阻抗梯度變化介質的聲學特性

楊德森，孫玉，胡博，韓闖，靳仕源

（哈爾濱工程大學水聲技術重點實驗室，黑龍江哈爾濱150001）

阻抗梯度變化介質的聲學特性

楊德森，孫玉，胡博，韓闖，靳仕源

（哈爾濱工程大學水聲技術重點實驗室，黑龍江哈爾濱150001）

阻抗梯度變化介質是從多層復合介質領域脫穎而出的一種聲學介質，它是通過選取具有不同特征阻抗的材料，從阻抗匹配的角度組成特性阻抗成梯度變化的介質，從而獲得更好的聲學性能。針對水中聲學介質的聲傳播問題，建立了阻抗梯度變化介質中的聲傳播模型，對其聲學特性進行了研究，推導了阻抗梯度變化介質的反射、吸聲系數的計算公式。通過仿真計算，將阻抗梯度變化介質與傳統(tǒng)均勻介質的聲學性能相對比，討論離散計算中介質層數的選取原則。制備了阻抗梯度變化介質，進行了水下聲學性能測量實驗，實驗結果表明：實驗介質的阻抗具有良好的連續(xù)性分布能夠滿足實驗要求，測量結果驗證了阻抗梯度變化介質更小的反射系數和更大的吸聲系數，為阻抗梯度變化介質在水聲工程中的應用提供了理論依據。

聲阻抗；梯度變化；聲學特性；反射系數；阻抗匹配；聲學介質

眾所周知，提高分層介質聲學性能最直接的方法就是使介質表面的輸入阻抗與自由空間波阻抗相匹配，同時要求介質具有很高的聲衰減性能［1-2］，但這2個條件本身就是矛盾的，對于均勻介質無法同時滿足。深入研究發(fā)現，當介質的阻抗或結構呈梯度變化時能夠滿足以上2個條件。據此，通過改變介質的結構、物理和化學特性的方法，人們設計了多種聲學介質，并對介質的聲學性能進行了研究。

Beretti［3］研究了具有4層結構的消聲層的聲學特性，發(fā)現在不增加消聲材料厚度的情況下，由多種材料組成的多層結構具有消聲和減振功能。Emer-y［4］對阻抗?jié)u變的多層結構進行了研究，指出在高頻時阻抗匹配可以減小反射系數，低頻時通過采用不同厚度、阻抗的多層結構可以解決反射系數的峰值問題。Andrew［5］針對不同高度會引起空氣中聲速和阻抗的變化這一現象，對多個高度下大氣層的聲傳播問題進行了研究。何祚鏞［6-7］對聲垂直入射時水下均勻和非均勻材料復合層的聲學特性進行了研究，提出了計算包含任意非均勻層的多層復合結構反射、吸聲系數的近似方法。朱金華［8］選取3種不同材料組合成梯度聚氨酯材料，研究了梯度聚氨酯介質中的聲吸收，但結果發(fā)現這種制作方法并非十分理想，不同阻抗的材料分界面會影響聲波的發(fā)射和透射。楊雪［9-10］采用澆注的方法制備了梯度聚氨酯，研究在全入射角下梯度聚氨酯的吸聲性能，但這種逐層澆注的方法仍然存在每層材料的阻抗不連續(xù)的問題。王源升［11-12］設計合成了多種不同配方的梯度高分子溶液，通過聲波在梯度層中被多次反射吸收實現聲波有效衰減，但這種溶液在實用性和可控性方面還存在很大問題。目前，人們的研究只限于對不同材料組成的梯度聲學介質的可行性研究，而對于阻抗梯度變化介質中聲傳播機理問題，人們沒有作更深入的研究，已有的方法也只是將介質分層，再將每層介質中的阻抗看成均勻的進行求解，而這種計算方法會存在很大誤差。在制備方面，理想的阻抗梯度變化介質的阻抗應連續(xù)梯度變化，內部不存在明顯的界面，從而使介質的性質和功能沿厚度方向也成梯度變化，但目前制備的梯度介質仍存在阻抗不連續(xù)和實用性差等問題。

