完善問題中心圖式提高數學解題能力

眭永翔

一、問題提出

數學教學中，許多教師認為，經過長期的解題思維訓練就能夠提高學生的邏輯思維能力、空間想象能力和運算、分析、歸納總結的能力。其實不然，隨著智育認知心理學研究的不斷深入，我們發現這些能力并不是單純地做題訓練就能產生，而是一個知識加工的過程。根據認知心理學的原理來理解，“解決某一個問題所需要的全部知識是一組以圖示的形式表征的知識”，因為這一組知識是以要解決的問題為中心的，所以我們稱這個圖示為問題中心圖示。問題中心圖示中包括學生已掌握的相關公式、命題、定理等這些教材上現成的陳述性知識，還包括學生在遇到問題時指導自己該運用哪些方面的知識來解決問題的程序性知識，最后還包括用來監督、指導、調控學生自身思維活動的策略性知識。程序性知識和策略性知識有時區分并不太明顯，也可以綜合在一起理解，就是我們平時教給學生的或學生自己提煉、歸納的答題方法和策略。學生在解題時表現出困惑或者出現錯誤，主要是因為他們解決問題所需要的問題中心圖示中的知識不完整，或者說不能整體呈現、清晰排列。

二、學困生的知識結構分析與補救

筆者在教學實踐中發現，人們常說的數學“尖子生”，他們可以自發地記住大量陳述性知識，并歸納總結程序性和策略性知識。因為，首先他們大腦中的基礎知識豐富、牢固且清晰，容易和新知識產生聯系。其次，“尖子生”在解數學題時學習情緒高漲，容易記住新知識，善于思考和分析靈活運用程序性和策略性知識。而學困生恰恰相反。于是，筆者在課堂教學中，采用了問題中心圖式對學生的知識結構進行干預，加強對學生陳述性、程序性和策略性知識的培養，以提高解題思維能力。根據上述理論假設，我們采用問題中心圖式診斷法，對學習困難生學習困難的原因進行分析。

例如：閱讀材料并回答問題：我們已經知道，完全平方公式可以用平面幾何圖形的面積來表示，實際上還有一些代數恒等式也可以用這種形式表示，例如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用圖（1）或圖（2）等圖形的面積表示。（1）請寫出圖（3）所表示的代數恒等式（ ）。（2）試畫出一個幾何圖形，使它的面積能表示（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2。（3）請仿照上述方法另寫一個含有a、b的代數恒等式，并畫出與之對應的幾何圖形。

（圖1） （圖2） （圖3）

表1 完全平方公式應用的中心圖式

本題的正確解題思路是在理解了完全平方公式的基礎上，利用面積等量關系，從更深層次上對完全平方公式靈活運用。全班只有個別同學能答完整。筆者對做錯的學生一一進行了個案調查詢問，通過中心圖式診斷，筆者發現，在第（1）小問上，有近五分之一的學生沒有真正理解完全平方公式的基本結構和特點，對（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2這個式子的結構和特點觀察不出來，說明這部分學生對完全平方公式構成的陳述性知識沒有掌握好。在第（2）小問上，有五分之一的學生還不能理解通過計算大正方形的面積可以引出完全平方公式，對公式的認識還是停留在多項式乘法運算法則的層次上，無法獲得怎樣通過面積的等量關系來解決本題的程序性知識。有近五分之三的學生，對數形結合的思想意識相當薄弱，無法掌握從幾何解釋到代數運算再到幾何解釋的過程。于是，解答本題的第（3）小問的策略性知識“怎么辦”時，找不到切入點或突破口。

針對上述幾種情況，筆者在課堂上對全體學生進行了知識分析和鞏固練習，讓學生知道完全平方公式的構成，使學生形象地記憶它們，掌握住公式的陳述性知識。讓學生體會代數運算的幾何背景，通過準備一些邊長為a的正方形、寬為a長為b的長方形以及邊長為b的正方形卡片若干張，學生分小組選取相應型號和數量的卡片，拼出一個符合某個乘法公式的圖形，然后小組討論、總結并畫出圖形。通過這樣的動手操作過程，使學生掌握住公式的程序性知識、策略性知識。以后再遇到類似問題時，大多數學生都能順利完成解答。

三、教學策略

教學中，筆者結合問題中心圖示理論，針對不同知識基礎的學生，在課堂方法上進行了如下調整。

（1）引導學生進行合理的知識積累。知識是產生解題思維能力的前提與基礎。在錯誤題型講解時，很多教師都是指出學生所犯的錯誤，然后明確正確的思路，提出更正方法。筆者在上課時，先請做對的同學講解自己的思路，然后由筆者幫助他列出問題中心圖式，給出評分標準，讓學生根據問題中心圖式找出錯誤之處，分析錯誤原因，最后筆者再引導他們進行歸納總結。這可以提高學生自我學習能力，深刻認識產生錯誤的原因。在教學中，讓學生意識到知識積累與成績之間的正比關系，加強基礎知識（陳述性知識）的記憶與訓練。

（2）引導學生靈活運用知識。具備一定的知識還不會解題或解題錯誤，主要是問題中心圖示中的程序性和策略性知識不完整。要幫助學生靈活運用已學知識，正確快速地解題。首先要學會仔細審題，然后分析如何解題，需要運用哪些知識才能解題，把所需公式、性質、定理在大腦中梳理清楚，逐個提取羅列。解題時注意自我監督和檢驗（程序性和策略性知識），有效進行推理論證，實現問題的解決。

（3）引導學生體會到學科魅力。教師應注重培養學生對數學的興趣。首先，應該從教師自身抓起，做到板書清晰、工整，圖示規范、美觀，盡量讓學生體會到數學圖像的空間美感和數學公式、語言的簡潔明了。其次，既要讓學生感受到正確回答問題的成功和喜悅，又要讓學生在回答錯誤時不受指責和諷刺，體會數學課的輕松愉快，營造良好課堂氛圍。再次，讓學生理論聯系實際，到生活中去發現數學規律與原理，認識數學的價值與意義，激發學習興趣。

（4）注重教學方法。方法是學好數學的敲門磚。一是注重數形結合。不要讓學生死記硬背概念、定理、公式，要把理論與具體圖形或現實生活中的物象相結合，把背誦的知識具象化，這樣才會記得扎實又牢固。二是注重知識鋪墊。學習新知識之前引進與其有相似性的舊知識，通過熟悉的已學知識來理解有相似關系的新知識，實現知識遷移，進行比較記憶，學生更容易接受和理解。三是注重知識總結歸納。學完某個知識點后，教師要幫助學生去總結和歸納，將知識進行整理，有針對和區別地分類記憶。明確知識重難點，讓學生有所側重去記憶，做到要點明確，重點突出，使知識在大腦中形成合理有序地排列，以便應用時隨時提取。

（江蘇昆山錦溪中學）