電場數值計算的常用方法

李文學

摘 要：電場的數值計算在工程中有很大的應用價值，為此介紹了3種常用的電場數值計算方法：模擬電荷法、有限差分法、有限元法。主要分析和比較了三種方法的原理、解題步驟和優缺點，三種方法的適用場合略有差別，指出了有限元法是比較適合實際工程計算電場的方法。

關鍵詞：電場數值計算；模擬電荷法；有限差分法；有限元法

0 引言

目前，我國電力系統正在大力建設特高壓交流、直流輸電線路，隨著輸電線路電壓等級的提高，將會帶來一系列的問題，如設備的選型、電磁干擾、絕緣間隙的設計等，這些問題和電場的數值和分布都有著緊密的關系，因此有必要明確高壓輸電線路各個關鍵部位的電場數值以及分布，以便于指導工程設計[1]。

電場的測量和數值計算是兩種常用的確定電場數值以及分布的方法。電場測量的結果比較精確，但是需要大量的人力、物力和時間，而且由于工況的不同，使得電場測量不能窮舉，而電場數值計算能夠克服電場測量的缺點，并且計算出來的結果具有一定的指導意義，因此廣泛被工程和科研人員接受，用來計算輸變電設備的電場分布、均壓環結構的設計和優化等[2]。常用的電場數值計算方法有模擬電荷法、有限差分法和有限元法。本文介紹了三種電場數值計算方法的原理和解題步驟，并從解決問題的普遍性、消耗的計算機資源等方面分析了不同方法的優缺點。

1 模擬電荷法

模擬電荷法是基于靜電場唯一性定理提出來的能夠求解靜電場問題的方法，通過虛設電荷的方法可以使電場在計算域內滿足原始的邊界條件和分界面條件，然后對虛設電荷產生的場進行疊加，從而求出未知的物理量。

1.1 靜電場唯一性定理的證明

在靜電場下，磁場的變化可以忽略，因此麥克斯韋方程組的微分形式為也即。根據求解域邊界條件的不同，可將靜電場問題分為以下兩種情況：狄利克雷問題和紐曼問題，它們分別表示為

和 。

如果和是同一個邊值問題的兩個解，令，則=0。根據格林第一公式可知，無論是狄利克雷問題還是紐曼問題，都有=0，因此要想滿足上式成立，必有=0，所以=c（c為常數）。

因此，對于狄利克雷問題和紐曼問題，解是唯一確定的，由此證明了靜電場定理的唯一性，也即模擬電荷法的準確性。

1.2 模擬電荷法的優缺點

模擬電荷法并沒有對求解的微分方程或者未知函數做近似，因此只要虛設電荷滿足邊界條件和分界面條件，所求得的結果將是準確的，然后由于實際工程的復雜性，使得確定虛設電荷的位置和類型存在很大的困難，因此模擬電荷法僅適用于具有簡單邊界條件和分界面條件的情況。

2 有限差分法

2.1 有限差分法的原理

有限差分法是將連續的求解區域用離散的點來代替，使得原方程中的微分形式轉化為差分形式，進而通過求解代數方程得到近似結果，其實質是算子的近似。

根據泰勒展開式定理，如果定義在一個包含x的區間上的函數在x處n+1次可導，那么對于在這個區間的任意，都有：

（11）

令，帶入上式有：

（12）

根據差分形式的不同，可以將有限差分法分為前向差分、后向差分和中心差分三種不同的形式。

2.2 有限差分法的解題步驟

有限差分法的解題步驟是首先將求解域離散為網格，然后在網格的節點上用差分方程近似表示微分方程，計算結果的精度和網格的疏密有關，如果網格足夠密，那么結果將足夠準確，然后過密的網格將使計算量增大，因此在計算時因合理劃分網格，在求解的重點區域將網格劃密一點，在非重點區域將網格劃疏一點，這樣能保證結果精確的同時也能減小計算量。

2.3 有限差分法的優缺點

有限差分法能夠解決復雜的偏微分問題，特別是求解以空間坐標（歐拉坐標系）為基礎的流體問題，有限差分法有很大的優勢，因此在流體力學計算中，有限差分法仍然占據著舉足輕重的位置，然后靜電場問題以物體坐標（拉格朗日坐標系）為基礎，因此有限差分法也有一定的局限性。

3 有限元法

3.1 有限元法的原理

有限元法由美國在1960年提出，通過剖分網格的方法，將計算場域離散為單元的組合，然后在每個單元上對未知函數進行近似，然后采用加權余量法來消除近似產生的誤差。

3.2 有限元法的解題步驟

有限元法由于在各個單元上進行函數近似，因此首先也得對整個場域劃分網格，然后根據劃分的網格單元，根據空間維數的不同，可以分為線單元、二維單元和三維單元，其中二維單元可以分為三角形單元和四邊形單元；三維單元分為四面體單元和六面體單元。

3.3 有限元法的優缺點

有限元法應用廣泛，既能夠解決結構問題，也能夠解決非結構問題，對于不同的材料，僅僅會影響其單元矩陣前面的系數，使得有限元法在處理不同材料構成的場域時有著巨大的優勢，然后有限元法也存在一些不足，比如對于復雜工程問題，需要耗費大量的計算資源；對于邊界條件和載荷的加載要求必須準確，否則結果會出現錯誤，因此需要計算人員有較強的理論功底，另外網格劃分也需要一定的基礎，網格的質量將會決定計算結果的準確性。

4 結論

本文介紹了目前幾種常用的電場數值計算方法的原理和簡要計算步驟，分析了各種方法的優缺點，指出模擬電荷法雖然精度高但僅僅適用于場域和邊界條件比較簡單的情況；有限元法能夠計算復雜場域和邊界條件下的電場并且能夠解決以物體坐標為基礎的微分方程，因此有限元法更適合于電場的數值計算。

參考文獻：

[1]劉振亞.中國特高壓交流輸電技術創新[J].電網技術，2013（03）：567-574.

[2]黃道春，阮江軍，文武，李昊星，趙全江，鄭偉.特高壓交流輸電線路電磁環境研究[J]. 電網技術，2007（01）：6-11.