本文以水中消聲材料為研究背景，設計了阻抗連續(xù)梯度分布的不均勻介質，達到介質表面阻抗匹配和內部高損耗的目的。建立了阻抗梯度變化介質中的聲傳播模型，對介質中聲傳播規(guī)律進行了研究，推導了任意阻抗分布條件下介質的吸聲系數、反射系數公式。進行仿真研究，將阻抗梯度變化介質結構與傳統(tǒng)均勻介質的聲學性能比較。最后設計制作了阻抗連續(xù)梯度變化介質，采用脈沖聲管法對其水下聲學性能進行了測量。

1 阻抗梯度變化介質中聲傳播理論

1.1 聲傳播規(guī)律

假設有2個半空間無限均勻介質，分別為介質I和介質III，阻抗分別為Z1和Z3，密度分別為ρ1和ρ3，聲速分別為c1和c3。在它們之間有介質II，介質II的特性阻抗Z（x）設計為在迎聲面處與Z1匹配，在介質另一側與Z3匹配，介質II的厚度為d。為滿足介質阻抗匹配和高衰減的要求，可以將介質II的阻抗值設計成在厚度方向上按一定規(guī)律呈連續(xù)變化。圖1為介質II的阻抗分布圖。設計時主要考慮以下幾點：1）介質表面阻抗匹配。只有先將聲波“引”進來，才有可能在介質內部對其進行吸收和衰減，因此應保證介質表面的輸入阻抗與自由空間的阻抗匹配；2）保證阻抗連續(xù)變化。應保證介質內部阻抗變化的連續(xù)性，減小介質內部聲波的反射；3）實現高衰減高吸收。當聲波被引入介質內部后，必須具有足夠大的聲能量損耗才能對聲波進行衰減吸收，因此將介質的阻抗設計成逐漸增大變化。最終使阻抗梯度變化介質獲得更小的反射系數更小和更大的吸聲系數。

圖1 介質阻抗梯度分布圖Fig.1 The gradient change of acoustic impedance

設平面波從介質I垂直入射，經介質II，從介質III透射出，除介質III外所有介質中都有2個波，其中一個波向正x方向傳播，另一個波向負x方向傳播，在介質III中只有一個向正x方向傳播的波。在阻抗梯度變化介質中阻抗是連續(xù)變化的，因此，為了便于計算需要進行離散化，將介質II分為N層，每層介質厚度為Δxi。需要注意的是，模型中介質II的阻抗是連續(xù)變化的，在離散后考慮到實際情況，每層介質中的阻抗、密度和聲速也應當是變化的。為保證離散后介質模型的聲學性能不發(fā)生改變，給出幾點假設：1）聲壓和法向質點振速在每層介質的分界面上是連續(xù)的，即分界面兩側介質的聲壓和法向質點振速分別相等；2）介質II的左側和右側表面分別處于半無限空間中；3）為方便計算不考慮二次反射及多次反射的情況。

由理想流體媒質中小振幅聲波運動方程可知：

式中：p為介質質點的聲壓，v為介質質點的速度，ρ為密度。當考慮介質具有粘滯性時［13］，可以得到聲壓p、質點振速v與位移ξ的關系為

式中：K為復體積模量，表示為

式中：KS為體積彈性系數，η為粘滯系數。已知理想流體介質中一維波動方程的解為

式中：c～為復聲速，p＋（x，t）代表了沿正x方向行進的波，p－（x，t）代表了沿負x方向行進的波。定義聲場中某位置的波阻抗Z（x）為

根據歐拉方程，式（5）可以得到質點振速為

一維波動方程的解為關于時間的正弦函數，利用分離變量法，方程解寫為

其中，

將式（8）中的v（x，t）代入式（1）中，由于分離變量后公式左右兩側都有時間因子，因此可以消去時間因子得到

將式（5）和式（7）代入式（10）得到

分別對式（2）和式（8）中的p（x，t）對t求偏導，聯立式（3）可得

將式（5）和式（7）代入到式（12）中得到

利用式（6），式（12）可簡化為

由式（11）與式（14），可分別得到

將式（5）寫成向量的形式：

對式（17）求x偏導再代入式（15）和式（16），簡化可以得到

式中：α（x）為介質阻抗的相對變化。

如果要求得微分方程式（18）的解，必須保證矩陣C（x）為常數，但在本模型中聲速c和α（x）都是隨x變化的，無法得到微分方程的解，因此必須對式（18）進行進一步變化。設聲波透過阻抗梯度變化介質的總時間為T，考慮到聲速不僅和傳播距離x有關，而且還與傳播時間t有關，因此可以進行變量替換，把C（x）轉化為隨時間t變化的函數。將式（18）變?yōu)?/p>

