基于全量補償算法的結(jié)構(gòu)損傷識別

王鳳剛，凌賢長，2，徐訓，張鋒，趙瑩瑩

（1.哈爾濱工業(yè)大學土木工程學院，黑龍江哈爾濱150090；2.中國科學院寒區(qū)旱區(qū)環(huán)境與工程研究所凍土工程國家重點實驗室，甘肅蘭州730000）

基于全量補償算法的結(jié)構(gòu)損傷識別

王鳳剛1，凌賢長1，2，徐訓1，張鋒1，趙瑩瑩1

（1.哈爾濱工業(yè)大學土木工程學院，黑龍江哈爾濱150090；2.中國科學院寒區(qū)旱區(qū)環(huán)境與工程研究所凍土工程國家重點實驗室，甘肅蘭州730000）

頻率和振型是反應結(jié)構(gòu)動力特性的主要模態(tài)參數(shù)，文中對損傷結(jié)構(gòu)的頻率和振型進行了研究。通過實測損傷結(jié)構(gòu)的頻率和振型，利用矩陣理論修正理論有限元模型，使之與實測損傷結(jié)構(gòu)的頻率和振型一致；將修正的理論有限元模型表達成單元剛度矩陣與損傷因子的線性組合，把損傷識別問題轉(zhuǎn)化為組合系數(shù)的識別問題。給定損傷因子的合理取值范圍，用優(yōu)化方法求解損傷因子。通過對十跨桁架結(jié)構(gòu)的數(shù)值仿真，僅用結(jié)構(gòu)的前5階頻率和振型就能很好的識別結(jié)構(gòu)的損傷，且該方法不需要對實測振型進行歸一化處理，具有較強的實用性。

補償算法；損傷識別；頻率；振型；模態(tài)參數(shù)；損傷因子；歸一化

土木工程結(jié)構(gòu)隨著服役時間的增加、材料性能的退化及環(huán)境荷載的改變，導致結(jié)構(gòu)失效的可能性越來越大。為保證結(jié)構(gòu)安全，減少經(jīng)濟損失，在20世紀70年代就開展了結(jié)構(gòu)損傷診斷技術的研究工作［1］。結(jié)構(gòu)損傷識別是找出結(jié)構(gòu)損傷并給出損傷程度及位置［2］，為后續(xù)評估結(jié)構(gòu)安全提供依據(jù)，是健康監(jiān)測技術的關鍵。由于結(jié)構(gòu)振動信息易于提取，且結(jié)構(gòu)振動特性反應的是結(jié)構(gòu)全局信息，因此，基于振動信號的結(jié)構(gòu)損傷識別得到廣泛研究。

基于振動特性的系統(tǒng)損傷識別可分為無反演方法和反演方法。無反演方法一般是通過頻率、振型及其衍生量的動力指紋［3-5］來判斷結(jié)構(gòu)有無損傷。文獻［6］利用模態(tài)曲率的改變率，對500 kV輸電塔的損傷進行了識別。單元模態(tài)應變能損傷指標對開裂損傷和支座損傷有較好的識別效果［7］。楊棟等［8］定義了遞歸矩陣奇異值熵作為結(jié)構(gòu)的損傷特征指標。這一類方法難以進行損傷定位及損傷程度的確定。反演方法一般是通過優(yōu)化［9-10］或智能算法［11-13］等方法對結(jié)構(gòu)損傷進行判定，定位及損傷程度確定。結(jié)構(gòu)監(jiān)測只能監(jiān)測部分測點，隨機損傷定位向量法對桁架橋梁［14］和鋼框架結(jié)構(gòu)［15］有較好的識別效果。針對對稱結(jié)構(gòu)、對稱損傷識別不準的問題，文獻［16］提出了移動附加質(zhì)量的方法來改變結(jié)構(gòu)的對稱性。對于大型復雜結(jié)構(gòu)，測量信息嚴重不足，導致對結(jié)構(gòu)損傷識別的結(jié)果不可靠，侯吉林等［17］提出了局部主頻率子結(jié)構(gòu)損傷識別方法。結(jié)構(gòu)模型和測量響應均存在噪聲，噪聲的存在使結(jié)構(gòu)損傷識別存在數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象，Tikhonov正則化方法是改善矩陣病態(tài)常用的方法，文獻［18］通過在Tikhonov罰函數(shù)中引入光滑函數(shù)的方法，改善了噪聲對結(jié)構(gòu)損傷的影響。用概率的方法來研究噪聲對結(jié)構(gòu)損傷識別的影響是一種有效的方法。文獻［19］提出了基于Bayesian理論的信息融合技術來提高結(jié)構(gòu)損傷識別結(jié)果的準確性。

