水翼剖面多目標粒子群算法優化

黃勝，任萬龍，2，王超

（1.哈爾濱工程大學船舶工程學院，黑龍江哈爾濱150001；2.山東省科學院海洋儀器儀表研究所，山東青島266001）

水翼剖面多目標粒子群算法優化

黃勝1，任萬龍1，2，王超1

（1.哈爾濱工程大學船舶工程學院，黑龍江哈爾濱150001；2.山東省科學院海洋儀器儀表研究所，山東青島266001）

船舶螺旋槳及舵均由水翼剖面組成，為了提高槳、舵的水動力性能，需要對水翼進行優化設計，以便得到水動力性能更好的槳及舵。提出一種基于線性權重處理的多目標優化算法，以降低阻升比和改善水翼表面壓力分布為優化目標，將其應用到多目標水翼優化中。分別選取不同的攻角、不同翼型和不同的翼型表達函數進行優化設計。優化后得到的新翼型相對于原始翼型，具有低阻生比和較低的最小負壓力系數，提高了翼型的升力效率和空泡性能。因此，驗證了提出的多目標粒子群算法能夠應用到多目標翼型優化設計的可行性。

水翼剖面；阻升比；壓力分布；升力效率；空泡性能；多目標粒子群算法；線性權重策略

現代船舶對螺旋槳要求增多，在滿足螺旋槳推進效率的基礎上，還要盡可能的抑制螺旋槳空泡的發生，以減小空泡誘發各種不利影響產生的機會。這就需要設計較高要求的螺旋槳葉剖面。因此在翼型設計中既要考慮升阻比，還要考慮抗空化性能成為設計翼型的目標，也就是多目標翼型設計。國內對氣動翼型的優化設計比較多，隋洪濤［1］等采用Pareto基因算法進行了翼型多目標的氣動優化設計；王洪亮［2］采用dpm-pso算法進行翼型多目標的氣動優化設計；李勝忠等［3］提出了基于CFD對水翼進行了多目標的優化設計；呼政魁［4］基于多學科設計優化框架軟件iSIHGT、CFD軟件Fluent以及遺傳優化算法對翼型的氣動特性進行優化設計。樊艷紅等［5］推導了Adjoint方程及其邊界條件，目標函數對設計變量梯度求解，并在BFGS擬牛頓優化算法中引入線搜索方法，提高了優化設計方法的魯棒性。

NACA機翼剖面在船用槳舵上應用較多，但該翼型的開發是以飛機機翼為應用目標，沒有考慮空泡問題。因而為了設計符合槳、舵水動力性能，特別是抗空泡特性的葉剖面，有必要對翼型進行多目標優化設計［6］。本文提出一種基于線性加權策略的多目標PSO（particle swarm optimization）算法，把其運用到水翼剖面優化設計之中，通過比較優化前后水翼的升力系數、阻力系數以及剖面的壓強分布等特性參數來分析本文所提方法的可行性。

1 多目標粒子群算法

1.1 基本粒子群算法

粒子群優化算法PSO源于對鳥群覓食行為的仿生研究，社會群體中的信息共享是推動算法的主要機制［7-8］。該算法把每個個體看作是n搜索空間中一個沒有質量和體積的粒子，每個粒子都有自己的位置xi、速度Vi及相應的由目標（代價）函數決定的適應值。與一般的進化算法相比，PSO概念簡單、容易實現，且需要調整的參數少，目前廣泛地應用于各種智能控制領域。

該模型可被抽象成以下形式：每個個體由其當前位置xi、速度Vi組成，其所能感知的最優位置由P表示，其中全局最優位置由Pgd（t）表示，而局部最優位置由Pid（i）表示。由以下2個公式模擬群體的運動演化過程：

