磁彈性理論中的守恒定律和路徑無關積分

劉宗民，周健生，宋海燕

（哈爾濱工程大學航天與建筑工程學院，黑龍江哈爾濱150001）

磁彈性理論中的守恒定律和路徑無關積分

劉宗民，周健生，宋海燕

（哈爾濱工程大學航天與建筑工程學院，黑龍江哈爾濱150001）

守恒定律與路徑無關積分是傳統力學中的重要工具，在位錯、斷裂力學和其他缺陷理論中具有重要的應用價值。由于力場和磁場的共同作用，以及磁彈性材料本身的耦合性質，所以磁彈性體具有更為廣泛的守恒定律和路徑無關積分。文中通過定義4種不同的熱力學函數，應用電磁場理論中的能量矩概念，建立了磁彈性理論中對偶形式的守恒定律，并由這些對偶形式的守恒定律得到了相應的路徑無關積分。文中建立的守恒定律和路徑無關積分，對研究磁彈性體中的缺陷理論將起到十分重要的作用。

磁彈性；能量矩；守恒定律；路徑無關積分

守恒定律與路徑無關積分是傳統力學中的重要工具，在位錯、斷裂力學和其他缺陷理論中具有重要的應用價值。最有影響的路徑無關積分是Rice的J積分［1］，Knowles和Sternberg的M積分［2］，以及Budiansky和Rice的L積分［3］。這些路徑無關積分都和能量釋放率相關［3-5］。利用勢能與余能的對偶關系［6］，在文獻［7-9］中給出了對偶形式的守恒定律和路徑無關積分。

近年來，隨著壓電、壓磁功能材料被廣泛應用，守恒定律與路徑無關積分的研究引起了廣大學者的關注。這些守恒積分的主要優點就是可以描述奇異性的不變特性。進一步發展這些不變積分，使其能夠用來表示其他物理場的奇異特性，如應力場和電磁場。壓電材料受到力場和電場的共同作用，且壓電材料本身的耦合性質，其能量泛函具有更為復雜的對偶形式［10］。王曉明運用循環積分以及能量矩的概念［11］，系統地建立了壓電介質的守恒定律和相應的路徑無關積分［12］。與電彈性材料類似，磁彈性材料受到力場和磁場的共同作用，可以建立與電彈性理論相同數量的守恒定律和路徑無關積分。

在本文中，定義了4種不同的熱力學函數，按照Eshelby提出的能量矩的概念，建立了磁彈性理論中的守恒定律和路徑無關積分。這對于研究磁彈性體中的缺陷理論將起到十分重要的作用。

1 磁彈性理論的基本方程

設磁彈性體的體積為V，其邊界為S，S＝Sσ＋Su＝SB＋Sψ，則磁彈性理論的基本方程如下［13-18］。

控制方程：

邊界條件：

本構關系：

對于磁彈性體，內能U、焓H、磁焓Hmag、彈性焓Hela的表達式為

式中：σij為應力，fi為體積力，εij為應變，ui為位移，Bi、Hi和ψ分別為磁感應強度、磁場強度和磁勢為表面力，ni為表面S的外法線方向余弦，為磁性系數，χkij、 γkij、μkij、βkij為壓磁系數，“，”表示對空間坐標的偏導數，帶有上劃線的量為已知量。

