從一道2013年高考選擇題入手全面認識三次函數

黃文虎

摘要：認真研究高考試題，活化高考試題，舉一反三，觸類旁通，可以使高三數學課堂教學豐富、鮮活、高效，精彩紛呈。

關鍵詞：三角函數；高考選擇題；學生

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）04-0124

導數在研究函數中的應用是高考的熱點、重點和難點，在很多省市的高考說明中明確確定利用導數研究函數的單調性、求函數的極值和最值，對于多項式函數不超過三次。

一、探析

2013年新課標全國卷Ⅱ第10題更是全面揭示了三次函數的圖象和性質

【例1】 （2013·新課標全國卷Ⅱ）已知函數f（x）=x3+ax2+bx+c，下列結論中錯誤的是（ ）。

A. x0∈R，f（x0）=0

B. 函數y=f（x）的圖象是中心對稱圖形

C. 若x0是f（x）的極值點，則f（x）在區間（-∞，x0）上單調遞減

D. 若x0是f（x）的極值點，則f ′（x0）=0

所以為選擇題，C，D選項的真假比較容易判斷，例如函數y=x3-3x的極大和極小值點分別是x=-1，或x=1，但y=x3-3x在（-∞，-1）和（-∞，1）上并不是單調遞減的，C選項是錯誤命題，故選C。若f（x）是（-∞，+∞）上可導函數，且在x=x0處取得極值，則一定有f ′（x0）=0，因此D選項是正確命題。（但應注意一般來說“函數y=f（x）在x=x0處取到極值”是“f ′（x0）=0”的既不充分也不必要條件，比如函數y=|x|在x=0處取到極小值但y=|x|在x=0處不可導，再如y=x3在x=0處的導數y′|x=0=0，但y=x3在x=0處不存在極值。

而對于A，B兩個選項的真假很多學生是難以把握的，對于選項A，由于f（x）=x3+ax2+bx+c在（-∞，+∞）上是可導函數，又limx→+∞ （x3+ax2+bx+c）=+∞；limx→+∞ （x3+ax2+bx+c）=-∞，因此f（x）=x3+ax2+bx+c在（-∞，+∞）上一定是存在零點的（零點的個數可以是1，2，3）；一般情況下，對于選項B正誤的判斷，教師和學生是很少看到的，下面是選項B的判斷過程：

其實在前些年的高考題中，也不乏對三次函數圖象是中心對稱圖形的考查.

【例2】已知函數f（x）=x（x-a）（x-b）在x=s，x=t處取到極值，其中a>0，b>0，設A（s，f（s））B（t，f（t）），求證AB中點M在曲線y=f（x）上。

證明：由已知f（x）=x（x-a）（x-b）=x3-（a+b）x2+abx，

f ′（x）=3x2-2（a+b）x+ab，

f ′（s）=0，f ′（t）=0，

即3s2-2（a+b）s+ab=0 ①3t2-2（a+b）t+ab=0 ②

即A（s，f（s）），B（t，f（t））中點M在曲線y=f（x）上還可證明M是曲線y=f（x）的對稱中心，這問題給出了已知極值求函數圖象對稱中心的方法。

【例3】已知f（x）=x3-x。

（1）求曲線y=f（x）在點M（t，f（t））處的切線方程；

（2）設a>0，如果過點P（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線，證明-a

解（1）f ′（x）=3x2-1，f ′（t）=3t2-1

曲線y=f （x）在點M（t，f（t））處的切線方程為y-f（t）=（3t2-1）（x-t），即y=（3t2-1）x-2t3

第（1）問求過三次函數圖象上一點的切線方程，由

y=x3-xy=（3t2-1）x-2t3，

聯之消去y，可得（x-t）2（x+2t）=0，

因此，當t=0時，x=0；當t≠0時，x=t或x=-2t，

由此，可知道：（1）過平面內一點P作三次函數圖象的切線可以是一條，兩條或三條；（2）當P點在三次函數圖象上時，過三次函數圖象上一點作三次函數圖象的切線，切線可以是一條或兩條；當切線有且只有一條時，則P點就是三次函數圖象的對稱中心。

三、拓展

以上問題都揭示了三次函數圖象是中心對稱圖形，同時也給出了對稱中心的求法：（1）配方法；（2）利用極值點；（3）利用曲線的切線。由于三次函數f（x）=ax3+bx2+cx+d的圖象的對稱（下轉第115頁）（上接第124頁）中心也恰好是拐點，也可由f ′（x）=0的解求出圖象的對稱中心。

近些年高考頻繁對三次函數進行了全方位的考查，筆者只是根據各地考題從一個側面和讀者分享對三次函數圖象和性質的認識和體會，我們有必要以研究三次函數的圖象和性質為依托，進一步研究多項式函數（2013年新課標全國卷Ⅰ第16題出現了四次函數）和類似于三次函數（如f（x）=（x2-2ax）ex，a≥0）等問題，以達到舉一反三、觸類旁通的目的。

參考文獻：

[1] 胡國生. 研究高考試題的五種視角[J].中學數學（教學參考），2013（11）.

[2] 孫向榮. 一類倍值函數問題的研究[J].中學數學（教學參考），2013（11）.

（作者單位：浙江省浦江縣第二中學 322200）