淺析一元函數(shù)極值的判定及求法

謝毅

【摘 要】一元函數(shù)極值的判定及求法是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的一個(gè)重要體現(xiàn)，掌握一元函數(shù)極值的判定及求法是了解函數(shù)局部性質(zhì)，描繪函數(shù)圖像的重要手段，也是二元函數(shù)極值問(wèn)題的基礎(chǔ)。本文通過(guò)分析一元函數(shù)極值的求法，從三種情形闡述極值判定的第二充分條件的局限性。

【關(guān)鍵詞】極大值 極小值 駐點(diǎn) 不可導(dǎo)點(diǎn)

一、了解求函數(shù)極值的間接要素

1 極值的定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于其去心鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)，有（或），那么稱是函數(shù)的一個(gè)極大值（或極小值），并且把稱為函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)）。

2 求函數(shù)極值的間接要素：根據(jù)極值的定義，函數(shù)的極值是極值點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，所以求函數(shù)的極值實(shí)際上就是求函數(shù)的極值點(diǎn)。函數(shù)的極值點(diǎn)包含兩種點(diǎn)，一種是駐點(diǎn)，即把使得的點(diǎn)叫做函數(shù)的駐點(diǎn)；另一種是不可導(dǎo)點(diǎn)，即使得不存在的點(diǎn)。故求函數(shù)的極值無(wú)非就是從這兩種點(diǎn)中確定誰(shuí)是極值點(diǎn)，從而求出極值。那么如何從可能極值點(diǎn)中找到函數(shù)的極值點(diǎn)呢？

二、利用極值判定的第一和第二充分條件求函數(shù)的極值

1 定理1（極值判定的第一充分條件）：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，且在的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)。

（1）若當(dāng)時(shí)， >0，而當(dāng)時(shí)， <0，則函數(shù)在處取得極大值；

（2）若當(dāng)時(shí)， <0，而當(dāng)時(shí)， >0，則函數(shù)在處取得極小值；

（3）若當(dāng)時(shí)，的符號(hào)保持不變，則函數(shù)在處沒(méi)有極值。

2 定理2（極值判定的第二充分條件）：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處存在二階導(dǎo)數(shù)，且，。

若，則函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值；

若，則函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值。

3 利用極值判定的第一和第二充分條件求函數(shù)的極值：

例1 求函數(shù)的極值。

解：（1）的定義域?yàn)椋?/p>

（2）=；

（3）令，得駐點(diǎn)=-1. =3；

（4）在內(nèi)， >0，在內(nèi)， <0在內(nèi)>0

所以函數(shù)在點(diǎn)=-1處取得極大值，函數(shù)在點(diǎn)=3處取得極小值。

上面是利用極值判定的第一充分條件來(lái)求函數(shù)的極值，我們?cè)儆脴O值判定的第二充分條件來(lái)求函數(shù)的極值。

例2 求函數(shù)=的極值

解 （1）的定義域?yàn)椋?/p>

（2）=，

（3）令，得=-1， =1

（4），所以=-1， =1都是函數(shù)的極小值點(diǎn)，且是函數(shù)的極小值。

三、極值判定的第二充分條件的三種局限性

根據(jù)上面的例題我們可以得知極值判定的第一充分條件和第二充分條件都有其各自的優(yōu)勢(shì)。第一充分條件適用范圍廣，受限制小，第二充分條件節(jié)省計(jì)算量。但是觀察第二充分條件我們會(huì)發(fā)現(xiàn)它有三種使用的局限性。

1 若極值點(diǎn)是不可導(dǎo)點(diǎn)時(shí)不適用極值判定的第二充分條件。

例3：求函數(shù)=的極值

解：（1）的定義域?yàn)椋?/p>

（2）=

（3）顯然函數(shù)沒(méi)有駐點(diǎn)，但有這個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)，即不存在。此時(shí)更不可能存在，所以第二充分條件失效，只能使用第一充分條件。

（4）在內(nèi)， >0，在內(nèi)， <0，故是極大值點(diǎn)，是極大值。

2 若駐點(diǎn)是極值點(diǎn)且時(shí)不適用極值判定的第二充分條件

例4：求函數(shù)的極值

解 （1）的定義域?yàn)椋?/p>

（2）=

==12

（3）令，得駐點(diǎn)=0， =1；。

顯然是極小值點(diǎn)且是極小值。而，此時(shí)第二充分條件失效。只能使用第一充分條件。

（4）在內(nèi)>0，在內(nèi)>0，導(dǎo)數(shù)符號(hào)相同，所以不是極值點(diǎn)。

3 若函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算量過(guò)大從而失去極值判定的第二充分條件節(jié)省計(jì)算量的作用時(shí)不建議使用極值判定的第二充分條件。

例5：求函數(shù)=的極值

解：（1）的定義域?yàn)椋?/p>

（2）=，此時(shí)求解計(jì)算量過(guò)大，不建議使用極值判定的第二充分條件。

（3）令，得駐點(diǎn)=1，另函數(shù)存在不可導(dǎo)點(diǎn)=-1.這兩個(gè)點(diǎn)將定義域分成三個(gè)區(qū)間。

（4）在內(nèi)， >0；在內(nèi)<0；在內(nèi)>0，所以是極大值點(diǎn)，是極大值。是極小值點(diǎn)，是極小值。

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