其中，當t＝0時，x＝0。

式中：

為求得微分方程式（21）的解，則β（t）一定為常數。當β（t）為常數時對式（22）積分，得到

式（23）說明，在本介質模型中為了保證式（21）有解，介質的阻抗應滿足關于t的指數分布。而對于式（23）可以這樣理解，即介質阻抗是密度和聲速的乘積，而介質中的聲速是關于聲波傳播時間t的函數，因此，也可以把介質阻抗看成是關于時間t的函數。

1.2 介質聲學性能

設離散后介質II中任意一層介質分界面位置為x＝xM和x＝xN，xN－xM＝Δx，每層介質的入射聲壓和透射聲壓可以通過傳遞函數G（xM，xN）聯系起來，即

對于式（24）將xM用x代替，可以得到最為普遍的表達式為

將式（25）對t求導可得

將式（25）代入式（21）中得到

對比式（26）和（27）可以得到

由1.1節(jié)內容可知，當介質阻抗為關于t的指數分布時微分方程有解，同理當介質阻抗為關于t的指數分布時上式的解可以表示為

式中：ω*＝ω2－β2。介質II總傳遞函數Gtotal為

其中，Gn是第n層介質的傳遞函數。設介質中聲速和密度也為關于t指數分布，即

由式（31）可以得到

整理得到

對于式（28），只有介質阻抗?jié)M足隨指數分布時微分方程才有解，而對于阻抗為一般分布時，卻不能得到解析解。為解決這一問題，使得任意阻抗分布也滿足微分方程的條件，可以采用分段近似擬合的方法。該方法是將阻抗梯度變化介質分為N層，當N的取值足夠大時，每層介質內的阻抗分布可由指數函數進行近似代替，并保證真實值與近似值的誤差非常小，整個介質阻抗分布再由每層介質中的阻抗進行擬合。因此對于第n層介質，已知介質中任意兩點的阻抗Z（xn）和Z（xn＋1），再根據式（23）就可以得到近似的指數函數為

式中：bn為第n層介質中近似指數函數的系數，Δt為第n層及之內聲波傳播時間。整理得到bn為

這樣通過分段近似擬合，任意阻抗分布都滿足式（27）微分方程解的存在條件，因此第n層介質的傳遞函數Gn表示為

以上給出了每層介質中的傳遞函數，考慮到因為在介質III中只有一個透射整個層系而向正x方向傳播的波，并且考慮梯度介質左右界面處的邊界條件，可以得到

式中：Mtotal＝Q1GtotalQ2，Q1和Q2為

定義

則介質II的透射系數和反射系數為

同樣，可以得到整個介質II的反射系數為

以上推導了阻抗梯度變化的非均勻介質中聲傳播特性公式。計算時首先確定聲波通過介質的總時間，再求得每個時間點所對應的位置xn，然后計算每層介質中近似指數函數的系數bn和傳遞矩陣Gn，最終得到介質的反射系數和透聲系數。

2 介質聲學性能仿真

2.1 方法驗證

利用Matlab軟件編制程序進行數值仿真。設圖1中的介質I為水，介質II為阻抗梯度變化的介質，介質III為鋼板，鋼板足夠厚可以看成半無限空間，水的特性阻抗為Z1＝1.5×106kg／（s·m2），鋼板的特性阻抗為Z3＝46.25×106kg／（s·m2）。將阻抗梯度變化介質結構與3種不同阻抗的均勻介質比較，對比其聲學性能。設平面波垂直入射，介質的厚度d均為0.1 m，離散層數為200層，均勻介質分別選取為橡膠、環(huán)氧樹脂和鉛，阻抗分別為1.67×106kg／（s·m2）、3.2×106kg／（s·m2）和16.9×106kg／（s·m2）。已知介質II的阻抗分布滿足指數分布：

