讓學生主動地探索數學

莫維平

學習數學較理想的狀態是能夠從有限的例題出發舉一反三，同時讓學生體驗自行編題的樂趣，培養學生的創新意識和學習能力，真正達到“授人以漁”的目的.這里筆者以在上課時講授的一道例題為例，談談如何讓學生嘗試發現問題和解決問題.

在選修2-1第2章的復習課上，我舉了如下例題：

例1：已知過拋物線y■=2px（p>0）焦點F的直線l交拋物線于M，N兩點，B（-■，0），求證：直線BM與直線BN的斜率互為相反數.

解：設直線的方程為x=my+■，M（x■，y■），N（x■，y■）

則k■+k■=■+■=■+■

=■

聯立方程組x=my+■y■=2px

則y■-2pmy-p■=0

∵2my■y■+p（y■+y■）=2m（-p■）+p■pm=0

∴k■+k■=0，即直線BM與直線BN的斜率互為相反數.

一般情況下，到此一些數學教師認為已完成了學習任務，失去了繼續探索的機會.

此題一出，接下去便是見證學生數學學習能力與創新能力的時候了.

讓學生思考：你可以編出怎樣的題目？此時有同學提出如下問題，這里我們記為推廣1.

推廣1：已知過拋物線y■=2px（p>0）焦點F的直線交拋物線于M，N兩點，是否在平面上能找一定點B，使直線BM與直線BN的斜率互為相反數.若存在，求出B的坐標；若不存在，請說明理由.

解：如果存在，根據對稱性，該點一定在對稱軸（即軸）上，設B（a，0）

設直線的方程為x=my+■，M（x■，y■），N（x■，y■）

則k■+k■=■+■=■+■=0

∴2my■y■+（■-a）（y■+y■）=0

聯立方程組x=my+■y■=2px

則y■-2pmy-p■=0

∴-2mp■+2pm（■-a）=0，對任何實數m恒成立；即a=-■，

即存在一定點B（-■，0），使直線BM與直線BN的斜率互為相反數恒成立.

完成此題的解答后，思維開始活躍，有的同學認為此題也可以推廣為下列命題：

推廣2：已知拋物線y■=2px（p>0），點M為拋物線的對稱軸與其準線的交點，過點M作斜率互為相反數兩直線l■，l■與拋物線分別相交于A、B、C、D四個點，其中A、C兩點的橫坐標相同，求證直線AD經過一定點.

解答可得直線AD必定經過此拋物線的焦點.

到此有的同學已經非常滿意這樣的結論與推廣，但有同學立刻提出這樣的想法，上述過焦點的直線是否可以改成過對稱軸上定點A（a，0），（a>0），上述的性質是否也存在？經過思考的確具有同樣的結論.

推廣3：已知拋物線y■=2px（p>0），過點A（a，0），（a>0）直線l交拋物線于M，N兩點，點B為點A關于原點對稱的點，求證：直線BM與直線BN的斜率互為相反數.

推廣4：已知過拋物線y■=2px（p>0），過點A（a，0），（a>0）直線l交拋物線于M，N兩點，是否在x軸上能找一點B，使直線BM與直線BN的斜率互為相反數.若存在，求出B的坐標；若不存在，請說明理由.

此題可求得B（-a，0）.

推廣5：已知拋物線y■=-2px（p>0），點m（-a，0），（a>0），過點M作斜率互為相反數兩直線l■，l■與拋物線分別相交于A、B、C、D四個點，其中A、C兩點的橫坐標相同，求證直線AD經過一定點.

解答可得直線AD必定經過（a，0）.

到此似乎非常完美了，但有學生提出在橢圓或雙曲線也有類似結論，答案是肯定的，的確存在類似結論，下面以橢圓為背景推廣之.

例2：已知過橢圓■+■=1（a>b>0）的右焦點F的直線l交橢圓于M，N兩點，B（■，0），其中（c=■），求證：直線BM與直線BN的斜率互為相反數.

解：設直線的方程為x=my+c，M（x■，y■），N（x■，y■）

x=my+c■+■=1得（a■+b■m■）y■+2mcb■y-b■=0

∴y■+y■=-■

∴y■·y■=■

則k■+k■=■+■

∵y■·（x■-■）+y■·（x■-■）=2my■y■+（c-■）（y■+y■）

=2m·■-■（-■）=0

∴k■+k■=0

即命題得證.

