完善問題中心圖式提高數(shù)學(xué)解題能力

眭永翔

一、問題提出

數(shù)學(xué)教學(xué)中，許多教師認(rèn)為，經(jīng)過長(zhǎng)期的解題思維訓(xùn)練就能夠提高學(xué)生的邏輯思維能力、空間想象能力和運(yùn)算、分析、歸納總結(jié)的能力。其實(shí)不然，隨著智育認(rèn)知心理學(xué)研究的不斷深入，我們發(fā)現(xiàn)這些能力并不是單純地做題訓(xùn)練就能產(chǎn)生，而是一個(gè)知識(shí)加工的過程。根據(jù)認(rèn)知心理學(xué)的原理來理解，“解決某一個(gè)問題所需要的全部知識(shí)是一組以圖示的形式表征的知識(shí)”，因?yàn)檫@一組知識(shí)是以要解決的問題為中心的，所以我們稱這個(gè)圖示為問題中心圖示。問題中心圖示中包括學(xué)生已掌握的相關(guān)公式、命題、定理等這些教材上現(xiàn)成的陳述性知識(shí)，還包括學(xué)生在遇到問題時(shí)指導(dǎo)自己該運(yùn)用哪些方面的知識(shí)來解決問題的程序性知識(shí)，最后還包括用來監(jiān)督、指導(dǎo)、調(diào)控學(xué)生自身思維活動(dòng)的策略性知識(shí)。程序性知識(shí)和策略性知識(shí)有時(shí)區(qū)分并不太明顯，也可以綜合在一起理解，就是我們平時(shí)教給學(xué)生的或?qū)W生自己提煉、歸納的答題方法和策略。學(xué)生在解題時(shí)表現(xiàn)出困惑或者出現(xiàn)錯(cuò)誤，主要是因?yàn)樗麄兘鉀Q問題所需要的問題中心圖示中的知識(shí)不完整，或者說不能整體呈現(xiàn)、清晰排列。

二、學(xué)困生的知識(shí)結(jié)構(gòu)分析與補(bǔ)救

筆者在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，人們常說的數(shù)學(xué)“尖子生”，他們可以自發(fā)地記住大量陳述性知識(shí)，并歸納總結(jié)程序性和策略性知識(shí)。因?yàn)椋紫人麄兇竽X中的基礎(chǔ)知識(shí)豐富、牢固且清晰，容易和新知識(shí)產(chǎn)生聯(lián)系。其次，“尖子生”在解數(shù)學(xué)題時(shí)學(xué)習(xí)情緒高漲，容易記住新知識(shí)，善于思考和分析靈活運(yùn)用程序性和策略性知識(shí)。而學(xué)困生恰恰相反。于是，筆者在課堂教學(xué)中，采用了問題中心圖式對(duì)學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行干預(yù)，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生陳述性、程序性和策略性知識(shí)的培養(yǎng)，以提高解題思維能力。根據(jù)上述理論假設(shè)，我們采用問題中心圖式診斷法，對(duì)學(xué)習(xí)困難生學(xué)習(xí)困難的原因進(jìn)行分析。

例如：閱讀材料并回答問題：我們已經(jīng)知道，完全平方公式可以用平面幾何圖形的面積來表示，實(shí)際上還有一些代數(shù)恒等式也可以用這種形式表示，例如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用圖（1）或圖（2）等圖形的面積表示。（1）請(qǐng)寫出圖（3）所表示的代數(shù)恒等式（ ）。（2）試畫出一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2。（3）請(qǐng)仿照上述方法另寫一個(gè)含有a、b的代數(shù)恒等式，并畫出與之對(duì)應(yīng)的幾何圖形。

（圖1） （圖2） （圖3）

表1 完全平方公式應(yīng)用的中心圖式

本題的正確解題思路是在理解了完全平方公式的基礎(chǔ)上，利用面積等量關(guān)系，從更深層次上對(duì)完全平方公式靈活運(yùn)用。全班只有個(gè)別同學(xué)能答完整。筆者對(duì)做錯(cuò)的學(xué)生一一進(jìn)行了個(gè)案調(diào)查詢問，通過中心圖式診斷，筆者發(fā)現(xiàn)，在第（1）小問上，有近五分之一的學(xué)生沒有真正理解完全平方公式的基本結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)，對(duì)（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2這個(gè)式子的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)觀察不出來，說明這部分學(xué)生對(duì)完全平方公式構(gòu)成的陳述性知識(shí)沒有掌握好。在第（2）小問上，有五分之一的學(xué)生還不能理解通過計(jì)算大正方形的面積可以引出完全平方公式，對(duì)公式的認(rèn)識(shí)還是停留在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則的層次上，無法獲得怎樣通過面積的等量關(guān)系來解決本題的程序性知識(shí)。有近五分之三的學(xué)生，對(duì)數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)相當(dāng)薄弱，無法掌握從幾何解釋到代數(shù)運(yùn)算再到幾何解釋的過程。于是，解答本題的第（3）小問的策略性知識(shí)“怎么辦”時(shí)，找不到切入點(diǎn)或突破口。

