元，將此答案重新再代入到題目當中，根據題目的上下意思，不難看出，這個答案與題目本身的描述并無任何沖突，因而表明此答案為正確答案。一旦得出的結論和題目本身的表述上存在沖突的話，那就表明該答案不是題目的正確答案，需要學生再次回到前兩個部分，再重新完成題目的解答過程。

第四，教師必須在講授的過程中要注意函數思想在解決等差數列求和問題中的應用。從本質上來說，等差數列求和的過程和解決函數問題所遵循的原理是一樣的，都是通過已知給定的條件通過與所求的未知因素之間的邏輯關系，由已知推導出未知的過程。教師在講解等差數列求和問題的技巧時，要適當引入之前學生學過的函數知識，一方面有利于學生回顧前面所學的知識，鞏固學生的記憶；另一方面能夠幫助學生更有效地解決當前學習中所遇到的問題。更根本的，教師可以通過梳理不同知識點之間的關系，使學生更深刻地理解數學本身的邏輯體系，形成更加嚴謹和開放的數學態度，更加提升學生學習數學的興趣，并且使學生的數學能力得到一個綜合性的提升。

總之，在講解等差函數求和知識相關的習題時，教師應該盡可能組織與之前所學知識的聯系，加強對于學生抽象思維的鍛煉，使得學生可以將實際的問題符號化，能夠更好地解決所遇到的問題。作為高中數學老師，如果愿意在這些方面多下功夫，不論對于學生來講還是對于教師來講，都是一件極有價值的事情。過程中，必須積極引導學生強化基礎知識的學習，促使他們對相關知識的基本概念、基本原理、公式、法則和定律具有較深的理解，協助他們獲得一定的數學思維能力，幫助他們獲得一些常用的數學解題方法，并讓他們多加練習以至于不斷深化鞏固，進而將所學方法融會貫通，達到事半功倍的學習效果。

例如，對于一些從正面難以解答的問題，嘗試通過“反證法”對其進行解答，如對于已知a<0，-11，顯然和已經條件不相符。即可得到ab2>a。

同樣的道理，假設ab1，這和已知條件相沖突，故此說明abab2，進而得到a

在高中數學解題中常用的解題方法，還有“配方法”、“換元法”、“參數法”、“待定系數法”等等，引導學生對這些方法的掌握，可以促使他們獲得良好的數學基本技能，有助于幫助他們提升數學素養。