式中：ω為慣性權值，反映了算法在全局搜索和局部搜索之間的選擇；c1、c2為非負常數，稱為認知和社會參數；r1、r2為［0，1］之間的隨機數；k為壓縮因子，表示為對粒子的飛行速度進行約束；通常還需要對粒子中每維的位置和速度變化設置一個范圍，如超過這個范圍則將其設置為邊界值，粒子群的初始位置和速度由隨機產生［9］。

1.2 多目標優化

多目標優化的數學模型的一般表達式為

式中：f1（x），f2（x），...，fn（x）為優化目標；gi（x）和hj（x）分別為不等式約束和等式約束［10］。

在大多數情況下，各個目標函數間可能是沖突的。這就使得多目標優化問題不存在惟一的全局最優解，使所有目標函數同時最優。但是，可以存在這樣的解：對一個或幾個目標函數不可能進一步優化，而對其他目標函數不至于劣化，這樣的解稱之為非劣最優解。

本文提出了基于線性加權策略的多目標PSO算法，用于求解多目標優化問題。算法在決策變量空間初始化一個粒子群，通過多目標優化問題中的各個目標函數分配權重，共同指導粒子在決策變量空間中的飛行，使其最終得到非劣最優解。圖1為極小化f1（x）、f2（x）時目標函數空間中搜索情況。如果只有目標函數f1（x）或f2（x），目標向量A將沿著v1、v2方向變化，則目標f1（x）搜索到B1或者f2（x）搜索到B2，而算法中目標函數f1（x）、f2（x）通過決策變量空間的粒子共同指導A的變化，所以A既不沿v1方向變化，也不沿v2方向變化，而是從v1、v2間某一f1（x）、f2（x）同時增大的方向變化，最終到達滿意解C［11］。

圖1 目標函數空間Fig.1 Objective function space

具體通過下述方式實現：首先，用多目標優化問題中的各個目標函數，找到每個粒子對應于各個目標函數的全局極值gBest［i］（其中，i＝1，2，...，n是目標函數的個數）和個體極值pBest［i，j］（其中，j＝1，2，...，n是粒子個數）。其次，在更新每個粒子的速度時，根據每個目標對整個群體的影響程度來判斷各個gBest［i］在全局極值gBest中所占的比重，得到全局極值gBest；同理應用到每個粒子的局部極值pBest［i，j］。

1.3 算法驗證

為了驗證本文提出算法計算多目標問題的有效性，本文選取測試函數（式（4））進行驗證。測試函數是Schaffer在文獻［12］提出的，大部分多目標優化問題算法都用其做測試以驗證算法的有效性。

對于PSO算法的參數，本文給定學習因子C1＝C2＝2，慣性權重從1.2線性減小到0.2。測試函數為

對于測試函數，學習因子和慣性權重的取值如前所述，目標函數分別為f1（x）與f2（x），由［－5，7］可以確定Vmax＝12。首先，隨機產生100個粒子的位置xi、速度Vi組成；其次，以f1（x）與f2（x）作為適應度函數分別求得在兩目標函數下每個粒子的個體極值pBest［1，i］和pBest［2，i］以及2個全局極值gBest［1］和gBest［2］；再次，由每個粒子的全局極值和個體極值并根據目標函數之間的權重關系更新每個粒子時所需要的2個極值gBest［1］和gBest［2］。最后，為了確定權重選取對優化結果的影響，本文選取3個不同權重，根據式（1）、式（2）實驗循環迭代了300次，300個粒子是滿足條件的解。由得到的300個解繪制的Pareto曲線如圖2所示。

圖2 不同權重分配的Pareto曲線Fig.2 Pareto curve of different weights

圖2 （a）中，2個目標的重要程度是相同的，粒子的全局最優位置和局部最優位置由2個目標的全局最優和局部最優的均值決定，Pareto曲線不偏向任何一個目標函數；在圖2（b）中，從圖中可以清楚的看出，函數f1（x）的權重大，則Pareto曲線偏向f2（x）；圖2（c）中，函數f2（x）的權重大，則Pareto曲線偏向f2（x）。由此可知，權重影響最佳粒子的進化方向，權重大，則最佳粒子偏向權重大的一個目標。因此要詳細了解2個目標函數的相互影響程度，確定好權重，才能得到期望得到的結果。

