重視平面幾何教學，提高學生思維能力

邱超文

摘 要：平面幾何教學是初中數學教學的一個難點，該文從學生學習平面幾何產生困難的原因入手，加強針對性教學，激發學生的學習興趣，抓好基礎知識的學習和基本技能的訓練，提高學生思維能力，學好平面幾何知識。

關鍵詞：平面幾何 學習興趣 思維能力

中圖分類號：G623 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）02（a）-0140-02

平面幾何是中學數學的基礎科目，是使學生掌握數學思維方法，養成良好思維品質的重要組成部分。該文從分析學生學習平面幾何產生困難的原因以及如何幫助學生克服這些困難作一個初步的探討。根據我的教學實踐，學生學習平面幾何產生困難的原因主要有：

（1）不明確學習概念、公理、定理的重要性與必要性。

幾何推理論證的根據是命題中的題設與學過的定義、公理、定理。如果不明確它們的重要性與必要性，就必然不理解與熟悉它們，導致在需要進行推理論證的時候想不起已學過的定義、公理、定理，就更不會運用它們去解決問題。

（2）不會正確作出符合題意的圖形和分析圖形的特點。

幾何命題就是把公理或定理用數學語言表達出來的一種語句。無法作出符合題意的圖形，就無法分析圖形的特點，則對命題的推理論證無從下手。

（3）不清楚作輔助線的目的性。

（4）沒有掌握幾何推理的主要方法以及推理過程中一些常用的思維方法。

平面幾何的推理方法主要是假言推理，并在推理過程中常涉及猜想與論證、分解與組合、特殊與一般、靜止與變動、分析與綜合、聯想與推廣等一些具體的思維方法，而學生卻往往忽視了。

（5）不了解平面幾何的體系、結構與主要的學習方法。

幾何學是建立在公理化體系基礎上的一門學科。整個幾何學就是一系列定義、公理、定理等所構成的一個有機整體。學習幾何的主要方法就是正確地進行推理論證。如果學生對這些缺乏了解，就不知道自己正在做什么與應該做什么。

針對上面出現的問題，從以下幾個方面提出解決問題的幾點看法。

1 激發學生學習幾何的興趣

心理學認為：興趣是探究某種事物或進行某種活動的傾向。興趣是求知的起點，是思維的培養和能力的提高的內在動力。能夠激發學生的學習興趣，幾何的教學就成功了一半，做法有兩點：

（1）讓學生動手。把學過的定義、公理、定理與看圖、作圖有機地聯系起來，讓學生在動手中學習。例如，作三角形的三條角平分線，觀察這三條角平分線的位置，去認識定理“三角形的三條角平分線相交于一點”。這既包含了作圖、看圖，又了解了定義、定理等方面的知識，而且印象深刻。

（2）讓學生動腦。把學習圖形的性質和猜想與論證結合起來。例如，學習等腰三角形的性質，先作出等腰三角形的頂角平分線，去猜想圖形的性質。學生不難發現等腰三角形兩底角相等，繼而發現三線合一，進一步懂得等腰三角形是以頂角平分線為對稱軸的軸對稱圖形，然后讓學生對自己的猜想給出證明。這就要根據定義、公理、定理結合圖形的特點去思考問題。使運用舊知識與學習新知識融為一體，達到多種訓練的目的。這也是進行幾何定理教學的一種比較好的方法。

2 抓好基礎知識的學習和基本技能訓練

2.1 看圖練習

這既是基本技能的訓練，也是熟悉和掌握基礎知識的一種手段。如果對復雜圖形中的局部有哪些圖形看不清，就談不上利用圖形去證明。在教學中，我們可加強這些基礎的訓練。例如，觀察圖1中有幾條線段、幾條射線和圖2中有幾個角.這些看似簡單的練習既要運用學過的定義、公理和定理，還要較細致地觀察、分析以及掌握尋找的規律，這就促使學生平時注意觀察與分析圖形的特點，為證明打下基礎。（如圖1～圖3）

2.2 結合一些基本圖形，整理和記憶圖形的性質

在平面幾何里，有一些特殊的圖形能反映某種圖形的性質，稱為基本圖形。例如圖3，圖中不僅有直角相等，而且圖形的線段不僅反映了斜邊最長，還體現了計算面積的兩種方法；圖形中有三個互相相似的三角形，還可以記住勾股定理和射影定理。當然這些圖形的性質的認識并不是一次完成的，而是隨著學習的進度不斷添加新的內容。這樣做使知識與技能得到融合，不僅分類整理記憶了知識，而且通過記憶為數不多的若干基本圖形可以使學生產生一種幾何直覺能力，在解幾何題時根據給出的圖形迅速做出反應，聯想圖形的性質，找到解題的突破口。

2.3 重視作圖的作用

因為只有作出準確、規范的圖形才便于發現和猜想圖形的性質。因此要求學生必須尺規作圖。可以分幾個階段進行：①學習什么圖形就要求學生用尺規作出什么圖形。②要求學生對沒有圖形的題目作出符合題意的圖形，這樣的圖形可能有幾個。如：已知點P在直線AC上，且點F、D在直線AC的同側，∠APF=∠CPD，PE平分∠DPF，作出符合題意的圖形（如圖4），這樣的圖形有兩個。

