一道課本例題的探究及拓展

梁瑾

《普通高中課程標準實驗教科書數學（A版）》已試行兩個循環，深受好評。新教材緊跟時代發展，以生動活潑的呈現方式，激發學生學習興趣，以恰當的問題引領、培養學生問題意識和探索精神。而教材例題設置的層次性、多樣性和探究性更成為培養學生創新精神和實踐能力的重要平臺。

1。一道課本例題

課本選修2-2，87頁例3：用數學歸納法證明：當n∈N*時，12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）16。

證 （1）當n=1時，12=1，1×（1+1）×（2×1+1）16=1，結論成立。

（2）假設n=k時，結論成立，即

12+22+32+…+k2=k（k+1）（2k+1）16，

那么12+22+32+…+k2+（k+1）2

=k（k+1）（2k+1）16+（k+1）2

=（k+1）（2k2+7k+6）16=（k+1）（k+2）（2k+3）16。

所以當n=k+1時，命題也成立。

根據（1）和（2），可知結論當n∈N*時都成立。

2。例題探究

還有沒有什么其他方法來推導公式12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）16。

分析這可以看成冪數列{n2}的前n項和的問題，可以運用基本數列求和的方法及結論解決這個問題。

解利用恒等式

（k+1）3-k3=3k2+3k+1。

取k=1，2，…，n，得

23-13=3×12+3×1+1，

33-23=3×22+3×2+1，

……

（n+1）3-n3=3n2+3n+1。

上面各式相加，得

（n+1）3-1=3n1k=1k2+3n1k=1k+n，（2）若A站在隊伍的兩頭，有多少種不同的站法？若A既不站在排頭，也不站在排尾呢？

（3）A、B若不相鄰，有多少種不同的站法？

（4）A必須站在B的右邊，有多少種不同的站法？

（5）女生不站兩端，有多少種不同的站法？

6.模型法

教師引導學生讓學生通過分析、綜合、類比、概括、抽象、歸納將人口增長、環境保護、分期付款、市場分析、最優方案、科學技術等問題轉化為數學模型，并運用數學知識解決問題。模型法能幫助學生運用數學知識解決生產生活中的問題，有利于培養學生的數學應用意識。

例5某地為促進當地灘涂養殖業的發展，將價格控制在合理的范圍內，決定對海水養殖業進行補貼，若某種魚類的市場價格為x元/千克，政府補貼為t元/千克，據市場調查顯示，當16≤x≤28時，該魚類的市場日供應量M千克與市場日需求量N千克近似地滿足關系：

M=2000（x+t-16）（x≥16，t≥0），N=100080-（x-16）2（16≤x≤28）。

當M=N時市場價格稱為市場平衡價格。

（1）將市場平衡價表示政府補貼的函數，并求出該函數的定義域；

（2）為使市場平衡價格不高于每千克20元，政府至少每千克補貼多少元？

三、近年來高中數學習題配置的發展趨勢

1.注重應用性。在生產實際和科技發展中，數學有著廣泛的應用，教師要引導學生深入挖掘數學知識的現實背景，了解知識的來龍去脈，感受數學的應用價值。

例6某品牌飲料制造商制造并出售球形瓶裝飲料，已知瓶子制造成本是1。2πr2分，每出售1ml的飲料，可獲利0。3分，且瓶子的最大半徑為6cm。

（1）瓶子半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？

（2）瓶子半徑多大時，每瓶飲料的利潤最小？

2.強調生活性。數學來源于生活，應用于生活。新課程倡導教師以教材為藍本，注重數學與現實生活的聯系，從學生的生活經驗出發，創造愉悅的學習氛圍，引領學生通過自主探索、合作交流等活動運用數學知識解決生活中的問題。

例7建筑一個容積為72m3，深為4。5m的長方形蓄水池，池壁每平方造價為a元，池底每平方造價為2a元。求總造價y與底的一邊長為x米的函數關系系，并指出其定義域。

3.增加開放性。開放性問題是指條件不完備、方法不唯一或無唯一結論的習題。教師要設置開放式問題，為學生創造有利于學生主動探索、積極發展的空間，從而培養學生的求異思維能力。

例8已知f（θ）=sin2θ+sin2（α+θ）+sin2（β+θ），其中α、β是滿足0≤α<β≤π的常數，請問α、β為何值時，f（θ）的值恒為定值。

總之，習題是數學教學的重要組成部分，其配置的好壞直接影響著學生的學習效率。因此我們高中數學教師要對習題配置作進一步的探索研究，優選或自編有質量的習題，為培養學生的學習興趣，提高學生的數學綜合能力而不懈努力。從而n1k=1k2=113[（n+1）3-3n1k=1k-n-1]