頻率和振型是結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)，能反應結(jié)構(gòu)的動力學特性，是一種全局變量。本文利用損傷結(jié)構(gòu)的部分頻率和振型信息，發(fā)展了一種基于優(yōu)化的損傷識別反演算法。

1 全量補償算法理論分析

1.1 結(jié)構(gòu)特征方程

理論有限元模型的無阻尼自由振動特征方程為

式中：M為結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣，K為結(jié)構(gòu)剛度矩陣，Φ＝[φ1，…，φi，…，φN]為結(jié)構(gòu)的振型矩陣，Λ＝diag(，…，，…，)為結(jié)構(gòu)的頻率平方組成的對角陣。令

則式（1）可寫為

1.2 理論有限元模型的頻率修正

結(jié)構(gòu)損傷后，結(jié)構(gòu)頻率發(fā)生變化，通過修正理論有限元模型，使得修正后的理論有限元模型的頻率值和損傷結(jié)構(gòu)的頻率值相同。將式（3）寫成分量形式并做等價變形有：

式中：λdi為損傷結(jié)構(gòu)的頻率。

將式（4）寫成矩陣形式有

式中：Λd＝diag(，…，…，)，是由損傷模型的頻率的平方組成的對角陣。

若僅已知一部分損傷結(jié)構(gòu)頻率，假定為n階頻率，則用損傷結(jié)構(gòu)的n階頻率替換理論模型的n階頻率，即

式中：λj為理論模型的頻率。令L＝SQ。則式（5）可表示為

式（8）是通過頻率對理論有限元模型的第一次修正，此時理論有限元模型已有n階頻率和實測損傷結(jié)構(gòu)的n階頻率相等。

1.3 理論有限元模型的振型修正

在用頻率修正理論有限元模型的基礎上，再次通過振型修正理論有限元模型，使其有n階振型和實測損傷結(jié)構(gòu)已知的n階振型相等。

根據(jù)矩陣理論，相似矩陣有相同的特征值。假設L和R是相似矩陣，即存在一個N×N階的可逆矩陣P，使L和R滿足：

下面構(gòu)造N×N階的可逆矩陣P。對式（8）進行等價變形有

式中：Φd＝[φd1，…，φdi，…，φdN]是損傷模型的振型矩陣，φdi表示損傷模型的第i階振型。

式（10）左右兩邊同時乘以P，將式（11）入式（10）有

式（9）代入式（12）有：

式中：損傷結(jié)構(gòu)振型矩陣Φd僅已知一部分振型，Φd中未知振型用理論模型的振型矩陣Φ中對應振型替代，即

式中：φj表示理論模型的第j階振型。由式（13）可求得通過頻率和振型修正的系統(tǒng)矩陣R：

由式（15）可知，用損傷結(jié)構(gòu)不做歸一化處理的實測振型修正理論有限元模型的振型，與用損傷結(jié)構(gòu)歸一化處理的實測振型修正理論有限元模型的結(jié)果一致，說明對損傷結(jié)構(gòu)實測振型不做歸一化處理，對理論有限元模型的修正無影響。在對損傷結(jié)構(gòu)振型的測試過程中，得到的振型往往不是歸一化的振型，上述對理論有限元模型振型的修正不要求振型歸一化，為對實測數(shù)據(jù)的處理帶來很大方便。

1.4 剛度矩陣對稱性修正

通過對理論有限元模型的頻率修正和振型修正，使修正后的結(jié)構(gòu)R有n階頻率和振型與損傷結(jié)構(gòu)的實測n階頻率和振型精確相等。修正后結(jié)構(gòu)的頻率為Λd，振型為Φd。若假定實際結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣和理論有限元分析一致，則對理論有限元模型修正后結(jié)構(gòu)的剛度矩陣為

Km為結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣，必須滿足對稱性的要求，令

1.5 構(gòu)造優(yōu)化目標函數(shù)