③作出滿足若干條件的圖形。例如，作梯形ABCD，使AD=2 cm，底BC=4 cm，對角線AC=6 cm，BD=3 cm。（如圖5）

這個作圖要用到分析法和平移的思想，這是較之幾何證明題更具有綜合訓練性質的練習，更能鍛煉與發展學生的邏輯思維能力。

2.4 命題的教學

只要求學生明確以下幾點：（1）命題有真命題與假命題。公理和定理都是真命題。（2）一個命題一般都可以寫成條件命題（如果…，那么…）形式。（3）一個條件命題由題設與結論構成。（4）把條件命題的題設與結論對換，所得的為原命題的逆命題。（5）條件命題有四種形式：原命題是真，逆命題與否命題不一定是真，但互為逆否的兩個命題等價。

3 加強證明訓練

（1）定理教學的著眼點不是重復課本的證明過程，而是講清楚為什么這樣證明。教材中的定理大都只有證明過程而省略了分析過程，教學中要著重給學生講清這個證明是怎樣想出來的？這就要加強用分析法（由果索因）的證題方法的指導，這樣思路比較單一和清晰，容易為初學幾何的學生接受。endprint

（2）結合教材進度，選擇強化證明訓練的適當時機。如學習相交線與平行線之后、學完全等三角形以后、學完四邊形、相似三角形等等，都可以進行強化訓練，但每次訓練都應有具體的要求與目標。

（3）及時總結解題的經驗，指導學生選擇最好的證明方法。這包括一些常用的輔助線，有代表性的基本圖形、重要定理的使用方法，某類圖形的一般解法。然后抓住一題多解做文章，指導學生怎樣找到最簡單的方法。

（4）重要定理的教學。這主要是有計劃分層次地安排。如三角形中位線定理可分以下幾個層次進行：①定義與定理的內容及其基本應用；②在已知有線段中點的條件下考慮使用定理；③在沒有線段中點的條件下，根據圖形特點，作出中點，以中位線為輔助線幫助解題；④用變動的觀點觀察、分析三角形中位線定理與梯形中位線定理的相互關系以及使用它們的一般規律。

4 適當時候引導學生了解幾何的體系與結構

當學生學習平面幾何一段時間，有了一定的基礎，就可以適時引導、組織學生了解平面幾何的知識體系與知識結構，幫助學生從整體上把握平面幾何全貌以及各個部分之間的聯系與邏輯關系，構建平面幾何知識網綱，提升邏輯思維能力，掌握學習平面幾何的方法，讓學生得到了升華。

5 在教學中滲透近代研究幾何的觀點和科學的思維方法

平移、對稱、旋轉是近代研究幾何的觀點。在教學中，我們經常要求學生掌握幾種最基本的軸對稱圖形和中心對稱圖形，并以這些圖形為工具去指導學生學習、觀察和分析問題。例如：圖6是一個以直線PO為對稱軸的軸對稱圖形，利用它不僅可以記憶切線長定理、垂徑定理，還可以記憶過圓外一點引圓的切線的作法。

又如圖7，已知：在△ABC中，AD⊥BC，BD>DC。求證：AB>AC。

分析：要證AB>AC，可證∠C>∠B，只要以AD為對稱軸作出點C的對稱點C，因為BD>CD，故C必在B、D之間，所以∠ACD為△ABC的一個外角且等于∠C，從而得到∠C>∠B。

利用平移、對稱、旋轉來觀察、分析問題的著眼點是使學生較容易地發現怎樣作出輔助線解題，并從中領悟到輔助線必須具有目的性。

分解與組合、一般與特殊、靜止與變動、分析與綜合等都是常用的科學的思維方法。在教學中滲透這些思想方法，注意挖掘體現這些思想方法的內容，并結合具體內容幫助學生熟悉、理解這些方法具有深遠的意義。

參考文獻

[1] 李建才.中學數學教師教學基本功講座[M].北京師范學院出版社，1991.

[2] 吳憲芳，郭熙漢.數學教育學[M].華中師大出版社，1997.endprint

（2）結合教材進度，選擇強化證明訓練的適當時機。如學習相交線與平行線之后、學完全等三角形以后、學完四邊形、相似三角形等等，都可以進行強化訓練，但每次訓練都應有具體的要求與目標。

（3）及時總結解題的經驗，指導學生選擇最好的證明方法。這包括一些常用的輔助線，有代表性的基本圖形、重要定理的使用方法，某類圖形的一般解法。然后抓住一題多解做文章，指導學生怎樣找到最簡單的方法。