完成此題的解答后，學生思維第2次開始活躍，有的同學認為此題也可以推廣為下列命題：

推廣6：已知過橢圓■+■=1（a>b>0）的右焦點F的直線l交橢圓于M，N兩點，是否在x軸上能找一點B，使直線BM與直線BN的斜率互為相反數.若存在，求出B的坐標；若不存在，請說明理由.

結論同樣成立.

此題的解法可結合例2及推廣1即可證明，存在B（■，0）.

以下推廣7和8均可自行證明，這里不再證明.

推廣7：已知橢圓■+■=1（a>b>0），點M為橢圓的對稱軸與其右準線的交點，過點M作斜率互為相反數兩直線l■，l■與橢圓分別相交于A、B、C、D四個點，其中A、C兩點的橫坐標相同，求證直線AD經過一定點.

推廣8：已知橢圓■+■=1（a>b>0），過點A（m，0）（m>0）直線l交橢圓于M，N兩點，是否可以在x軸上能找一點B，使直線BM與直線BN的斜率互為相反數.若存在，求出B的坐標；若不存在，請說明理由.

推廣9：已知橢圓■+■=1（a>b>0），過點M（m，0）（m>a）作斜率互為相反數的兩直線l■，l■與橢圓分別相交于A、B、C、D四個點，其中A、C兩點的橫坐標相同，求證：直線AD經過一定點.

解：設直線l■：y=k（x-m），由y=k（x-m）■+■=1

得（b■+a■k■）x■-2ma■k■x+a■k■m■-a■b■=0

設A（x■，y■），B（x■，y■），則根據對稱性C（x■，-y■），D（x■，-y■）

∴x■+x■=■

x■·x■=■

直線AD若過定點，根據對稱性，則定點在軸上，不妨設點為N（n，0）.

則有k■=k■，對所有適合題意的實數k均成立.

則■=■，∴-k（k■-m）（x■-n）=k（x■-n）=k（x■-m）（x■-n）

即2x■x■-（m+n）（x■+x■）+2mn=0

∴2（a■k■m■-a■b■）-（m+n）·2ma■k■+2mn（b■+a■k■）=0

得n=■則直線AD經過一定點（■，0）.

由此可知上述推廣7即為此推廣的特例.

當然還可以作進一步推廣，如在雙曲線中是否也有此類性質，等等；探究發現這些性質均具備，有興趣的同學可自行操作.限于篇幅，本文不再對雙曲線中有關的性質作推廣.

課后同學們意猶未盡，紛紛作出各種嘗試，得出不少新的結論與推廣，這對于提高數學學習的自覺性和實踐性等大有益處.有利于學生樹立正確的價值觀，并讓學生學以致用，并真正體會數學是自然的，以上這些是自然而然的推廣而已.endprint

學習數學較理想的狀態是能夠從有限的例題出發舉一反三，同時讓學生體驗自行編題的樂趣，培養學生的創新意識和學習能力，真正達到“授人以漁”的目的.這里筆者以在上課時講授的一道例題為例，談談如何讓學生嘗試發現問題和解決問題.

在選修2-1第2章的復習課上，我舉了如下例題：

例1：已知過拋物線y■=2px（p>0）焦點F的直線l交拋物線于M，N兩點，B（-■，0），求證：直線BM與直線BN的斜率互為相反數.

解：設直線的方程為x=my+■，M（x■，y■），N（x■，y■）

則k■+k■=■+■=■+■

=■

聯立方程組x=my+■y■=2px

則y■-2pmy-p■=0

∵2my■y■+p（y■+y■）=2m（-p■）+p■pm=0

∴k■+k■=0，即直線BM與直線BN的斜率互為相反數.

一般情況下，到此一些數學教師認為已完成了學習任務，失去了繼續探索的機會.

此題一出，接下去便是見證學生數學學習能力與創新能力的時候了.

讓學生思考：你可以編出怎樣的題目？此時有同學提出如下問題，這里我們記為推廣1.

推廣1：已知過拋物線y■=2px（p>0）焦點F的直線交拋物線于M，N兩點，是否在平面上能找一定點B，使直線BM與直線BN的斜率互為相反數.若存在，求出B的坐標；若不存在，請說明理由.

