化歸思想方法的內涵、分類及特征

周長林 高曉萍

摘 要： 數學思想方法是人們從具體數學內容中提煉出來的對數學知識的本質認識，是在研究和解決問題的過程中所采用的手段、途徑和方法。化歸思想方法作為中學數學最基本的思想方法一直受到廣大數學教育工作的高度重視。但是究竟如何在中學數學教學中把它落到實處，使得學生真正懂得并會運用它，任重而道遠。

關鍵詞： 化歸思想方法 內涵 分類 特征

數學思想是教材體系的靈魂，它支配著整個教材，使數學概念、命題、問題的解決相互緊靠，相互支持，從而組成一個完整的聯合體系。化歸思想方法融入數學教材的基礎知識之中，并不像定義、定理、公式、法則那樣具體。由于教材邏輯體系的限制，不能完整地表達數學知識中的化歸思想方法，教師要把隱含于具體知識中的化歸思想方法的內涵、分類、特征明朗化、清晰化，這樣既有利于教師的教又有利于學生學習掌握。化歸方法在中學數學教材中出現的頻數相當大，滲透在中學階段的代數、幾何的教學中。

一、化歸思想方法的內涵

化歸思想方法簡稱為“化歸”。化歸從字面上理解就是轉化和歸結的意思具體地說，就是把繁難、生疏的問題，通過一定的數學過程轉化為簡易、熟悉的題，從而使原問題得以解決的措施、方法和手段。

在解決實際問題時，如何實現轉化，如何尋求最佳化歸途徑，并沒有唯一和固定的模式。因為化歸的對象本身具有多樣性，應當針對不同類別的化歸對象，實施有針對性的化歸方法，所以有必要簡要了解化歸分類。

化歸變換是數學問題解決中最基本、最重要、最實際的思想方法。化歸即是轉化，將一個問題變形，使其歸結為另一已經解決的問題，再返回求得原問題的解答。于是一般化、特殊化、典型化、有向化、退進化（以退求進）、遞歸化、極端化、具體化、模型化、簡單化、熟悉化、分解化、割補化、數形轉化、等價轉化、降維轉化、互逆轉化，還有消元、降次、放縮，曲化為直、無限化為有限、變量化為常量、隨機化為確定、微分方程化為代數方程、函數化為方程等。我們都可以概括為化歸變換方法，或者說它們都體現了化歸變換思想。

化歸的目的就是化未知為已知、化繁雜為簡單、化陌生為熟悉、化難為易、化隱為顯、化暗為明。用中國的古語描述化歸方法的解題過程就是：“山重水復疑無路，柳暗花明又一村。”“滿眼生機轉化鈞，天工人巧日爭新。”“天機云錦用在我，剪裁妙處非刀尺。”化腐朽為神奇者，運用之妙，在乎一心。

P·羅莎（Rozsa Peter）舉了一個關于化歸方法的有趣的例子：“現有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴擺在你面前，當你要燒水時，你應當怎樣去做呢？”“往水壺里注滿水，點燃煤氣，然后把水壺放在煤氣灶上。”“你對問題的回答是正確的，現在把所說的問題稍作修改，即假設水壺里已經裝滿了水，而所說問題中的其他情況都不變，試問，此時你應該怎樣做？”“點燃煤氣，再把水壺放上去。”“這樣的回答是正確的，但是更完善的回答應該是這樣的：‘只有物理學家才會按照剛所說的辦法去做，而數學家卻會回答：只需把水壺中的水倒掉，問題就化歸為前面所說的問題了。”這種比喻雖然有些夸張，卻形象地道出了化歸的根本特征：在解決一個問題時，人們不是直接尋找問題的答案，而是尋找一些熟悉的結果，設法將面臨的問題化為某一簡單熟悉的問題，以便運用已知的理論、方法和技術使問題得到解決。事實上，數學證明一般要歸結為某些中間定理，只是指出待證問題可以歸入哪個問題的證明或由哪些已證定理或成果證明，實質上也是一種化歸過程。

張奠宙教授在《數學方法論稿》（上海教育出版社，1996年版）一書中，對化歸思想方法進行了精辟論述。所謂化歸方法，就是將一個問題A進行變形，使其歸結為另一己解決的問題B，既然B已解決，那么A也就解決了。為了說明化歸思想，他列舉了若干形象生動的事例，比如我們要測量煉鋼爐中的高溫，用普通玻璃水銀柱的溫度計無法測量，于是使用熱電阻材料，將溫度轉變為電流，而電流是可以測量的，所以利用熱電轉化公式，高溫也可以測量了。這是將測溫問題化歸為測電問題。

我們從化歸的涵義可以看出，化歸包括三個基本要素：化歸對象、化歸目標和化歸策略。化歸是為了解決問題，待解決的問題就是化歸對象，它是以往沒有解決過的問題，具有繁難、生疏、抽象的特點，沒有現成的公式、定理或解決方案，為了解決這個問題，需要將問題轉化為“已經解決過的問題”或轉化為“有現成解決方案的問題”（就是把一般問題轉化為規范問題）。這個“已經解決過的問題”（有可能是定理）或“有現成的解決方案的問題”就是化歸目標（規范問題）。要把化歸對象轉化到化歸目標上，中間需要一定的數學方法和手段，這個實現轉化的方法和手段，就是化歸策略。

