擾動變分不等式的序下半連續性

胡志軍，趙素平

(1.廣西師范大學數學與統計學院，桂林 541004;

2.重慶大學數學與統計學院，重慶 401331)

擾動變分不等式的序下半連續性

胡志軍1，趙素平2

(1.廣西師范大學數學與統計學院，桂林 541004;

2.重慶大學數學與統計學院，重慶 401331)

對向量優化準則下集值映射(SMVOR)半連續性和集優化準則下集值映射(SMSOR)序半連續性進行了研究。通過舉例指出了SMVOR下半連續與SMSOR序下半連續沒有關系，在一定條件下由SMVOR上半連續性得到了SMSOR序下半連續。重點討論了集序關系意義下廣義向量擬變分不等式(GVQVI)的序下半連續性。通過對集序關系意義下序下半連續的進一步研究，得到了擾動變分不等式問題的解集在空間上序下半連續的充分條件，并用不同方法證明了該充分條件。

集序關系;序下半連續;擾動變分不等式;半連續

Lions等建立了初期變分不等式理論，Giannessi在有限維空間中引入了向量變分不等式。基于向量優化的發展，向量變分不等式問題在理論和應用上日益完善［1-2］，被廣泛應用于工程、經濟等領域。向量變分不等式的穩定性、適定性和半連續性等被廣泛研究［3-5］。集優化問題是以函數的每一個像集作為一個整體來比較像集間的優劣關系。Kuroiwa在文獻［6-7］中介紹了多種集序關系及其性質。Jahn在文獻［8］中引入了新的集序關系，并給出了序下半連續的概念。Madeda在文獻［9］中給出了集值映射在整個空間序半連續的條件。

1 預備知識

2 SMVOR半連續與SMSOR≤l序下半連續的關系

3 集序關系意義下的變分不等式問題

3.1 擾動廣義向量變分不等式模型

3.2 下面討論≤l序關系意義下一種特殊的變分不等式問題

4 結束語

本文給出了變分不等式在集序關系意義下的表示，并用2種方法證明了擾動變分不等式在空間上≤l下半連續的充分條件，為繼續研究集序關系意義下的變分不等式開拓了思路。

［1］Chen G Y，Li S J.Existence of Solutions for a Generalized Vector Quasivariational Inequality［J］.Optim Theory Appl，1996，90 (1):321-334.

［2］Yang X Q，Goh C J.On Vector Variational Inequalities:Application to Vector Equilibria［J］.Optim.Theory Appl，1997，95(2): 431-443.

［3］Li S J，Zhang W Y.Hadamard Well-posed Vector Optimization Problems［J］.Optim Theory Appl，2010，46:383-393.

［4］曾靜.向量優化及相關問題解的存在性和適定性研究［D］.重慶:重慶大學，2011.

［5］陳光亞.向量優化問題某些基礎理論及其發展［J］.重慶師范大學學報:自然科學版，2005，22(3):6-9.

［6］Kuroiwa D.On Set-valued Optimization［J］.Nonlinear Anal，2001，47:1395-1400.

［7］Kuroiwa D.The natural Criteria in Set-valued Optimization［J］.RIMS Kokyuroku，1998，1031:85-90.

［8］Jahn J，Ha T X D.New Order Relations in Set Optimization［J］.Optim.Theory Appl，2011，148:209-236.

［9］Maeda T.On Optimization Problems with Set-valued Objective Maps:Existence and Optimality［Z］.Optim Theory Appl，2011.

［10］Aubin J P，Ekland I.Applied Nonlinear Analysis［M］.New York:NY，1984:518.

［11］Hogan W W.Point-to-set Maps in Mathematical Programming［J］.SI AM Rev，1973，15:591-603.

(責任編輯 劉舸)

Lower Semicontinuity with Set-relations of Perturbed Generalized Vector Quasivational Inequality Problems

HU Zhi-jun1，ZHAO Su-ping2
(1.College of Mathematics and Statistics，Guangxi Normal University，Guilin 541004，China; 2.College of Mathematics and Statistics，Chongqing University，Chongqing 401331，China)

The semicontinuity of set-valued mapping under set-valued optimization rules and the lower semicontinuity with set-relations under set optimization rules have been studied.By some examples，one can find the semicontinuity of set-valued mapping under set-valued optimization rules has no relations with the lower semicontinuity with set-relations under set optimization rules.It is easy to get the relation between the upper semicontinuity with the lower semicontinuity with set-relations.In addtition，the key point is discussing the lower semicontinuity with set-relations of GVQVI.By analyzing the lower semicontinuity with set-relations，one can conclude the sufficient conditions of the lower semicontinuity with set-relations of perturbed GVQVI and prove the sufficient condition by two different ways.

set-relations;lower semicontinuity with set-relations;perturbed vector vational inequality;semicontinuous

O175.8

A

1674-8425(2014)06-0122-04

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2014.06.024

2013-12-21

廣西教育廳科研立項項目(201106LX047)

胡志軍(1981—)，男，四川成都人，碩士研究生，講師，主要從事最優化理論和分形圖形壓縮方面的研究。

胡志軍，趙素平.擾動變分不等式的序下半連續性［J］.重慶理工大學學報:自然科學版，2014(6):122 -125.

format:HU Zhi-jun，ZHAO Su-ping.Lower Semicontinuity with Set-relations of Perturbed Generalized Vector Quasivational Inequality Problems［J］.Journal of Chongqing University of Technology:Natural Science，2014 (6):122-125.