解：如果存在，根據對稱性，該點一定在對稱軸（即軸）上，設B（a，0）

設直線的方程為x=my+■，M（x■，y■），N（x■，y■）

則k■+k■=■+■=■+■=0

∴2my■y■+（■-a）（y■+y■）=0

聯立方程組x=my+■y■=2px

則y■-2pmy-p■=0

∴-2mp■+2pm（■-a）=0，對任何實數m恒成立；即a=-■，

即存在一定點B（-■，0），使直線BM與直線BN的斜率互為相反數恒成立.

完成此題的解答后，思維開始活躍，有的同學認為此題也可以推廣為下列命題：

推廣2：已知拋物線y■=2px（p>0），點M為拋物線的對稱軸與其準線的交點，過點M作斜率互為相反數兩直線l■，l■與拋物線分別相交于A、B、C、D四個點，其中A、C兩點的橫坐標相同，求證直線AD經過一定點.

解答可得直線AD必定經過此拋物線的焦點.

到此有的同學已經非常滿意這樣的結論與推廣，但有同學立刻提出這樣的想法，上述過焦點的直線是否可以改成過對稱軸上定點A（a，0），（a>0），上述的性質是否也存在？經過思考的確具有同樣的結論.

推廣3：已知拋物線y■=2px（p>0），過點A（a，0），（a>0）直線l交拋物線于M，N兩點，點B為點A關于原點對稱的點，求證：直線BM與直線BN的斜率互為相反數.

推廣4：已知過拋物線y■=2px（p>0），過點A（a，0），（a>0）直線l交拋物線于M，N兩點，是否在x軸上能找一點B，使直線BM與直線BN的斜率互為相反數.若存在，求出B的坐標；若不存在，請說明理由.

此題可求得B（-a，0）.

推廣5：已知拋物線y■=-2px（p>0），點m（-a，0），（a>0），過點M作斜率互為相反數兩直線l■，l■與拋物線分別相交于A、B、C、D四個點，其中A、C兩點的橫坐標相同，求證直線AD經過一定點.

解答可得直線AD必定經過（a，0）.

到此似乎非常完美了，但有學生提出在橢圓或雙曲線也有類似結論，答案是肯定的，的確存在類似結論，下面以橢圓為背景推廣之.

例2：已知過橢圓■+■=1（a>b>0）的右焦點F的直線l交橢圓于M，N兩點，B（■，0），其中（c=■），求證：直線BM與直線BN的斜率互為相反數.

解：設直線的方程為x=my+c，M（x■，y■），N（x■，y■）

x=my+c■+■=1得（a■+b■m■）y■+2mcb■y-b■=0

∴y■+y■=-■

∴y■·y■=■

則k■+k■=■+■

∵y■·（x■-■）+y■·（x■-■）=2my■y■+（c-■）（y■+y■）

=2m·■-■（-■）=0

∴k■+k■=0

即命題得證.

完成此題的解答后，學生思維第2次開始活躍，有的同學認為此題也可以推廣為下列命題：

推廣6：已知過橢圓■+■=1（a>b>0）的右焦點F的直線l交橢圓于M，N兩點，是否在x軸上能找一點B，使直線BM與直線BN的斜率互為相反數.若存在，求出B的坐標；若不存在，請說明理由.

結論同樣成立.

此題的解法可結合例2及推廣1即可證明，存在B（■，0）.

以下推廣7和8均可自行證明，這里不再證明.

推廣7：已知橢圓■+■=1（a>b>0），點M為橢圓的對稱軸與其右準線的交點，過點M作斜率互為相反數兩直線l■，l■與橢圓分別相交于A、B、C、D四個點，其中A、C兩點的橫坐標相同，求證直線AD經過一定點.

推廣8：已知橢圓■+■=1（a>b>0），過點A（m，0）（m>0）直線l交橢圓于M，N兩點，是否可以在x軸上能找一點B，使直線BM與直線BN的斜率互為相反數.若存在，求出B的坐標；若不存在，請說明理由.

推廣9：已知橢圓■+■=1（a>b>0），過點M（m，0）（m>a）作斜率互為相反數的兩直線l■，l■與橢圓分別相交于A、B、C、D四個點，其中A、C兩點的橫坐標相同，求證：直線AD經過一定點.