二、化歸思想方法的分類

實現化歸的方法是多種多樣的，它涉及中學數學常用的各種思維模式，運用于代數、幾何、三角等初等數學的各個分支。概括起來，常用的化歸方法有如下五種：分割法、映射法、恒等變形法、特殊化方法、基本模型法。

1.分割法

什么是分割法？對此，可以用笛卡爾的一段話來回答：“把你所考慮的每個問題，按照可能和需要，分成若干部分，使它們更易于求解。”但在許多情況下，為使化歸過程完全實現，往往要重新組合。

波利亞說過，分解（即我們說的分割）與重新組合是重要的智力活動，對于很多問題特別是比較困難的問題，我們有必要把問題分解成幾部分，然后試用某個新方法重新組合其元素，尤其是，我們可能把問題的元素重新組合成某個新的更容易下手的問題，這個問題可以當做一個輔助問題。

2.映射法

映射法，即關系（relationship）映射（mapping）反演（inversion）方法（簡稱RMI方法），籠統地說，就是指在兩類數學對象或兩個數學集合之間建立某種“對應關系”。

徐利治教授在《數學方法論選講》中，曾舉過一個十分通俗的例子說明映射的應用。他寫道：“一個人對著鏡子剃胡子，鏡子里照出他面頰上胡子的映像，從胡子到映像的關系就叫映射。所以映射就是聯系著原象與映像的一種對應關系。他用剃刀修剪胡子時，作為原象地胡子與剃刀的關系叫做原象關系。這種原象關系在鏡子里叫做映像關系。”

映射法廣泛應用于數學的各個領域，它幾乎涉及了中學數學的各種解題方法：坐標法、復數法、函數法、換元法、待定系數法和數學模型等各種不同層次的方法。它對建立學生數學認知結構起重要作用。

3.恒等變形法

即把問題化歸為一個與之“等價”的問題。在中學數學中，可以找到很多利用恒等變形實現由未知向已知化歸的例子。

例如，利用因式分解法解一元二次方程，利用三角函數恒等變形解三角方程等。如果把所說的“恒等變形”擴展到方程的范圍，并允許一定的“誤差”和“糾正”，這一方法就可在更廣泛的意義上得到應用：如無理方程、分式方程、指數方程、對數方程化歸為整式方程都屬此類。

4.特殊化方法

化歸為特殊情形是數學中一個重要的思想方法，這是因為特殊通常總是比較簡單和容易把握的。

當某個問題不易獲解時，我們可以轉而研究相對較容易解決的特殊情況。通過特殊化，容易猜測有待尋找的結論；通過特殊化，容易探索解題的思路與方向。例如，尋找符合某種條件的點的軌跡，我們可以從對某些特殊點的探索開始，從而尋找符合條件的動點所滿足的某些規律。這是求軌跡（方程）的常用方法。

在教學中，有時要引導學生把注意力傾注在對象的某些特殊方面，有特殊結構引起特殊聯想，從而找到解題途徑。這也是一種不可忽略的解題策略。

【例1】在四棱錐的四個側面中，直角三角形最多可能有（ ）個

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

化歸為特殊情形：將原問題中的四棱錐化歸為底面為正方形且一條側棱垂直于底面，即得正確答案D。

5.基本模型法

盡管數學中存在諸多聯系，但要從中抽取解決問題所需要的聯系，有時并非易事。如能根據題目條件，對原有已有掌握的知識進行適當的選擇、變換、重組，通過適當合理地想象，構造出解決問題所需要的數學模型，如構造圖形，構造函數，構造方程，構造數列，構造反例，等等，這樣，原有問題轉化為一個新的、具體的問題，并使解題者有能力予以解決。

方程模型和函數模型是中學數學里討論的兩個最重要的模型，設法根據已知條件建立方程（組）或函數，然后解出方程或討論函數的性質，是求解數學問題的重要方法之一。

一般地，該球的任意內接長方體，其過任一頂點的三條棱都兩兩互相垂直，因而都有上述等式所示的性質。

三、化歸思想方法的特征

化歸思想方法具有多向性、層次性等特征。

1.多向性

為了化歸問題，既可以變更問題的條件，又可以變更問題的結論；既可以變更問題的內部結構，又可以變更問題的外部形式。比如利用割補法求平面圖形的面積即屬于變更問題的條件；欲求某函數值域，轉而求其反函數的定義域便屬于變更問題的結論；反證法屬于從整體上改變問題的結構，尋找問題的解決途徑。

2.層次性

化歸既可以用于溝通數學分支學科的聯系，從宏觀上實現學科間的轉化，又能調動各種方法和技術，從微觀上解決多種具體問題。

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