2 翼型外形描述

一般而言，可以根據所給條件在翼型資料中選擇一個作為優選初值的母型（baseline-foil），然后將優化設計的翼型坐標（x，y），用下列方程表示［3?：

式中：yup（x），ylow（x）分別表示翼型上下表面的縱坐標；youp（x），yolow（x）分別為原來的翼型上下表面的縱坐標；Ck為控制翼型變化的量范圍可?。郏?.000 2，0.000 2］或者根據當地的厚度坐標適當選擇合適的比例；fk（x）為所選用的函數［9］。

優化設計的性能與型函數的選取有關，不同的型函數對優化設計的質量和效率會產生一定程度的影響。常用的型函數有多項式型函數，Hicks-Henne型函數和Wagner型函數3種［13］。

1）Hicks-Henne型函數：

式中：當k＝2，3，4，5，6，7時，xk分別取0.15，0.3，0.45，0.60，0.75，0.9。在應用中按照粒子群優化數學模型的概念。

2）Wagner型函數：

式中：θ＝2 sin－1（x ）。

3）多項式函數：

式中：A＝max（0，1－2xk），B＝max（0，2xk－1）。該型函數以xk為分界點，把曲線光滑的連接起來，且二階導數連續。

翼型優化設計通常選取Hicks-Henne型函數來表示翼型，本文為了研究翼型型函數選取對優化計算結果的影響，分別對3種翼型型函數進行優化研究。由于粒子模型中有維數的概念，式（5）、式（6）中的Ck，k＝1，14就是粒子的維數。粒子的數目n就是可供候選的n組變化的水翼形狀，稱為種群規模。

3 設計算例和討論

3.1 目標函數的確定

選取2017年3月～2018年3月我院收治的早發冠心病患者240例作為研究對象，按照患者年齡將其分為對照組與實驗組。其中，對照組年齡60～80歲，平均年齡為（72.14±1.58）歲；實驗組年齡30～50歲，平均年齡為（40.14±1.06）歲。男113例，女127例，兩組患者一般資料比較，差異無統計學意義（P＞0.05）。

翼型優化設計中通常選取性能參數作為目標函數，如升力系數（最大）、阻力系數（最?。?、升阻比（最大）等［14］。當選取多個參數作為目標函數時，優化問題即多目標優化。本文選取阻升比（最?。┖蛪毫ο禂担ㄗ钚。┳鳛槟繕撕瘮担捎谝硇妥兓瘜毫ο禂涤绊戄^小，因此在優化過程中，經過作者多次嘗試，壓力系數的權重取為0.8，升阻比取為0.2為最佳狀態。為了研究本算法的可行性，本文分別取3組不同的算例，進行計算。分別為：不同攻角下的多目標優化設計、對稱翼型和非對稱翼型的多目標優化設計、不同翼型函數的多目標優化設計。

3.2 優化算例

3.2.1 不同攻角翼型優化設計

水翼進行優化時，水翼所處的條件對優化結果也會對優化結果產生一定的影響。為了分析這種影響，本文針對螺旋槳通用翼型NACA66mod，以阻升比和壓力面的最小負壓力系數為優化目標，應用本文所述多目標粒子群算法，結合面元法理論進行翼型的優化設計。本文選取攻角為0.5°和1.5°的NACA66mod翼型，進行優化。優化設計的目標：

限制條件為：升力系數不能降低和最大迭代次數。采用多目標粒子群算法進行優化，得到最終的全局最優和局部最優。

圖3為2種條件下優化前后翼型的形狀對比。從圖中可以看出，優化翼型比原始翼型厚度稍有減小，優化翼型稍有彎度，利于升力增加。尾部厚度稍有增加，利于表面壓力系數分布更加均勻。