結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣由單元剛度矩陣線性組合。α＝(α1，…，αi，…，αN)為組合系數(shù)。αi的取值在[01]。當αi＝0，表示第i個單元完全損傷；當αi＝1，表示第i個單元完好。為了求解組合系數(shù)α，構(gòu)造優(yōu)化函數(shù)，使式（17）的Km與損傷結(jié)構(gòu)剛度矩陣真值Kd的差值的Frobenius范數(shù)最小。損傷結(jié)構(gòu)的剛度矩陣Kd可表示為

令ε為Km和Kd之間的誤差函數(shù)，以誤差函數(shù)ε達到最小建立目標函數(shù)：

約束條件為

ubi和tbi為αi的上下界限值，若能大概估計單元剛度矩陣的變化范圍，則對αi的搜索范圍變小，減小計算量，對識別結(jié)果的精度也有提高。

1.6 算法終止條件

設α＝(α1，…，αi，…，αN)為滿足式（19）和式（20）的解，若下式成立：

式中：εd[]為誤差限值。由式（21）有

式中：為損傷結(jié)構(gòu)剛度矩陣Kd的一個最優(yōu)估計。若式（21）不成立，則令

將式（23）計算出來的K代回式（1）重新計算Φ和Λ，直至式（21）滿足或達到預設的循環(huán)次數(shù)退出迭代。以迭代循環(huán)次數(shù)中min(ε)對應的α＝(α1，…，αi，…，αN)值作為損傷結(jié)構(gòu)剛度矩陣的最優(yōu)識別值，識別的損傷結(jié)構(gòu)剛度矩陣用式（22）計算。

2 數(shù)值仿真

為驗證上述算法的有效性，建立了一個十跨平面桁架的數(shù)值模型（圖1）。圖1中節(jié)點處數(shù)字表示節(jié)點編號，共20個節(jié)點；括號中數(shù)字表示桁架桿件單元編號，共37根桿件單元。該平面桁架結(jié)構(gòu)有36個自由度。表1給出了平面桁架結(jié)構(gòu)桿件的線剛度、線密度及單元桿件與x軸的夾角。

圖1 平面桁架結(jié)構(gòu)計算模型Fig.1 The calculation model of plane truss structure

桁架結(jié)構(gòu)單元損傷通過折減單元線剛度來模擬，假定所有桿件均有不同程度的損傷，單元損傷參數(shù)如表2所示。通過測量結(jié)構(gòu)響應，用隨機子空間［20］方法獲取損傷結(jié)構(gòu)前5階頻率及振型，頻率如表3所示，圖2為損傷結(jié)構(gòu)振型。算法誤差限值[εd]設為1，最大循環(huán)次數(shù)為500次，通過誤差限值[εd]和最大循環(huán)次數(shù)避免程序陷入死循環(huán)。若程序是由循環(huán)次數(shù)控制退出循環(huán)，在500次循環(huán)中，找出誤差值ε最小時對應的識別剛度作為最終識別值。

在表2的損傷工況下，結(jié)構(gòu)頻率變化能達到10%左右，說明頻率對結(jié)構(gòu)損傷較為敏感。圖2給出了完好結(jié)構(gòu)和損傷結(jié)構(gòu)的前5階振型，從圖中可以看出，振型的變化率沒有頻率變化率明顯。表4給出了損傷結(jié)構(gòu)線剛度真值和識別值。從表4中可以看出，最大識別誤差不超過3%。

表1 桁架結(jié)構(gòu)材料參數(shù)和幾何參數(shù)Table 1 Material and geometrical properties of the truss

表2 結(jié)構(gòu)損傷工況Table 2 Damage case of the truss

表3 結(jié)構(gòu)自振頻率Table 3 The frequency of the truss

圖2 損傷結(jié)構(gòu)模態(tài)振型Fig.2 The mode shape of the damaged structure

表4 損傷結(jié)構(gòu)線剛度真值及識別值Table 4 True value and identification value of damaged structure linear stiffness