（4）重要定理的教學。這主要是有計劃分層次地安排。如三角形中位線定理可分以下幾個層次進行：①定義與定理的內容及其基本應用；②在已知有線段中點的條件下考慮使用定理；③在沒有線段中點的條件下，根據圖形特點，作出中點，以中位線為輔助線幫助解題；④用變動的觀點觀察、分析三角形中位線定理與梯形中位線定理的相互關系以及使用它們的一般規律。

4 適當時候引導學生了解幾何的體系與結構

當學生學習平面幾何一段時間，有了一定的基礎，就可以適時引導、組織學生了解平面幾何的知識體系與知識結構，幫助學生從整體上把握平面幾何全貌以及各個部分之間的聯系與邏輯關系，構建平面幾何知識網綱，提升邏輯思維能力，掌握學習平面幾何的方法，讓學生得到了升華。

5 在教學中滲透近代研究幾何的觀點和科學的思維方法

平移、對稱、旋轉是近代研究幾何的觀點。在教學中，我們經常要求學生掌握幾種最基本的軸對稱圖形和中心對稱圖形，并以這些圖形為工具去指導學生學習、觀察和分析問題。例如：圖6是一個以直線PO為對稱軸的軸對稱圖形，利用它不僅可以記憶切線長定理、垂徑定理，還可以記憶過圓外一點引圓的切線的作法。

又如圖7，已知：在△ABC中，AD⊥BC，BD>DC。求證：AB>AC。

分析：要證AB>AC，可證∠C>∠B，只要以AD為對稱軸作出點C的對稱點C，因為BD>CD，故C必在B、D之間，所以∠ACD為△ABC的一個外角且等于∠C，從而得到∠C>∠B。

利用平移、對稱、旋轉來觀察、分析問題的著眼點是使學生較容易地發現怎樣作出輔助線解題，并從中領悟到輔助線必須具有目的性。

分解與組合、一般與特殊、靜止與變動、分析與綜合等都是常用的科學的思維方法。在教學中滲透這些思想方法，注意挖掘體現這些思想方法的內容，并結合具體內容幫助學生熟悉、理解這些方法具有深遠的意義。

參考文獻

[1] 李建才.中學數學教師教學基本功講座[M].北京師范學院出版社，1991.

[2] 吳憲芳，郭熙漢.數學教育學[M].華中師大出版社，1997.endprint

（2）結合教材進度，選擇強化證明訓練的適當時機。如學習相交線與平行線之后、學完全等三角形以后、學完四邊形、相似三角形等等，都可以進行強化訓練，但每次訓練都應有具體的要求與目標。

（3）及時總結解題的經驗，指導學生選擇最好的證明方法。這包括一些常用的輔助線，有代表性的基本圖形、重要定理的使用方法，某類圖形的一般解法。然后抓住一題多解做文章，指導學生怎樣找到最簡單的方法。

（4）重要定理的教學。這主要是有計劃分層次地安排。如三角形中位線定理可分以下幾個層次進行：①定義與定理的內容及其基本應用；②在已知有線段中點的條件下考慮使用定理；③在沒有線段中點的條件下，根據圖形特點，作出中點，以中位線為輔助線幫助解題；④用變動的觀點觀察、分析三角形中位線定理與梯形中位線定理的相互關系以及使用它們的一般規律。

4 適當時候引導學生了解幾何的體系與結構

當學生學習平面幾何一段時間，有了一定的基礎，就可以適時引導、組織學生了解平面幾何的知識體系與知識結構，幫助學生從整體上把握平面幾何全貌以及各個部分之間的聯系與邏輯關系，構建平面幾何知識網綱，提升邏輯思維能力，掌握學習平面幾何的方法，讓學生得到了升華。

5 在教學中滲透近代研究幾何的觀點和科學的思維方法

平移、對稱、旋轉是近代研究幾何的觀點。在教學中，我們經常要求學生掌握幾種最基本的軸對稱圖形和中心對稱圖形，并以這些圖形為工具去指導學生學習、觀察和分析問題。例如：圖6是一個以直線PO為對稱軸的軸對稱圖形，利用它不僅可以記憶切線長定理、垂徑定理，還可以記憶過圓外一點引圓的切線的作法。

又如圖7，已知：在△ABC中，AD⊥BC，BD>DC。求證：AB>AC。

分析：要證AB>AC，可證∠C>∠B，只要以AD為對稱軸作出點C的對稱點C，因為BD>CD，故C必在B、D之間，所以∠ACD為△ABC的一個外角且等于∠C，從而得到∠C>∠B。

利用平移、對稱、旋轉來觀察、分析問題的著眼點是使學生較容易地發現怎樣作出輔助線解題，并從中領悟到輔助線必須具有目的性。

分解與組合、一般與特殊、靜止與變動、分析與綜合等都是常用的科學的思維方法。在教學中滲透這些思想方法，注意挖掘體現這些思想方法的內容，并結合具體內容幫助學生熟悉、理解這些方法具有深遠的意義。

參考文獻

[1] 李建才.中學數學教師教學基本功講座[M].北京師范學院出版社，1991.

[2] 吳憲芳，郭熙漢.數學教育學[M].華中師大出版社，1997.endprint