空泡的產生主要是由于某處的壓力系數降至臨界值以下，導致爆發式的汽化，從而形成氣泡，導致壓力的驟變，從而對翼型產生破壞。優化過程就是將翼型的壓力系數降低，以減少產生空泡的概率。圖4給出了在2種條件下翼型表面壓力系數分布在優化前后的對比，x／C表示無因次弦長，Cp表示壓力系數。從圖4（a）中可以看出，優化翼型的最小負壓力系數的絕對值比原始翼型減小，產生空泡的可能性降低，能夠避免或延遲空泡的產生。圖4（b）中最小負壓力系數出現在翼型端部，本文選用面元法進行計算時，翼型的端部處理未進行倒圓處理，翼型壓力計算可能會有誤差，因此除去翼型端部，其他部位的最小負壓力系數的絕對值是減小的，仍可認為優化結果是有利于空泡性能的。

圖3 翼型優化前后對比Fig.3 Hydrofoil comparison of before and after optimization

圖4 優化前后壓力系數Cp的變化Fig.4 Cpcomparison of before and after optimization

從上述數值仿真對比來看，應用本文提出的多目標粒子群優化算法，翼型的阻升比得到降低，并且翼型表面的最小負壓力系數的絕對值降低。優化過程中，使得翼型的最小負壓力系數得到改善，減小了產生空泡的可能性，因此能夠很好地抑制空泡的產生；而且在優化后，阻升比得減?。ㄉ璞忍岣撸?，升力比原翼型升力增加。因此該方法是可行的。3.2.2 不同類型翼型優化設計

表1 翼型性能參數隨迭代次數變化Table 1 Hydrofoil performance parameters changing with the iterations

為了驗證該算法的通用性，本文選取2種通用水翼NACA0021和NACA66mod進行優化設計。算法的參數和目標函數都與前面一致。其中，NACA0021為對稱翼型，NACA66mod為非對稱翼型。對稱翼型為舵常用的翼型，非對稱翼型一般為槳葉常用的翼型。由于不同翼型有不一樣的水動力特性，優化的側重點也不一樣。NACA66mod的計算結果如前一節所示，得到了比較滿意的結果。采用NACA0021翼型作為原始翼型，進行優化計算，計算結果如圖5、6和表2。經過2種權重分配的優化設計，由計算數據可知，對稱翼型外形修改對阻升比影響很大，阻升比比原翼型降低40%以上，升力系數也增加40%以上，最小負壓力系數的絕對值比原翼型減小，空泡性能得到改善。

因此，對于對稱翼型來說，翼型的外形修改，阻升比和升力系數的影響相當顯著，然而最小負壓力系數的影響相對而言，改善并不是很大，但是仍然得到提高。綜合NACA0021和NACA66mod翼型的優化結果，驗證了本方法對對稱翼型和非對稱翼型的優化設計均可行。

3.2.3 不同型函數翼型優化設計

圖5 NACA0021壓力系數分布Fig.5 Cpof NACA0021

圖6 NACA0021翼型變化Fig.6 Hydrofoil comparison of NACA0021

表2 NACA0021翼型優化過程Table 2 Optimization process of NACA0021

翼型的外形描述有前述3種表示方法，分別為Hicks-Henne函數、Wagner函數和多項式函數。不同的翼型函數對優化結果會產生一定的影響，本文分別選取3種翼型的表示函數進行優化，探究翼型的表達函數對優化結果的影響。本次優化條件為，攻角為0.5°，進速為10 m／s。

表1、表3、表4分別是翼型函數為Hicks-Henne函數、多項式函數和Wagner函數的優化結果。從表中數據可以看出，在優化過程中，3種表達方式都得到了阻升比減小的結果，Wagner函數表達的翼型阻升比減小最為明顯，且迭代次數最少。其中，Hicks-Henne函數表達的翼型，在優化過程中升力系數得到提高，多項式函數表達的翼型則出現升力系數下降的情況，Wagner函數表達的翼型升力系數下降。