3 結(jié)論

本文提出了基于全量補償?shù)膿p傷識別方法，通過十跨桁架結(jié)構(gòu)驗證了算法的有效性，并得到如下主要結(jié)論：

1）振型對損傷的敏感程度比頻率低，為保證結(jié)果的準確性，結(jié)構(gòu)損傷達10%以上識別效果較好；

2）數(shù)值仿真假定了結(jié)構(gòu)所有桿件均有不同程度的損傷，識別的最大誤差不超過3%，表明算法對損傷桿件數(shù)目無限制；

3）對頻率和振型的修正采用的是矩陣理論中構(gòu)造特征值和特征向量的方法修正，在這過程中無誤差引入，因此，即使頻率和振型對損傷不太敏感也能取得較好的識別效果；

4）數(shù)值仿真僅利用了結(jié)構(gòu)的前5階頻率和振型，對于實際問題，結(jié)構(gòu)的前幾階頻率和振型比較容易獲取，且前幾階頻率和振型比較準確；

5）算法對振型不要求歸一化處理，對于實際問題很難對振型進行歸一化處理，因此，該方法具有較強的實際操作性。

［1］CAWLEY P，ADAMS R D.The location of defects in structures from measurements of the natural frequencies［J］.Journal of Strain Analysis，1979，14（2）：49-57.

［2］KIM H，MELHEM H.Damage detection of structures by wavelet analysis［J］.Journal of Engineering Structures，2004，26（3）：7-14.

［3］SALAWU O S.Detection of structural damage through changes in frequency：a review［J］.Engineering Structures，1997，19（9）：718-723.

［4］VESTRONI F，CAPECCHI D.Damage detection in beam structures based on frequency measurements［J］.Journal of Engineering Mechanics，2000，126（7）：761-768.

［5］李范春，李成.結(jié)構(gòu)損傷識別的數(shù)值模擬［J］.船舶力學，2006，10（5）：119-126.LI Fanchun，LI Cheng.Numerical simulation of the structural damage identification［J］.Journal of Ship Mechanics.2006，10（5）：119-126.

［6］劉春城，劉佼，李宏男.基于支持向量機的大型輸電鐵塔損傷識別方法研究［J］.應用基礎與工程科學學報，2010，18（4）：616-625.LIU Chuncheng，LIU Jiao，LI Hongnan.Damage identification for transmission tower based on support vector machines［J］.Journal of Basic Science and Engineering，2010，18（4）：616-625.

［7］宗周紅，褚福鵬，牛杰.基于響應面模型修正的橋梁結(jié)構(gòu)損傷識別方法［J］.土木工程學報，2013，46（2）：115-122.ZONG Zhouhong，CHU Fupeng，NIU Jie.Damage identication methods of bridge structures using reponse surface based on finite element model updating［J］.China Civil Engineering Journal，2013，46（2）：115-122.

［8］楊棟，任偉新.基于遞歸矩陣奇異熵的損傷識別方法［J］.振動與沖擊，2012，31（3）：60-63.YANG Dong，REN Weixin.Structure damage detecting using singular entropy of recurrence matrix［J］.Journal of Vibration and Shock，2012，31（3）：60-63.

［9］杜思義，殷學綱，陳淮.基于矩陣攝動理論識別結(jié)構(gòu)損傷的篩選法［J］.應用力學學報，2008，25（1）：75-78.DU Siyi，YIN Xuegang，CHEN Huai.Sieve method for identifying damage based on matrix perturbation theory［J］.Chinese Journal of Applied Mechanics，2008，25（1）：75-78.

［10］REN W X，ROECK G.Structural damage identification using modal data.1：simulation verification［J］.Journal of Structural Engineering，2002，128（1）：87-95.

［11］ELKORDY M F，CHANG K C，LEE G C.Application of neural networks in vibrational signature analysis［J］.Journal of Engineering Mechanics，1998，120（2）：251-264.

［12］唐和生，薛松濤，陳镕，等.序貫最小二乘支持向量機的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)識別［J］.振動工程學報，2006，19（3）：382-387.TANG Hesheng，XUE Songtao，CHEN Rong，et al.Sequential LS-SVM for structural systems identification［J］.Journal of Vibration Engineering，2006，19（3）：382-387.

［13］孫繼廣.一類反特征值問題的最小二乘解［J］.計算數(shù)學，1987，9（2）：206-216.SUN Jiguang.Least-squares solutions of a class of inverse eigenvalue problems［J］.Mathematica Numerical Sinica，1987，9（2）：206-216.