=113[（n+1）3-3·n（n+1）12-n-1]

=116n（n+1）（2n+1）。

3。例題拓展

進一步的13+23+33+…+n3=？如何導出？

方法一仿照上面的證法，利用恒等式（k+1）4-k4=4k3+6k2+4k+1。

取k=1，2，…，n，得

24-14=4×13+6×12+4×1+1，

34-24=4×23+6×22+4×2+1，

……

（n+1）4-14=4n3+6n2+4n+1。

上面各式相加得

（n+1）4-14=4n1k=1k3+6n1k=1k2+4n1k=1k+nendprint

n1k=1k3=114[（n+1）4-6n1k=1k2-4n1k=1k-n-1]

=114[（n+1）4-6×116n（n+1）（2n+1）-4×n（n+1）12-n-1]

=114（n+1）[（n+1）3-n（2n+1）-2n-1]

=n2（n+1）214。

方法二構造函數f（k）=k2，則

f（k+1）1f（k）=（k+1）21k2=（k-1）2+4k1k2，

故k2f（k+1）-（k-1）2f（k）=4kf（k）。

在上式中，取k=1，2，…，n，得

12·f（2）=4f（1），

22·f（3）-12·f（2）=4·2f（2），

32·f（4）-22·f（3）=4·3f（3），

……

n2f（n+1）-（n-1）2f（n）=4·nf（n）。

各式相加，得

4n1k=1k3=4n1k=1kf（k）=n2f（n+1）=n2（n+1）2，所以

Sn=13+23+…+n3=n2（n+1）214。

方法三分析不妨可以考慮將奇數數列1，3，5，7，9，11，13，…，按如下規則分租：（1），（3，5），（7，9，11），（13，15，17，19），…，顯然第k組的所有元素和為k3。于是前n個正整數的立方和就是上面分組中前n組的所有奇數的和。所以現在關鍵是要求出第n組中的最后一個奇數。根據每組的最后一個奇數1，5，11，19，29，41，…規律得出n組中的最后一個奇數為n2+n-1，共有1+2+3+…+n=112n（n+1）個奇數。

解令第n組中的最后一個奇數為an，則

an=（a2-a1）+（a3-a2）+（a4-a3）+…+（an-an-1）+a1=（4+6+8+…+2n）+1=n2+n-1。

故13+23+33+…+n3=1+3+5+7+…+（n2+n-1）

=112n（n+1）[1+（n2+n-1）]12

=n2（n+1）214。

利用以上結果，可以進一步得到：

22+42+62+…+（2n）2

=4（12+22+32+…+n2）

=2n（n+1）（2n+1）13，

從而12+32+52+…+（2n-1）2

=（12+22+32+…+（2n）2）-（22+42+62+…+（2n）2）

=2n（2n+1）（4n+1）16-2n（n+1）（2n+1）13

=n（4n2-1）13。

同理可得：

23+43+63+…+（2n）3

=8（13+23+33+…+n3）

=2n2（n+1）2。

13+33+53+…+（2n-1）3

=n2（2n2-1）。

進而可得到

-12+22-32+42+…+（-1）n·n2

=112n（n+1），n為偶數，

-n（n+1）12，n為奇數。

13-23+33-43+…+（-1）n+1·n3

=-114n2（2n+3），n為偶數，

114（n+1）2·（2n-1），n為奇數。

4。結語

無論在推導正整數平方和還是正整數立方和的過程中都利用了數列求和中常用的方法——裂項相消法。我們都知道在解一類特殊數列（ 由一個等差數列和一個等比數列對應項相乘構成的數列） 求和問題的一般方法是錯位相減法。從學生的解答情況來看，學生對錯位相減法的基本步驟掌握較好，但在計算過程中出錯的現象比較普遍。實踐證明，解決此類問題的方法除了錯位相減法外，裂項相消法也是解決此類問題的好方法。因此，在平時教學中，教師引導學生掌握常規方法的同時，還要注意培養學生大膽創新勇于實踐自主探究的精神。

例如：求數列{2n-512n}的前n項和中，我們不妨可以考慮裂項相消法，關鍵是如何裂項，結合數列通項公式的特點可以裂成2（n-1）-112n-1-2n-112n。

教材是教師教學的依據和根本，只有教師真正領悟教材的編寫意圖，不斷挖掘教材課本的資源，才能提高課堂的教學效果，充分調動學生學習的主動性和積極性，真正落實新課程改革精神。endprint