圖2給出了4種介質的反射系數和吸聲系數對比結果。可以看到，3種均勻介質的聲學性能都具有頻率選擇性，聲學性能曲線作振幅相等的周期振蕩，而阻抗梯度變化介質的聲學性能曲線并沒有出現振蕩現象。在低頻段，阻抗梯度變化介質的聲學性能曲線與4種介質的基本相同；在1～10 kHz頻率范圍內，隨頻率增加，阻抗梯度變化介質的反射系數單調遞減至0.8，而吸聲系數單調增大至0.4；在10 kHz以上的高頻段，阻抗梯度變化介質的反射系數由0.8減小至0.2，反射系數要遠小于均勻介質，而其吸聲系數由0.4增大至0.9，吸聲系數要遠大于均勻介質，均好于3種均勻介質。分析原因：1）在低頻段，聲波波長遠大于介質厚度，無論是均勻介質還是阻抗梯度變化介質，介質都如同“不存在”，因此低頻段二者的聲學性能基本相同；2）在中高頻段，對于均勻介質，其阻抗接近于水的特性阻抗使得聲波容易進入介質內，但在分界面處，鋼板與均勻的特性阻抗相差很大，最大值達到30倍，此時聲波將發(fā)生強烈反射。而對于阻抗梯度變化介質，它的表面阻抗接近于水的特性阻抗，有利于聲波進入介質內部，在聲波前進方向上，每一層的阻抗都比前一層略大一個微小量，起到阻抗過渡作用，并利用逐漸增大的阻抗對聲波進行衰減，同時在分界面處，鋼板與阻抗梯度變化介質的阻抗比值較小，僅為Z3／Z（0.1）≈1.1，能夠對反射聲波進行抑制，實現減少反射增加吸聲的目的；3）阻抗梯度變化介質是由不同阻抗介質進行合理疊加而成，不同阻抗的介質能夠在聲學性能上形成互補，因此整體具有較寬的頻帶寬度。

圖2 Z3＝46×106kg／（s·m2）時4種介質聲學性能對比Fig.2 Comparison of acoustic characteristics of four media when Z3＝46×106kg／（s·m2）

為驗證模型的一般性，減小介質III的阻抗，使得Z3＝20×106kg／（s·m2），圖3為4種介質對比結果。通過對比可以發(fā)現，均勻介質的透聲面處的聲波反射減小，吸聲性能有所提高，但在中高頻段阻抗梯度變化介質仍能夠獲得較小的反射系數和較大的吸聲系數。總結以上結果表明：與傳統(tǒng)均勻介質相比，在不增加吸聲介質厚度的情況下，在中高頻段阻抗梯度變化介質具有更低的反射系數和更大的吸聲系數。

為了進一步驗證算法的正確性，設阻抗梯度變化介質阻抗分布的阻抗變化率為0，此時分別采用分層介質傳統(tǒng)算法和本文方法對同一均勻介質進行計算，結果如圖4所示。從圖中可知，當阻抗梯度變化介質的阻抗變化率為0時，阻抗梯度變化介質變?yōu)榫鶆蚪橘|，此時2種方法的計算結果是吻合的，這說明本文方法對于均勻介質也同樣適用，能夠驗證本文算法的正確性。

圖3 Z3＝20×106kg／（s·m2）時4種介質聲學性能對比Fig.3 Comparison of acoustic characteristics of four media when Z3＝20×106kg／（s·m2）

圖4 傳統(tǒng)方法和本文算法對比Fig.4 Comparison of traditional method and this method

2.2 介質層數影響

在離散計算中，為保證任意阻抗分布都能滿足微分方程求解要求，需要保證N的取值足夠大或每層介質厚度Δx足夠小，使得每層介質阻抗分布可由指數分布近似，進而介質的總阻抗分布可由每層介質的阻抗擬合而成。這就引出人們最為關心的一個問題，即N選取為多大或每層介質厚度為多小時才能保證近似值與阻抗真實分布的誤差足夠小，不會影響介質的聲傳播規(guī)律和聲學性能。以下對這一問題進行深入研究。

計算時首先將傳播時間均勻分為N份，再計算每個時間間隔內介質的厚度Δxn，由于每層介質中聲速是逐漸增大的，在相同時間間隔內所對應的Δxn值也是逐層增大的，如果采用分析每層介質厚度與波長比的方法將無法對其變化影響進行有效說明，因此這里考慮介質層數N的選取問題。圖5給出了N變化對介質聲學性能的影響。可以看到，當N＜100時反射系數曲線和吸聲系數曲線有明顯的變化；當N＞100時反射系數和吸聲系數曲線非常平坦，介質層數N由100增大到200時，介質的反射系數僅發(fā)生了0.005的變化。