解：設直線l■：y=k（x-m），由y=k（x-m）■+■=1

得（b■+a■k■）x■-2ma■k■x+a■k■m■-a■b■=0

設A（x■，y■），B（x■，y■），則根據對稱性C（x■，-y■），D（x■，-y■）

∴x■+x■=■

x■·x■=■

直線AD若過定點，根據對稱性，則定點在軸上，不妨設點為N（n，0）.

則有k■=k■，對所有適合題意的實數k均成立.

則■=■，∴-k（k■-m）（x■-n）=k（x■-n）=k（x■-m）（x■-n）

即2x■x■-（m+n）（x■+x■）+2mn=0

∴2（a■k■m■-a■b■）-（m+n）·2ma■k■+2mn（b■+a■k■）=0

得n=■則直線AD經過一定點（■，0）.

由此可知上述推廣7即為此推廣的特例.

當然還可以作進一步推廣，如在雙曲線中是否也有此類性質，等等；探究發現這些性質均具備，有興趣的同學可自行操作.限于篇幅，本文不再對雙曲線中有關的性質作推廣.

課后同學們意猶未盡，紛紛作出各種嘗試，得出不少新的結論與推廣，這對于提高數學學習的自覺性和實踐性等大有益處.有利于學生樹立正確的價值觀，并讓學生學以致用，并真正體會數學是自然的，以上這些是自然而然的推廣而已.endprint

學習數學較理想的狀態是能夠從有限的例題出發舉一反三，同時讓學生體驗自行編題的樂趣，培養學生的創新意識和學習能力，真正達到“授人以漁”的目的.這里筆者以在上課時講授的一道例題為例，談談如何讓學生嘗試發現問題和解決問題.

在選修2-1第2章的復習課上，我舉了如下例題：

例1：已知過拋物線y■=2px（p>0）焦點F的直線l交拋物線于M，N兩點，B（-■，0），求證：直線BM與直線BN的斜率互為相反數.

解：設直線的方程為x=my+■，M（x■，y■），N（x■，y■）

則k■+k■=■+■=■+■

=■

聯立方程組x=my+■y■=2px

則y■-2pmy-p■=0

∵2my■y■+p（y■+y■）=2m（-p■）+p■pm=0

∴k■+k■=0，即直線BM與直線BN的斜率互為相反數.

一般情況下，到此一些數學教師認為已完成了學習任務，失去了繼續探索的機會.

此題一出，接下去便是見證學生數學學習能力與創新能力的時候了.

讓學生思考：你可以編出怎樣的題目？此時有同學提出如下問題，這里我們記為推廣1.

推廣1：已知過拋物線y■=2px（p>0）焦點F的直線交拋物線于M，N兩點，是否在平面上能找一定點B，使直線BM與直線BN的斜率互為相反數.若存在，求出B的坐標；若不存在，請說明理由.

解：如果存在，根據對稱性，該點一定在對稱軸（即軸）上，設B（a，0）

設直線的方程為x=my+■，M（x■，y■），N（x■，y■）

則k■+k■=■+■=■+■=0

∴2my■y■+（■-a）（y■+y■）=0

聯立方程組x=my+■y■=2px

則y■-2pmy-p■=0

∴-2mp■+2pm（■-a）=0，對任何實數m恒成立；即a=-■，

即存在一定點B（-■，0），使直線BM與直線BN的斜率互為相反數恒成立.

完成此題的解答后，思維開始活躍，有的同學認為此題也可以推廣為下列命題：

推廣2：已知拋物線y■=2px（p>0），點M為拋物線的對稱軸與其準線的交點，過點M作斜率互為相反數兩直線l■，l■與拋物線分別相交于A、B、C、D四個點，其中A、C兩點的橫坐標相同，求證直線AD經過一定點.

解答可得直線AD必定經過此拋物線的焦點.

到此有的同學已經非常滿意這樣的結論與推廣，但有同學立刻提出這樣的想法，上述過焦點的直線是否可以改成過對稱軸上定點A（a，0），（a>0），上述的性質是否也存在？經過思考的確具有同樣的結論.

推廣3：已知拋物線y■=2px（p>0），過點A（a，0），（a>0）直線l交拋物線于M，N兩點，點B為點A關于原點對稱的點，求證：直線BM與直線BN的斜率互為相反數.