表3 多項式函數Table 3 Polynomial function

表4 Wagner函數Table 4 Wagner function

從圖7中壓力系數曲線可以得知：Hicks-Henne函數和多項式函數表達的翼型優化后的最小負壓力系數的絕對值減小，并且翼型平均壓力系數得到減小，有利于避免或延遲空泡的產生；Wagner函數表達的翼型壓力系數并無明顯改善，只在翼型的兩端發生急劇變化，這與Wagner函數表達形式有關。

由圖8中曲線可知，多項式翼型函數，在優化過程中翼型的厚度減小，Wagner翼型函數在改變翼型時，只改變了翼型的兩端，翼型的中部發生變化極小。前2種翼型表達方式都使得優化翼型，阻升比降低，空泡性能得到優化。其中，多項式函數表達的翼型，升力系數有所降低，有可能使得翼型的升力達不到要求，這是多項式函數表達翼型的一個缺陷。Wagner函數翼型過程中，雖然阻升比得到明顯變化，但是升力系數及壓力系數分布都不能滿足空泡性能的要求。因此，水翼優化常用的翼型表達方式選取Hicks-Henne函數。

圖7 不同翼型函數壓力系數分布Fig.7 Cpof different hydrofoil expressions

圖8 不同函數表示翼型Fig.8 Hydrofoil comparison of different expressions

4 結束語

本文基于線性權重策略的多目標粒子群優化算法，與面元法相結合，提出對翼型的多目標優化設計，并對該算法進行多目標優化問題的解決能力進行了驗證。經過本文算例表明：在不同優化條件下，采用Hicks-Henne函數族表示翼型，對不同的翼型，采用本文提出的方法進行翼型的多目標優化設計，優化后得到的新翼型相對于原始翼型，具有低阻升比和較低的最小負壓力系數，提高了翼型的升力效率和空泡性能。因此，經過優化后的翼型，可用于槳舵的設計，為槳舵的設計提供參考。

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Multi-objective particle swarm optimization of hydrofoil sections

HUANG Sheng1，REN Wanlong1，2，WANG Chao1
（1.College of Shipbuilding Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China；2.Institute of Oceanographic Instrumentation，Shandong Academy of Sciences，Qingdao 266001，China）

Both ship propeller and rudder are composed of hydrofoil sections.In order to improve the hydrodynamic performance of propeller and rudder，the design of hydrofoil sections needs to be optimized to get the propeller and rudder with better hydrodynamic performance.The multi-objective particle swarm optimization algorithm based on linear-weight strategy was proposed for reducing the drag-lift ratio and improving the hydrofoil surface pressure distribution.This algorithm was applied to the multi-objective hydrofoil optimization.Different attack angles，different hydrofoils and different hydrofoil expression functions were selected respectively for the optimization.The new hydrofoil after optimization had lower drag-lift ratio and minimum negative pressure coefficient than the original one，which improved the lift efficiency and cavitation performance of the hydrofoil.Therefore，the feasibility of applying multi-objective particle swarm optimization to multi-objective hydrofoil design was verified.

hydrofoil section；drag-lift ratio；pressure distribution；lift efficiency；cavitation performance；multi-objective particle swarm optimization；linear-weight strategy

10.3969／j.issn.1006-7043.201309097

http：／／www.cnki.net／kcms／doi／10.3969／j.issn.1006-7043.201309097.html

U662.3

A

1006-7043（2014）12-1451-07

2013-09-29.網絡出版時間：2014-12-04.

國家自然科學基金資助項目（51309061）；中央高?；究蒲袠I務費專項資金資助項目（HEUCFR1102）.

黃勝（1945-），男，教授，博生研究生；王超（1981-），男，講師，博士.

王超，E-mail：wangchao0104＠hrbeu.edu.cn.