圖5 介質層數對介質聲學性能影響Fig.5 The relationship between N and acoustic characteristics of media

這說明：當N＞100時指數近似的結果與實際阻抗分布之間的誤差已經很小，對介質的聲學性能影響也很小，此時N的選擇能夠滿足模型假設條件中足夠大的要求，介質的阻抗分布可由每層介質的阻抗近似擬合而成。

3 實驗研究與分析

為驗證理論和仿真研究的正確性，設計制作了阻抗梯度變化介質實驗樣品，采用脈沖聲管法對介質的水下聲學性能進行測量。

3.1 實驗介質的制備

首先，基于沉降法理論制備了阻抗梯度變化實驗介質。制備裝置主要包括：沉降玻璃管、沉降模具、干燥箱、萬能拉伸試驗機、保溫箱、混合器皿，選用鋁粉和鐵粉作為制備材料。具體制備步驟如下：1）將沉降玻璃管和沉降模具內表面擦洗干凈，并在沉降模具上均勻涂抹適量的脫模劑；2）稱量待包覆粉末和高分子粘結劑，高分子粘結劑為酚醛樹脂與烏洛托品的混合物；3）使粉末與粘結劑混合均勻，再將混料容器加熱繼續(xù)熱混；4）將包裹粉末迅速置入有機玻璃管中，管中盛滿水，粉末進行自然沉降，待粉末完全沉降后，將沉降管中的水排出；5）將沉降模具和沉積粉末置于干燥箱中進行干燥處理；6）將干燥后模具置于萬能拉伸試驗機下進行壓制，壓制出相應厚度；7）將模具固定后，放入保溫箱中在200℃下進行固化處理。制備后的阻抗梯度變化介質實物如圖6所示。

需要說明的是，本文目前掌握的制備技術和知識水平，很難解決由于材料互溶性不好導致固化后介質非常脆、容易斷裂的問題。因此，在制作時綜合考慮材料之間的互溶性、材料的阻抗差異、固化效果、硬度等因素，在保證介質阻抗連續(xù)變化的前提條件下提高了介質迎聲面的阻抗值，制作完畢后對介質的阻抗進行測量，介質的阻抗分布情況如圖7所示。可以看到，制備的實驗介質的阻抗值在6.3×106～16.05×106kg／（s·m2）范圍之間，介質具有明顯的梯度分布，隨著距離的增加介質阻抗分布并沒有出現突變，基本上呈連續(xù)變化，能夠滿足實驗要求。

圖6 制備的阻抗梯度變化介質Fig.6 The media with gradient change of impedance

圖7 介質的阻抗分布Fig.7 Acoustic impedance value of media

3.2 實驗數據處理

依據國家標準GB／T14369-93，采用脈沖聲管法對介質的水下聲學性能進行測量。整個測試系統(tǒng)由脈沖聲管、收發(fā)換能器、信號源、B＆K2713功率放大器、收發(fā)轉換裝置、B＆K2636測量放大器、B＆K1617帶通濾波器和示波器組成，實驗測量系統(tǒng)如圖8所示。脈沖聲管的聲硬末端采用大質量的圓形鋼塊，鋼塊厚度為5 cm，直徑為5.7 cm；選用聚氨酯作為對比樣品，直徑為5.6 cm，厚度為1 cm，梯度介質的厚度為1 cm。介質的特點，將制備的1號阻抗梯度變化介質與相同厚度的聚氨酯均勻介質相比較，對比結果如圖9所示。

