正則化模型下圖像處理的算法設計與實現

王欣欣

（武漢理工大學，湖北 武漢 430070）

1 國內外研究現狀

用迭代方法處理各種反問題已有悠久的歷史。但是研究表明，使用迭代方法求解反問題，有時會出現所謂的“半收斂”現象，即在迭代的早期階段，近似解可穩定地得到改進，展現出“自正則化”效應，但當迭代次數超過某個閾值后便會趨向于發散。因而，使用迭代法求解的關鍵是要尋找一個恰當的終止原則，在迭代次數和原始數據誤差水平之間找到平衡值。研究表明，迭代指數，即迭代步數正好起到正則化參數的作用，而這個終止準則對應著正則化參數的某種選擇方法。并且使用迭代方法求解還有很多優點，因此，在正則化問題求解中通常選用迭代的方法，常用的迭代方法有：Landweber 迭代法、VanCittert 迭代方法、最速下降方法和迭代Tikhonov 正則化的求解方法，以及正則化方法的快速數值實現。

2 基于解空間分解的GMRES 算法及圖像復原應用

2.1 正則化模型與圖像復原

設F 和U 分別表示度量空間，度量為ργ和ρμ，算子A：F 到U 映F到U，則該問題變為線性反問題（當A 為線性算子時），或非線性反問題（當A 為非線性算子時）。“不適定性”（病態性）是所有反問題所具有的一個共同的特性。一般情況下，不適定性是反問題本身的固有特征：如果問題的先驗信息是未知的，那么就無法得到理想的結果。因此，我們應該盡可能多的收集先驗信息，最大限度的復原原問題。通常，人們將求解反問題(不適定問題)的理論和方法稱為正則化方法。對于圖像處理問題，由于涉及到大規模的方程組求解，法方程的維數太大，此時再應用代數方法求解就會遇到一些難以實現的技術問題，而選用正則化方法不但可以克服上述缺點，還具有某些優點，當問題從無窮維度變到有限維度時，迭代求解不會影響系數結構，而且能夠起到節約運算空間的效果。這些優勢在大規模計算中非常有利。

對于圖像恢復的病態性問題，利用正則化思想進行圖像復原時，需要利用先驗信息，構造某種約束條件，使用數理統計方法，將圖像復原這一不適定問題轉變成適定問題，進而使得近似解滿足適定性的三項約束，這也是正則化方法的優勢所在。

2.2 解空間分解的廣義極小殘量算法

在對線性方程組Ax=b，A 緊算子，進行求解時，為了盡可能減少存儲空間和計算開銷，Krylov 子空間迭代法是求行之有效的方法。當系數矩陣A 對稱正定，共扼梯度法(CG)或預共轆梯度法(PCG)可快速準確求解該方程組的近似解；當A 對稱但不正定時，極小殘量法或預極小殘量法則能有效求解方程組。對于一般的非對稱矩陣，常采用廣義極小殘量法、共扼梯度法來求解。GMRES 算法利用Arnold 過程產生Krylov 子空間Kj 的正交基，Arnold 過程中每次迭代運算，都要調用所有前面的迭代所產生的正交基來生成下一個正交基。

2.3 光學圖像復原結果

對于方程Ax=b，利用基于解空間分解的加速GMRES 算法迭代求解。計算步驟如下：

Step1.置初始值x0=0，并令δ=10-8；

Step2.用解空間分解的加速GMRES 算法迭代求解式Ax=b，在第j 步的值為xj；

圖像復原實驗中處理的是256*256 尺寸的0-255 灰度級的liftingbody 圖像。用改進信噪比來衡量算法的復原性能。從復原之后的對比效果看，共扼梯度法(CG)并不能有效的抑制模糊退化，復原結果仍然比較模糊，圖像邊緣有振鈴波紋出現。解空間分解的加速GMRES算法復原結果的邊界紋路比較清晰，很好的顯示出原圖像邊緣細節部分，與此同時，振鈴波紋因為加窗處理得到有效抑制，整體視覺效果很好。

3 線性代數方法與圖像復原應用

在涉及到復雜矩陣和向量的離散圖像復原模型中，可以從線性代數方法中得到一種效率較高的求解方法，常用的方法是約束最小二乘法。對約束最小二乘法進行改進，根據先驗信息，把正則化思想和約束最小二乘法等有機結合在一起，并將其運用到離散圖像復原中，得到的約束最小二乘的空域迭代法可以出色的抑制噪聲，而且在噪聲很強是也可以得到很好地復原結果。

將正則化思想與約束最小二乘法相結合，繼而復原退化圖像。通過對噪聲能量的限制來使用正則化理論，運用空域迭代時很好的抑制了噪聲放大現象，同時克服了病態性，而且計算速度得到了提升。實驗數據表明，本方法更適合復原污染程度較大的圖像，但不適合復原模糊程度較大的圖像。

4 總結與展望

圖像復原近年來受到了越來越廣泛的關注，正則化方法理論的發展也越來越得到完善，許多學者從模型上、理論上、應用上分別展開了對于正則化的圖像復原的深入研究，本文的研究雖然力求有較強的實用性，但是由于受到多方面的限制，在理論和工程應用等方面仍存在很多的待豐富和改進之處，需要在以后的工作中繼續深入研究。

首先，要加深對觀測圖像的先驗信息的挖掘，因為如果能夠有效利用先驗信息，就能極大的改善估計精度以及問題的病態性。要充分的利用各種先驗知識，構造更加精確地目標泛函，設計出更加優良的算法，同時要充分分析現有正則化參數的選擇方法，結合各個方法的優缺點，構造出更加高效的正則化算子；要注意噪聲擴大與圖像復原的平衡，充分利用成像時的分段平滑性質，去除圖像邊緣模糊和振鈴現象。其次，要注重正則化圖像復原方法與其他圖像復原方法的有機結合。現階段，神經網絡、小波分析和遺傳算法等新式的算法在圖像復原方面取得了極大的進展，如果能夠將這些理論結合在一起，形成優勢互補，一定能得到性能更好的圖像處理算法。

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