基于皮亞杰理論下的高中數學概念教學

錢有成

作為一個活動的理論、建構的理論、發展的理論，皮亞杰認知發展理論深刻地描述了認知發生、發展的過程，分析了影響認知發展的因素和促進認知發展的動力。它揭示了人類認識世界、發展認知的心理機制，為教育教學研究提供了豐厚的心理學基礎。同時，從皮亞杰對認知發生、發展的生動分析中，我們看到，皮亞杰認知發展理論用建構的觀點探討認知的發展，尤其強調活動在認知發展和知識建構中的作用。本文以《三角函數的周期性》教學為例談談高中數學概念教學。

一、提供積累，感知概念

從認知出發，人概念是圖式存在于人的大腦中，我們通過實例進行激活抽象，使學生獲得感知。

在“三角函數的周期性”教學時，可先設計以下方式引入課題：

情境1：從2013年12月份的日歷上可以看出，12月9日是周一，再過7天，16日還是周一，再過7天，23日還是周一……

情境2：單位圓上的點轉動一圈以后回到了原來的位置。

問題：你能舉出數學中某些現象重復出現的例子嗎？

學生可以根據前階段學習的誘導公式的特點，回答出三角函數，三角函數線。

問題：我們以正弦函數為例，怎樣解釋這種周而復始的現象呢？

學生1：sin30°=sin150°。這個回答是筆者沒有預想到的。

課堂上，學生的深思頓悟、靈機一動，節外生枝和思維的遇阻、疏忽大意等等，都可能催生出一個個鮮活的教學資源，為創設智慧、高效課堂帶來可能。為學生的學習創設了預知不得，欲罷不忍的學習情境，激發了學生的探究積極性，課堂氣氛又活躍了起來。

學生2：當角α的終邊轉動2π，就會重合，三角函數值也相等。

這是學生從形的角度刻畫了三角函數的“周而復始”的現象，筆者繼續追問：把你這句話用表達式寫出來是什么樣的呢？

學生2：sin（x+2π）=sinx。

這樣我們就很自然的聯想到之前學習的三角函數的誘導公式，讓學生很輕松愉悅地接受了正弦函數的周期現象，也為接下來推導余弦函數和正切函數的周期作鋪墊。

二、同化順應，概括概念

在數學概念教學中，我們通過比較分析、抽象概括等同化順應活動，讓學生獲得對數學概念的認同。

如：“三角函數周期性”概念教學中，如果某函數f（x）每間隔2個單位，函數值重復再現，如何用符號語言表示？引導學生得出f（x+2）=f（x）。

追問：如果某函數f（x）每間隔7個單位，函數值重復再現，如何表示？

引導學生得出f（x+7）=f（x）。

教師通過前面特殊情況的分析，逐漸引導學生感受“周而復始”的特征，從而慢慢引入數學概念。

三、提供變式，抽象本質

隨著學生對概念的不斷積累，我們將概念進行不斷深化，抽象出精確的形式。在“三角函數的周期性”教學時：是不是只有三角函數才有周期性？我們是否可以給一般的周期性函數下一個定義呢？

該問題的設置意圖，要求學生能從現有的材料中概括出本質特征，并把本質特征用精當的數學語言加以描述。概括是數學概念形成的重要過程，所以教學設計中必須為學生的概括做好鋪墊。這個環節是本節課的重點也是難點。教師不能急于求成，要傾聽學生的心聲，要營造民主、平等、寬容的課堂教學氣氛，把握學生的解惑需求，對于學生的回答，要及時加以辨別，作出正確的判斷，并因勢利導，給學生探究的時間和空間，這樣會使后面的教學更深入，更有價值。

定義中關鍵詞有哪些？這些關鍵詞你感覺熟悉嗎？之前的學習中哪里遇見過？

設計意圖是為了讓學生更深入理解定義的內涵，把握判斷函數周期性的關鍵，并聯系之前學過的函數的奇偶性和單調性，更好地理解周期性的定義。這個環節把握的程度可以從接下來課件中判斷函數是否為周期函數反映出來。

思考：y=3是周期函數嗎？

學生的反映并沒有預想的好，問題出在了哪里？是概念理解不清，還是符號不能準確轉換？筆者課后作了學生調查，結果顯示，學生不能把y=3和f（x）=3聯系起來，更找不出f（x+T）=f（x）中的T的值，感覺不存在。該問題的設計意圖是想說明不是所有函數都有最小正周期，但是反映出來的是學生對函數概念的不理解。給我們留了思考，函數的概念教學是否到位呢？學生不能真正透徹理解函數的概念，個人覺得這是教學中的失敗。但是很多問題不是一兩節課能解決的，如果再次講授這節課，這個環節肯定刪除。

四、深化運用，鞏固概念

我們只有把數學概念和生活實踐聯系起來，才能運用發展數學，體現數學的永恒價值，這節概念課配備了如下的例題：

[例1]若鐘擺的高度h（mm）與時間t（s）之間的函數關系如下圖所示。

（1）求該函數的周期；

（2）求t=10s時鐘擺的高度。

師組織學生圍繞以下問題展開討論：

問題1：周期函數的圖像具有什么特征？

問題2：能否根據周期性找到t=10s時鐘擺的高度？

[例2]求函數y=cos2x的周期。

思考：自編一道三角函數題，請同座位思考是否為周期函數？若是周期函數，周期是多少？若不是周期函數，請說明理由。

該問題的設計意圖是想讓學生能夠感受到自己是課堂的主人，是學習活動中自由的“生命體”。但是由于學生的層次比較低，這個環節在具體實施過程中很難推進，不能體現有效性，給的3分鐘的時間不能完成布置的任務，筆者表示很遺憾。這個環節的不成功，使得接下來的y=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ都是常數，A≠0，ω>0）的周期的概括和推導就不能順利的進行。當然，課堂教學過程本身就是一個“精心預設”與“動態生成”和諧統一的過程。備課首先應該先備學生，教師應熟悉學生的認知水平和學習的薄弱之處，要換位思考，真正從學生的角度審視問題。針對這個問題，筆者認為，概念的教學是一個值得繼續探究的過程，是要貫穿在平時的教學過程中，潛移默化地去發展學生的思維的過程，是一個長遠的過程。如果再上一次，我想把這個問題改成例題，直接改為：求下列函數的周期：

（1）

（2）

（3）

（4）y=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ都是常數，A≠0，ω>0）

這樣的改動，和原先的問題設置相比，顯然教師的主動性高于學生。

總之，概念教學是數學“雙基”教學的重要組成部分，學好數學概念是學習數學知識的重要前提，學生對數學概念掌握與理解的程度，直接影響到其它數學知識的學習。

【參考文獻】

[1] 皮亞杰. 發生認識論原理[M]. 商務印書館，1996.

[2] 張奠宙. 數學教育研究導引[M]. 江蘇教育出版社，1998.

（作者單位：江蘇省興化市楚水實驗學校）