利用逆向思維，設輔助函數解決有關中值問題

邱香蘭

(萍鄉學院，江西 萍鄉 337000)

運用數學知識解決實際問題時有兩種思維方式，正向思維和逆向思維。逆向思維法是指為實現某一創新或解決某一因常規思路難以解決的問題，而采取反向思維尋求解決問題的方法。設輔助函數是由題設條件及所給的數量關系，構造一種新的函數、使問題在新的關系下實現轉化從而獲得解決的方法。利用逆向思維，設輔助函數解決有關的中值問題，就是由問題結論及題中所給的數量關系，構造一種新的函數、使中值問題在新的關系下實現轉化從而獲得解決的方法。

1 解決中值問題的主要理論知識

1.1 羅爾定理

如果函數f(x)在閉區間［a，b］上連續，在開區間(a，b)內可導，在區間端點處的函數值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a，b)內至少有一點ξ(a＜ξ＜b)，使得f'(ξ)=0

1.2 拉格朗日中值定理

如果函數f(x)在閉區間［a，b］上連續，在開區間(a，b)內可導，那么在(a，b)內至少有一點ξ(a＜ξ＜b)，使等式f(b)-f(a)=f'(ξ)(a-b)成立。

1.3 柯西中值定理

如果函數f(x)及F(x)在閉區間［a，b］上連續，在開區間(a，b)內可導，對任一x∈(a，b)，F'(x)≠0，那么在(a，b)內至少有一點ξ(a＜ξ＜b)，使等式成立。

1.4 泰勒中值定理

如果函數f(x)在含有x0的某個開區間(a，b)內具有直到(n+1)階的導數，則對任一x∈(a，b)有:

這里ξ是x0與x之間的某個值。

2 中值問題的解題方法及舉例說明

考察分析羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的結論以及泰勒中值定理的條件可以得出下面有關中值問題的一般解題方法:

2.1 證明含一個中值的等式或根的存在

多用羅爾定理，可用原函數法找輔助函數。即若命題為證明在區間(a，b)內存在ξ使R(ξ，f(ξ)，f'(ξ))=0，可考慮由R(ξ，f(ξ)，f'(ξ))得出R(x，f(x)，f'(x))，由此用原函數法找輔助函數F(x)，使其在某區間上滿足羅爾定理，且F'(ξ)=R(ξ，f(ξ)，f'(ξ))=0，或F'(ξ)=G(ξ)R(ξ，f(ξ)，f'(ξ))=0，且G(ξ)≠0.

例1:設f(x)在［0，1］上連續，在(0，1)內可導，且f(1)=0.證明至少存在一點ξ∈(0，1)，使

證:問題轉化為ξf'(ξ)+2f(ξ)=0，

設輔助函數 F(x)=x2f(x)，顯然F(x)在［0，1］上連續，在(0，1)內可導，且f(0)=f(1)=0，即滿足羅爾定理條件，故至少存在一點ξ∈(0，1)，使

例2:設實數a0，a1，a2，…，an，滿足下述不等式

證明方程a0+a1x+…+anxn=0，在(0，1)內至少有一個實根.

證:令F'(x)=a0+a1x+…+anxn，則可設

顯然，F(x)在［0，1］上連續，在(0，1)內可導，且f(0)=f(1)=0，即滿足羅爾定理條件，故至少存在一點ξ∈(0，1)，

使 F'(ξ)=0.

即a0+a1x+…+anxn=0在(0，1)內至少有一個實根.

2.2 若結論中涉及含中值的兩個不同函數，可考慮用柯西中值定理

例3:設f(x)在閉區間［a，b］上連續，在開區間(a，b)內可導，且0＜a＜b.試證存在ξ，η∈(a，b)，使:

因f(x)在［a，b］上滿足拉格朗日中值定理的條件，故有

又f(x)及x2在［a，b］上滿足柯西中值定理的條件，故有

2.3 若結論中含兩個或兩個以上的中值，必須多次應用拉格朗日中值定理

例4:已知函數f(x)在［0，1］上連續，在(0，1)內可導，且f(0)=0，f(1)=1，證明:

(1)存在ξ∈(0，1)使得f(ξ)=1-ξ;

(2)存在兩個不同的點，η，ξ∈(0，1)，使得f'(η)f'(ξ)=1.

證:(1)令g(x)=f(x)+x-1，則g(x)在［0，1］上連續，且g(0)=-1＜0，g(1)=1＞0，故存在ξ∈(0，1)，使g(ξ)=f(ξ)+ξ-1=0，即 f(ξ)=1-ξ.

(2)根據拉格朗日中值定理，存在η∈(0，ξ)?(0，1)，ζ∈(ξ，1)?(0，1)，使

2.4 若已知條件中含高階導數，多考慮用泰勒公式

特別是證明與函數的導數在某一點取值有關的不等式時，往往考慮函數在某點的泰勒公式。

根據泰勒中值定理，當x≠0時，有

［1］同濟大學數學系.高等數學(上冊)［M］.第6版.北京:高等教育出版社，2007.128-144.

［2］徐兵，肖馬成，周概容.2009年考研數學歷年真題解析與應試對策［M］.北京:高等教育出版社，2008.38.