針對(duì)上述幾種情況，筆者在課堂上對(duì)全體學(xué)生進(jìn)行了知識(shí)分析和鞏固練習(xí)，讓學(xué)生知道完全平方公式的構(gòu)成，使學(xué)生形象地記憶它們，掌握住公式的陳述性知識(shí)。讓學(xué)生體會(huì)代數(shù)運(yùn)算的幾何背景，通過準(zhǔn)備一些邊長(zhǎng)為a的正方形、寬為a長(zhǎng)為b的長(zhǎng)方形以及邊長(zhǎng)為b的正方形卡片若干張，學(xué)生分小組選取相應(yīng)型號(hào)和數(shù)量的卡片，拼出一個(gè)符合某個(gè)乘法公式的圖形，然后小組討論、總結(jié)并畫出圖形。通過這樣的動(dòng)手操作過程，使學(xué)生掌握住公式的程序性知識(shí)、策略性知識(shí)。以后再遇到類似問題時(shí)，大多數(shù)學(xué)生都能順利完成解答。

三、教學(xué)策略

教學(xué)中，筆者結(jié)合問題中心圖示理論，針對(duì)不同知識(shí)基礎(chǔ)的學(xué)生，在課堂方法上進(jìn)行了如下調(diào)整。

（1）引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合理的知識(shí)積累。知識(shí)是產(chǎn)生解題思維能力的前提與基礎(chǔ)。在錯(cuò)誤題型講解時(shí)，很多教師都是指出學(xué)生所犯的錯(cuò)誤，然后明確正確的思路，提出更正方法。筆者在上課時(shí)，先請(qǐng)做對(duì)的同學(xué)講解自己的思路，然后由筆者幫助他列出問題中心圖式，給出評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，讓學(xué)生根據(jù)問題中心圖式找出錯(cuò)誤之處，分析錯(cuò)誤原因，最后筆者再引導(dǎo)他們進(jìn)行歸納總結(jié)。這可以提高學(xué)生自我學(xué)習(xí)能力，深刻認(rèn)識(shí)產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因。在教學(xué)中，讓學(xué)生意識(shí)到知識(shí)積累與成績(jī)之間的正比關(guān)系，加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)（陳述性知識(shí)）的記憶與訓(xùn)練。

（2）引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)。具備一定的知識(shí)還不會(huì)解題或解題錯(cuò)誤，主要是問題中心圖示中的程序性和策略性知識(shí)不完整。要幫助學(xué)生靈活運(yùn)用已學(xué)知識(shí)，正確快速地解題。首先要學(xué)會(huì)仔細(xì)審題，然后分析如何解題，需要運(yùn)用哪些知識(shí)才能解題，把所需公式、性質(zhì)、定理在大腦中梳理清楚，逐個(gè)提取羅列。解題時(shí)注意自我監(jiān)督和檢驗(yàn)（程序性和策略性知識(shí)），有效進(jìn)行推理論證，實(shí)現(xiàn)問題的解決。

（3）引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)到學(xué)科魅力。教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。首先，應(yīng)該從教師自身抓起，做到板書清晰、工整，圖示規(guī)范、美觀，盡量讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)圖像的空間美感和數(shù)學(xué)公式、語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔明了。其次，既要讓學(xué)生感受到正確回答問題的成功和喜悅，又要讓學(xué)生在回答錯(cuò)誤時(shí)不受指責(zé)和諷刺，體會(huì)數(shù)學(xué)課的輕松愉快，營(yíng)造良好課堂氛圍。再次，讓學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際，到生活中去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律與原理，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值與意義，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

（4）注重教學(xué)方法。方法是學(xué)好數(shù)學(xué)的敲門磚。一是注重?cái)?shù)形結(jié)合。不要讓學(xué)生死記硬背概念、定理、公式，要把理論與具體圖形或現(xiàn)實(shí)生活中的物象相結(jié)合，把背誦的知識(shí)具象化，這樣才會(huì)記得扎實(shí)又牢固。二是注重知識(shí)鋪墊。學(xué)習(xí)新知識(shí)之前引進(jìn)與其有相似性的舊知識(shí)，通過熟悉的已學(xué)知識(shí)來理解有相似關(guān)系的新知識(shí)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移，進(jìn)行比較記憶，學(xué)生更容易接受和理解。三是注重知識(shí)總結(jié)歸納。學(xué)完某個(gè)知識(shí)點(diǎn)后，教師要幫助學(xué)生去總結(jié)和歸納，將知識(shí)進(jìn)行整理，有針對(duì)和區(qū)別地分類記憶。明確知識(shí)重難點(diǎn)，讓學(xué)生有所側(cè)重去記憶，做到要點(diǎn)明確，重點(diǎn)突出，使知識(shí)在大腦中形成合理有序地排列，以便應(yīng)用時(shí)隨時(shí)提取。

（江蘇昆山錦溪中學(xué)）