推廣4：已知過拋物線y■=2px（p>0），過點A（a，0），（a>0）直線l交拋物線于M，N兩點，是否在x軸上能找一點B，使直線BM與直線BN的斜率互為相反數.若存在，求出B的坐標；若不存在，請說明理由.

此題可求得B（-a，0）.

推廣5：已知拋物線y■=-2px（p>0），點m（-a，0），（a>0），過點M作斜率互為相反數兩直線l■，l■與拋物線分別相交于A、B、C、D四個點，其中A、C兩點的橫坐標相同，求證直線AD經過一定點.

解答可得直線AD必定經過（a，0）.

到此似乎非常完美了，但有學生提出在橢圓或雙曲線也有類似結論，答案是肯定的，的確存在類似結論，下面以橢圓為背景推廣之.

例2：已知過橢圓■+■=1（a>b>0）的右焦點F的直線l交橢圓于M，N兩點，B（■，0），其中（c=■），求證：直線BM與直線BN的斜率互為相反數.

解：設直線的方程為x=my+c，M（x■，y■），N（x■，y■）

x=my+c■+■=1得（a■+b■m■）y■+2mcb■y-b■=0

∴y■+y■=-■

∴y■·y■=■

則k■+k■=■+■

∵y■·（x■-■）+y■·（x■-■）=2my■y■+（c-■）（y■+y■）

=2m·■-■（-■）=0

∴k■+k■=0

即命題得證.

完成此題的解答后，學生思維第2次開始活躍，有的同學認為此題也可以推廣為下列命題：

推廣6：已知過橢圓■+■=1（a>b>0）的右焦點F的直線l交橢圓于M，N兩點，是否在x軸上能找一點B，使直線BM與直線BN的斜率互為相反數.若存在，求出B的坐標；若不存在，請說明理由.

結論同樣成立.

此題的解法可結合例2及推廣1即可證明，存在B（■，0）.

以下推廣7和8均可自行證明，這里不再證明.

推廣7：已知橢圓■+■=1（a>b>0），點M為橢圓的對稱軸與其右準線的交點，過點M作斜率互為相反數兩直線l■，l■與橢圓分別相交于A、B、C、D四個點，其中A、C兩點的橫坐標相同，求證直線AD經過一定點.

推廣8：已知橢圓■+■=1（a>b>0），過點A（m，0）（m>0）直線l交橢圓于M，N兩點，是否可以在x軸上能找一點B，使直線BM與直線BN的斜率互為相反數.若存在，求出B的坐標；若不存在，請說明理由.

推廣9：已知橢圓■+■=1（a>b>0），過點M（m，0）（m>a）作斜率互為相反數的兩直線l■，l■與橢圓分別相交于A、B、C、D四個點，其中A、C兩點的橫坐標相同，求證：直線AD經過一定點.

解：設直線l■：y=k（x-m），由y=k（x-m）■+■=1

得（b■+a■k■）x■-2ma■k■x+a■k■m■-a■b■=0

設A（x■，y■），B（x■，y■），則根據對稱性C（x■，-y■），D（x■，-y■）

∴x■+x■=■

x■·x■=■

直線AD若過定點，根據對稱性，則定點在軸上，不妨設點為N（n，0）.

則有k■=k■，對所有適合題意的實數k均成立.

則■=■，∴-k（k■-m）（x■-n）=k（x■-n）=k（x■-m）（x■-n）

即2x■x■-（m+n）（x■+x■）+2mn=0

∴2（a■k■m■-a■b■）-（m+n）·2ma■k■+2mn（b■+a■k■）=0

得n=■則直線AD經過一定點（■，0）.

由此可知上述推廣7即為此推廣的特例.

當然還可以作進一步推廣，如在雙曲線中是否也有此類性質，等等；探究發現這些性質均具備，有興趣的同學可自行操作.限于篇幅，本文不再對雙曲線中有關的性質作推廣.

課后同學們意猶未盡，紛紛作出各種嘗試，得出不少新的結論與推廣，這對于提高數學學習的自覺性和實踐性等大有益處.有利于學生樹立正確的價值觀，并讓學生學以致用，并真正體會數學是自然的，以上這些是自然而然的推廣而已.endprint