圖8 實驗測量系統(tǒng)Fig.8 Experimental measurement system

圖9 1號梯度介質與聚氨酯對比結果Fig.9 Comparison of No.1 media and polyurethane

在圖9中，阻抗梯度變化介質與阻抗均勻分布的聚氨酯的聲學性能有很大不同，聚氨酯的聲學性能曲線呈周期振蕩，反射系數在0.65～0.95內波動變化，吸聲系數0.1～0.58內波動變化；與聚氨酯相比，在低頻段阻抗梯度變化介質的反射系數更小，吸聲系數更大，并且反射系數隨頻率的增大而減小，吸聲系數隨頻率的增大而增大，這與仿真結果得到的規(guī)律是相同的。值得注意的是，圖中阻抗梯度變化介質的聲學性能曲線的變化規(guī)律并沒有仿真結果給出的那么理想，曲線中會出現不規(guī)則的凹陷和凸起，分析原因，這可能是因為仿真模型是建立在阻抗連續(xù)變化的基礎上的，而在樣品介質制備過程中，由于制備工藝的原因會存在阻抗局部連續(xù)性不好的問題，此外實驗測量中某些頻率下反射波波形很不穩(wěn)定，信號幅值的讀取也會帶來誤差。

圖10為2號阻抗梯度變化介質與聚氨酯的測量結果。可以看到，圖10的實驗結果與圖9中具有很好的一致性，雖然阻抗梯度變化介質的阻抗分布發(fā)生了變化，但與均勻聚氨酯介質相比，阻抗梯度變化介質仍然獲得更小的反射系數，更大的吸聲系數，得到的實驗規(guī)律與仿真結果相同。以上結果表明，在不增加介質厚度的情況下，與傳統(tǒng)均勻介質相比，阻抗梯度變化介質具有更大的中高頻吸聲特性。

圖10 2號介質與聚氨酯對比結果Fig.10 Comparison of No.2 gradient media and polyurethane

4 結束語

本文對阻抗梯度變化介質的聲學性能進行了研究，建立了阻抗連續(xù)梯度變化介質中聲波傳播模型，推導了阻抗任意分布條件下介質中聲學性能公式。通過數值仿真在多種條件下驗證了本文方法，制備了阻抗梯度變化介質，對介質的阻抗分布情況進行了測量，進行了水中阻抗梯度變化介質的聲學性能測量實驗。研究發(fā)現：

1）在不增加吸聲介質厚度的情況下，在中高頻段阻抗連續(xù)梯度變化介質具有更小反射系數和更大的吸聲系數；

2）當N＞100時，介質層數能夠滿足模型假設條件中足夠大的要求，以保證阻抗變化的連續(xù)性；

3）制備的阻抗梯度變化介質能夠滿足實驗要求，證明了本文方法的可行性，實驗結果驗證了理論研究的正確性。

可以說本文的研究為阻抗梯度變化介質在實際工程中的應用提供了理論依據和實踐基礎，對水下減振降噪具有比較積極的意義。

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Acoustic characteristics of the media with gradient change of impedance

YANG Desen，SUN Yu，HU Bo，HAN Chuang，JIN Shiyuan
（Science and Technology on Underwater Acoustic Laboratory，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China）

The media with gradient change of impedance is an acoustic media which is developed from multiple layer media.Using the principle of impedance matching method，better acoustic properties based on the media with gradient change of impedance with different characteristic impedance of materials can be obtained.Applying this media to underwater acoustic engineering，the model of acoustic propagation in the media was established and the sound properties were investigated.The calculation formulas for the reflection and sound absorption coefficients of the media with gradient change of impedance were derived.Numerical simulations were also conducted.The acoustic properties of the media with gradient change of impedance were compared with traditional homogeneous media.The rules of the number of layers were discussed.The media with gradient change of impedance were prepared and the experiments in a pulse acoustic tube were carried out.The experimental results showed that the preparation media with continuous distribution of impedance can meet the need of experiment.The measure results verified smaller reflection coefficient and larger absorption coefficient of the media with gradient change of impedance，which provide a theoretical basis for the application of the media with gradient change of impedance in acoustic engineering.

acoustic impedance；gradient change；acoustic characteristic；reflection coefficient；impedance matching；acoustic media

10.3969／j.issn.1006-7043.201401002

http：／／www.cnki.net／kcms／doi／10.3969／j.issn.1006－7043.201401002.html

TB535

A

1006-7043（2014）12-1458-09

2014-01-02.網絡出版時間：2014-12-02.

長江學者和創(chuàng)新團隊發(fā)展計劃資助項目（IRT1228）；國家自然科學基金資助項目（11204049，11204050）；高等學校博士學科點專項科研基金資助項目（20122304120023）.

楊德森（1957-），男，教授，博士生導師；胡博（1980-），男，副研究員.

胡博，E-mail：kidd1105＠sina.com.