［14］安永輝，歐進萍.大跨度鋼桁橋模型的精細化損傷定位模擬和實驗研究［J］.計算力學學報，2011，28（5）：730-736.AN Yonghui，OU Jinping.Experimental and numerical studied on precise damage localization of a long-span steel truss bridge model［J］.Chinese Journal of Computational Mechanics，2011，28（5）：730-736.

［15］王秋萍，郭迅.基于損傷部位向量法的鋼框架損傷識別研究［J］.世界地震工程，2012，28（1）：50-55.WANG Qiuping，GUO Xun.DLV-based research on damage identification of steel frame［J］.World Earthquake Engineering，2012，28（1）：50-55.

［16］鄧昌，顧培英，湯雷.基于移動附加質(zhì)量的損傷診斷技術［J］.振動與沖擊，2010，29（7）：135-138.DENG Chang，GU Peiying，Tang Lei.Damage diagnosis based on natural frequencies of a structure by adding known masses［J］.Journal of vibration and Shock，2010，29（7）：153-138.

［17］侯吉林，歐進萍，JANKOWSKI L.基于局部主頻率的子結(jié)構(gòu)損傷識別研究與實驗［J］.工程力學，2012，29（9）：99-105.HOU Jilin，OU Jinping，JANKOWSKI L.The study and experiment of substructure damage identification based on local primary frequency［J］.Engineering Mechanics，2012，29（9）：99-105.

［18］張純，宋固全，吳光宇.改進的正則化模型修正方法在結(jié)構(gòu)損傷識別中的應用［J］.工程力學，2012，29（2）：29-43.ZHANG Chun，SONG Guquan，WU Guangyu.Structure damage identification by finite element model updated with improved tikhonov regularization［J］.Engineering Mechanics，2012，29（2）：29-43.

［19］孫曉丹，歐進萍，侯鋼領，等.基于Bayesian估計的整體和局部信息融合的損傷識別［J］.工程力學，2012，29（6）：234-239.SUN Xiaodan，OU Jinping，HOU Gangling，et al.Damage Identification based on Baysian fusion of global and local information［J］.Engineering Mechanics，2012，29（6）：234-239.

［20］張笑華，任偉新，禹丹江.結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別的隨機子空間法［J］.福州大學學報，2005，33（10）：46-49.ZHANG Xiaohua，REN Weixin，YU Danjiang.Structural modal parameter identification appling stochastic subspace identification［J］.Journal of Fuzhou University，2005，33（10）：46-49.

Damage identification of a structure based on the total compensation method

WANG Fenggang1，LING Xianzhang1，2，XU Xun1，ZHANG Feng1，ZHAO Yingying1
（1.Civil Engineering Department，Harbin Institute of Technology，Harbin 150090，China；2.State Key Laboratory of Frozen Soil Engineering，Cold and Arid Regions Environmental and Engineering Research Institute，China Academy of Sciences，Lanzhou 730000，China）

The frequency and vibration mode were the main modal parameters representing dynamic characteristics of structure，and the frequency and vibration mode of the damaged structure were studied in this paper.First，through measuring the frequency and vibration modes of the damaged structure，a correction theory of matrix was used was used to modify the finite element model，which was consistent with the frequency and vibration modes measured from the damaged structure.Secondly，the finite element model（FEM）of the revision theory can be expressed by a linear combination of the element stiffness matrix and the damage factor.The damage identification problem transformed into the solution of the combination coefficients.Next，the range of reasonable values of damage factors was given and the damage factors could be solved by the optimization method.Through the numerical simulation of a ten-span truss structure，the structural damage could be identified significantly by merely using frequencies and vibration modes of the first five orders.Furthermore，the method does not need to normalize the measured vibration modes，but has strong applicability.

compensation method；damage identification；frequency；vibration mode；modal parameter；damage factor；normalization

10.3969／j.issn.1006-7043.201308018

http：／／www.cnki.net／kcms／detail／23.1390.U.20141204.1513.001.html

TU435；TU317

A

1006-7043（2014）12-1519-05

2013-08-09.網(wǎng)絡出版時間：2014-12-04.

國家自然科學基金資助項目（51174261，51078111）.

王鳳剛（1975-），男，博士研究生；凌賢長（1963-），男，教授，博士生導師.

王鳳剛，E-mail：wang_fenggang＠163.com.