三角函數最值的歸類求解策略

李東文

三角函數是中學數學教材中一種重要函數，是教學的重點內容，是高考中對將基礎知識和基本技能的考查的重要內容之一，而三角函數的最值問題是歷年高考的重點.因此，理解和掌握求解三角函數最值問題的方法是十分必要的.求三角函數最值（或值域）問題只要注意所給函數式的特征，就可以確定三角變換目標和解題方向；只要合理變換轉化為常見類型，就能找到解決問題的途徑.

一、化為最基本的初等三角函數型

例1：求下列函數的最值：

（1）y=sin（x+ ）+sin（x- ）

（2）y=2sin（ +x）+sin（ -x）

略解：（1）將y=sin（x+ ）+sin（x- ）化為：y= sinx，即得：y = ，y =- .

（2）將y=2sin（ +x）sin（ -x）化為：y= cos2x，即得：y = ，y =- .

二、反解型

將三角函數解析式反解得，sin（x）=f（y），cosx=f（y），sin（x+φ）=f（y），cos（x+φ）=f（y）（φ為輔助角），然后利用正余弦函數的有界性，即|f（y）|≤1求解，常見能夠反解化為上述類型的函數有：

（1）y= 或y= （c≠0，a：b≠c：d）

（2）y= 或y= （c≠0）

例2：求函數y= （x∈[0，π]）的最大值和最小值.

解：原式化為y= =-1+ ，反解得：sin2x= -2，由|sin2x|≤1得| -2|≤1？圯 ≤y≤3.

∴y =3，y = .

例3：求函數y= 的最值.

解法一：

原式化為：sinx-ycosx=2y-1

？圯 sin（x+φ）=2y-1

？圯sin（x+φ）=

由|sin（x+φ）|≤1得 ≤1？圳0≤y≤ ，

故有y = ，y =0.

解法二：

化為y= ，于是y表示點（-1，-2）與點（cosx，sinx）直線的斜率，用解析法可求（以下略）.

解法三：

用萬能公式代換為：（1-y）tan +2tan +（1-3y）=0

∵tan ∈R及y≠1，

∴△=4-4（1-y）（1-3y）≥0？圯4y（4-3y）≥0？圯0≤y≤ ，

因此，y = ；y =0.

三、化為y=asinx+bcosx型

將三角函數式化為y=asinx+bcosx，然后引入輔助角φ化簡成一個角的三角函數y= sin（x+φ）再利用基本初等函數的最值求解.

例4：當- ≤x≤ 時，函數f（x）=sinx+ cosx的（ ）

A.最大值是1，最小值是-1？搖？搖？搖？搖B.最大值是1，最小值是-

C.最大值是2，最小值是-2？搖？搖？搖？搖D.最大值是2，最小值是-1

解：由已知f（x）=2sin（x+ ），因為- ≤x+ ≤ ，故-1≤f（x）≤2，故選D.

例5：函數y=sinx+cosx的最大值是？搖？搖 ？搖？搖.

解：原式化為：y= sin（x+ ），

當x=2kπ+ （k∈Z）時，y = .

四、化為y=Asin（ωx+φ）+k（或y=Acos（ωx+φ）+k）型

例6：函數y=sin2x-2cos x的最大值是？搖？搖 ？搖？搖.

解：原式化為：y=sin2x-（1+cos2x）= sin（2x- ）-1

∵|sin（2x- ）|≤1

∴y = -1

例7：函數y=sin（2x- ）cosx的最小值是？搖？搖？搖 ？搖.

解：y=sin（2x- ）cosx= [sin（2x- ）-sin ]= sin（2x- ）-

當sin（2x- ）=-1時，函數有最小值，即：y =- .

五、化為y=pf （x）+qf（x）+r（其中p、q、r為常數）型

將三角函數式做恒等變形，等價轉化為形如y=pf （x）+qf（x）+r，再進行變量代換t=f（x）化為二次函數y=pf （x）+qf（x）+r在給定區間上求最值問題，這里t=f（x）sinx（或cosx），|t|≤1，求解時需要注意變量的取值范圍即可.

例8：如果|x|≤ ，那么函數f（x）=cos x+sinx的最小值是

（ ）

A. B. C.-1 D.

解：f（x）1-sin x+sinx=-（sinx- ） +

∵|x|≤

∴|sinx|≤ ，則當時sinx=- ，有f（x） =1-（- ） - =

故應選D.

例9：求函數y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值.

解：令sinx+cosx=t，|t|≤ ，則有sinxcosx= ，

于是函數式化為：y= t -t- ，解得：y = + .

六、化為能用函數的單調性或均值不等式型

例10：求函數y=sinx+ （x∈（0，π））的最小值.

解法一：

令t=sinx，t∈（0，1），則可證y=t+ 在（0，1）內為單調遞減函數，從而引發y=f（t）≥f（1）=3，即y =3.

解法二：

y=sinx+ =（sinx+ ）+

≥2 +sinx=2+sinx

≥2+1=3

當且僅當sinx=1時，有y =3.endprint