2 守恒定律和路徑無關積分

2.1 以內能表示的守恒定律和路徑無關積分

設泛函Γ1為

考慮到式（2）和（3），可得

將本構關系式（9）代入式（18），可得

由式（19）可以得到關于內能的第一守恒定律的微分形式：

其積分形式為

由于在上述推導中沒有用到線性假設，即式（20）和（21）對非線性材料也適用。由式（20）和（21）可設定磁彈性體關于內能的能量矩為

考慮到式（19）和（22），可得

考慮到式（2）、（4）和（9），泛函Γ1可以進一步表示為

將式（24）代入式（23），并利用式（1）和（3），可得

當fi＝0時，由式（25）可得到關于內能的第二守恒定律的微分形式：

其積分形式為

由式（21）和（27），可得到由內能表示的路徑無關積分：

2.2 以焓表示的守恒定律和路徑無關積分

設泛函Γ2為

考慮到式（1）和（4），可得

將本構關系式（10）代入式（31），可得

由式（32）可以得到關于焓的第一守恒定律的微分形式：

其積分形式為

由于在上述推導中沒有用到線性假設，即式（33）和式（34）對非線性材料也適用。由式（33）和式（34）可設定磁彈性體關于焓的能量矩為

考慮到式（32）和（35），可得

考慮到式（2）、式（4）和式（10），泛函Γ2可以進一步表示為

將式（37）代入式（36），并利用式（1）和式（3），可得

當fi＝0時，由式（38）可得到關于焓的第二守恒定律的微分形式：

其積分形式為

由式（34）和式（40），可得到由焓表示的路徑無關積分：

2.3 以磁焓表示的守恒定律和路徑無關積分

設泛函Γ3為

考慮到式（2）和式（4），可得

將本構關系式（11）代入式（44），可得

由式（45）可以得到關于磁焓的第一守恒定律的微分形式：

其積分形式為

由于在上述推導中沒有用到線性假設，即式（46）和式（47）對非線性材料也適用。由式（46）和式（47）可設定磁彈性體關于磁焓的能量矩為

考慮到式（45）和式（48），可得

考慮到式（2）、式（4）和式（11），泛函Γ3可以進一步表示為

將式（50）代入式（49），并利用式（1）和式（3），可得

當fi＝0時，由式（48）和式（51）可得到關于磁焓的第二守恒定律的微分形式：

其積分形式為

由式（47）和式（53），可得到由磁焓表示的路徑無關積分：

2.4 以彈性焓表示的守恒定律和路徑無關積分

設泛函Γ4為

考慮到式（1）和式（3），可得

將本構關系式（12）代入式（57），可得

由式（58）可以得到關于彈性焓的第一守恒定律的微分形式

其積分形式為

由于在上述推導中沒有用到線性假設，即式（59）和式（60）對非線性材料也適用。由式（59）和式（60）可設定磁彈性體關于彈性焓的能量矩為

Q4kj＝Γ4δkj＋σij，kui＋Bj，kψ（61）

考慮到式（58）和式（61），可得

考慮到式（2）、式（4）和式（12），泛函Γ4可以進一步表示為

將式（63）代入式（62），并利用式（1）和式（3），可得

當fi＝0時，由式（61）和式（64）可得到關于彈性焓的第二守恒定律的微分形式：

其積分形式為

由式（60）和式（66），可得到由彈性焓表示的路徑無關積分

3 結論

由于力場和磁場的共同作用，以及磁彈性材料本身的耦合性質，所以磁彈性體具有更為廣泛的守恒定律和路徑無關積分。本文通過定義4種不同的熱力學函數，建立了磁彈性體的守恒定律和相應的路徑無關積分。

1）由于內能和焓的自變量互為共軛變量，所以由內能和焓分別表示的守恒定律互為對偶形式；由于磁焓與彈性焓的自變量互為共軛變量，所以由磁焓和彈性焓分別表示的守恒定律互為對偶形式。

2）采用Noether定理的方法也可以建立相同形式的守恒定律和路徑無關積分，但采用能量矩的方法更為直接、簡單且容易理解。

［1］RICE J R.A path independent integral and the approximate analysis of strain concentration by notches and cracks［J］.Journal of Applied Mechanics，1968，35（2）：379-386.

［2］KNOWLES J K，STERNBERG E.On a class of conservation laws in linearized and finite elastostatics［J］.Archives for Rational Mechanics Analysis，1972，44（3）：187-211.

［3］BUDIANSKY B，RICE J R.Conservation laws and energyrelease rates［J］.Journal of Applied Mechanics，1973，40（1）：201-203.

［4］CHEN Yiheng.Advances in conservation laws and energy release rates［M］.Dordrecht：Kluwer Academic Publishers，2002：261-296.

［5］SONG Haiyan，FAN Tao.Energy principle in crack propagation［J］.Key Engineering Materials，2012，488-489：593-596.

［6］宋海燕，梁立孚，周軼雷.一般力學廣義變分原理的對偶形式［J］.哈爾濱工程大學學報，2004，25（6）：740-743，760.SONG Haiyan，LIANG Lifu，ZHOU Yilei.Dual form of generalized variational principles in general mechanics［J］.Journal of Harbin Engineering University，2004，25（6）：740-743，760.

［7］BUI H D.Dual path independent integrals in the boundaryvalue problems of cracks［J］.Engineering Fracture Mechanics，1974，6（2）：287-296.

［8］LI Xu.Dual conservation laws in elastostatics［J］.Engineering Fracture Mechanics，1988，29（2）：233-241.

［9］LIU Zongmin，MAO Jize，SONG Haiyan.J-integral and its dual form based on finite deformation theory［J］.Key Engineering Materials，2013，525-526：313-316.

［10］SONG Haiyan，LIU Zongmin，HUANG Yonghu.Dual form of generalized variational principles for piezoelectricity［J］.International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation，2013，14（3／4）：205-209.

［11］ESHELBY J D.The ealstic energy-momentum tensor［J］.Journal of Elasticity，1975，5（3／4）：321-335.

［12］王曉明，沈亞鵬.關于壓電介質的守恒方程和路徑無關積分［J］.力學學報，1995，27（1）：86-92.WANG Xiaoming，SHEN Yapeng.The conservation laws and path-independent integrals for piezoelectric media［J］.Acta Mechanica Sinica，1995，27（1）：86-92.

［13］MOON F C.Magneto-solid mechanics［M］.New York：John Wiley and Sons Inc，1984：53-86.

［14］梁立孚.力學和電磁學中的變分原理及其應用［M］.哈爾濱：哈爾濱工程大學出版社，2011：75-98.LIANG Lifu.Variational principles and applications in mechanics and electromagnetics［M］.Harbin：Harbin Engineering University Press，2011：75-98.

［15］SONG Haiyan，ZHOU Zhengong，LIANG Lifu，et al.Generalized variational principles of quasi-static electro-magneto-thermo-elasticity［J］.Key Engineering Materials，2010，419-420：153-156.

［16］宋海燕，李海波，梁立孚，等.準靜態電磁熱彈性體第二類H-R型廣義變分原理［J］.強度與環境，2010，37（2）：8-16.SONG Haiyan，LI Haibo，LIANG Lifu，et al.The second H-R generalized variational principles of quasi-static electro-magneto-thermo-elasticity［J］.Structure and Environment Engineering，2010，37（2）：8-16.

［17］宋海燕，梁立孚，周振功.準靜態電磁熱彈性體余能原理和廣義變分原理［J］.哈爾濱工程大學學報，2011，32（1）：33-37.SONG Haiyan，LIANG Lifu，ZHOU Zhengong.The complementary energy principle and generalized variational principles of quasi-static electro-magneto-thermo-elasticity［J］.Journal of Harbin Engineering University，2011，32（1）：33-37.

［18］Subcommittee on Magnetostrictive Materials of the Standards Activities Committee of the IEEE Ultrasonics，Ferroelectrics，and Frequency Control Society.IEEE standard on magnetostrictivematerials：piezomagneticnomenclature（IEEE Std 319-1990）［S］.New York：The Institute of E-lectrical and Electronics Engineers，1991.

Conservation laws and path-independent integrals in magnetoelasticity

LIU Zongmin，ZHOU Jiansheng，SONG Haiyan
（School of Aerospace and Civil Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China）

Conservation laws and path-independent integrals are important tools in traditional mechanics，which have important applications in dislocation，fracture mechanics and defect theory.Due to the coupling action between stress field and magnetic field，and the coupling properties of magnetoelastic material，magnetoelasticity has more extensive conservation laws and path-independent integrals.By defining four different thermodynamic functions，and based on the concepts of energy-momentum tensor in electro-magnetic theory，the conservation laws and their dual forms in magnetoelasticity are established.The corresponding path-independent integrals in magnetoelasticity can be obtained.The conservation laws and path-independent integrals established in this paper could play an important role in studying defect theory in magnetoelasticity.

magnetoelasticity；energy-momentum；conservation laws；path-independent integrals

10.3969／j.issn.1006-7043.201309088

http：／／www.cnki.net／kcms／doi／10.3969／j.issn.1006-7043.201309088.html

TK124

A

1006-7043（2014）12-1503-04

2012-12-05.網絡出版時間：2014-12-02.

國家自然科學基金資助項目（10272034）；中央高校基本科研業務費專項資金資助項目（HEUCF130205）；黑龍江省博士后科研啟動金資助項目（LBH-Q11142）.

劉宗民（1976-），男，副教授，博士；宋海燕（1974-），女，副教授，博士.

宋海燕，E-mail：songhaiyan＠hrbeu.edu.cn.